陳偉 孟凡云

摘要：矩陣是高等代數(shù)的重要研究對(duì)象，是高等代數(shù)中學(xué)習(xí)其他知識(shí)點(diǎn)的重要工具，學(xué)好矩陣是學(xué)好高等代數(shù)的前提條件。文章以矩陣運(yùn)算的教學(xué)為例，將矩陣的運(yùn)算與大家熟知的數(shù)的運(yùn)算相類比，使學(xué)生更容易理解與掌握矩陣運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)。

關(guān)鍵詞：矩陣;運(yùn)算;類比

中圖分類號(hào)：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2020）11-0274-02

矩陣本質(zhì)上是一個(gè)數(shù)表，數(shù)表可以看作是數(shù)的推廣，矩陣的運(yùn)算可以看作是數(shù)的運(yùn)算的推廣。在數(shù)的運(yùn)算中有加減乘除四種運(yùn)算，那么在矩陣中也有類似的“加減乘除”運(yùn)算。本文我們將以類比的方法來講述矩陣的“加減乘除”四種運(yùn)算，其目的是讓學(xué)生更好地理解矩陣的四種基本運(yùn)算。在類比的過程中，一方面我們將以數(shù)運(yùn)算中的熟悉知識(shí)點(diǎn)來引入矩陣的運(yùn)算，另一方面，我們將重點(diǎn)突出兩者中不同的地方，其目的是希望學(xué)生能夠更好地理解與記憶矩陣運(yùn)算的特殊性質(zhì)。

下面我們分幾個(gè)部分進(jìn)行討論。

一、矩陣的加減法運(yùn)算

矩陣的加減法運(yùn)算比較簡(jiǎn)單，在兩個(gè)矩陣是同型矩陣的條件下，只要對(duì)應(yīng)位置的元素相加即可。矩陣的加法運(yùn)算可以直接看成是數(shù)的加法運(yùn)算的推廣，所不同的地方在于并不是任意兩個(gè)矩陣都可以做加法，前提條件是兩個(gè)相加的矩陣必須是同型矩陣。在數(shù)的運(yùn)算中，數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律。矩陣加法運(yùn)算也滿足交換律與結(jié)合律。

二、矩陣的數(shù)乘運(yùn)算

矩陣的數(shù)乘運(yùn)算和乘法運(yùn)算都可以看作是數(shù)的乘法運(yùn)算的推廣。

首先看數(shù)乘運(yùn)算，即數(shù)與矩陣的乘法運(yùn)算。數(shù)與矩陣相乘得到的矩陣是數(shù)與矩陣中的每個(gè)元素相乘所得到的。在數(shù)的運(yùn)算中，數(shù)的乘法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律。數(shù)與矩陣的乘法運(yùn)算也滿足交換律和結(jié)合律。

矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算可以看作是數(shù)的加法和乘法運(yùn)算的直接推廣，其運(yùn)算性質(zhì)與數(shù)的加法和乘法的運(yùn)算性質(zhì)相同。學(xué)生理解與掌握起來并沒有太大難度。下面重點(diǎn)來看矩陣的乘法運(yùn)算和“除法”運(yùn)算。

三、矩陣的乘法運(yùn)算

矩陣的乘法運(yùn)算相對(duì)于矩陣的加法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算來說較為復(fù)雜，不能簡(jiǎn)單地看作數(shù)的運(yùn)算的推廣，但其運(yùn)算性質(zhì)的學(xué)習(xí)可以與數(shù)的乘法運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行比較。

在學(xué)習(xí)矩陣乘法的運(yùn)算性質(zhì)之前，和學(xué)生一起回顧一下數(shù)的乘法的運(yùn)算性質(zhì)。然后自然地提出問題，矩陣的乘法運(yùn)算是否也滿足類似的性質(zhì)？帶著這些問題，給出如下的例題讓學(xué)生分組討論。

例1 設(shè)A=1 ?1 ?3 -12 -1 1 ?2，B= 2 ?1 0-1 0 3 2 ?4 1 1 ?3 4，計(jì)算AB和BA

例2 設(shè)A=139，B=（3，2，1），計(jì)算AB和BA

例3 設(shè)A=-1 2 1 -2，B= 1 ? 2-1 -2，C= 3 -3-3 3，計(jì)算AB和BA

例4 設(shè)A= 2 ? 2-2 -2，B=-2 2 2 -2，C= 3 -3-3 3，計(jì)算AB和AC

對(duì)于第一個(gè)例題，學(xué)生通過計(jì)算會(huì)發(fā)現(xiàn)在這個(gè)例題中由于AB是一個(gè)2行3列的矩陣，但BA的乘積不存在，所以AB≠BA。

此時(shí)提出問題若BA的乘積存在，是否一定有AB=BA？讓學(xué)生帶著問題去做例2。學(xué)生通過計(jì)算會(huì)發(fā)現(xiàn)例2中AB和BA的乘積均存在的情況下，由于AB的階數(shù)和BA的階數(shù)不同，所以AB≠BA。

再次提出問題如果AB的階數(shù)和BA的階數(shù)相同，是否一定有AB=BA？讓學(xué)生帶著問題去做例3。學(xué)生通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)AB的階數(shù)和BA的階數(shù)相同的情況下，也不一定有AB=BA。

三個(gè)例題總結(jié)下來，學(xué)生就能自然地理解矩陣乘法不滿足交換律的性質(zhì)。對(duì)于矩陣乘法不滿足消去律的性質(zhì)，我們給出例4，學(xué)生通過計(jì)算以及分組討論會(huì)發(fā)現(xiàn)AB=AC在A不是零矩陣的情況下，不能推出B=C。

對(duì)于矩陣乘法運(yùn)算不滿足的交換律以及消去律，我們舉出具體例子以加深學(xué)生印象，從而讓學(xué)生明白雖然矩陣是數(shù)的推廣，但是矩陣的運(yùn)算并不完全是數(shù)的運(yùn)算的推廣。

四、矩陣的逆運(yùn)算

首先，在給出逆矩陣的定義之前，先回顧一下倒數(shù)（逆）的定義：對(duì)于一個(gè)非零的數(shù)a，如果存在一個(gè)數(shù)b使得ab=ba=1，則稱b是a的倒數(shù)或者稱b是a的逆。提示學(xué)生在方陣的乘法運(yùn)算中我們有如下性質(zhì)EA=AE=A，讓學(xué)生自然地想到單位矩陣E是數(shù)1的推廣。然后讓學(xué)生嘗試用類比的方法給出矩陣的逆的定義：對(duì)于一個(gè)矩陣A，如果存在一個(gè)矩陣B使得AB=BA=E，則稱B是A的逆。提醒學(xué)生對(duì)于類比得出的矩陣逆的定義不太嚴(yán)格，從而引出其嚴(yán)格定義。

在考查矩陣逆的存在性和唯一性時(shí)，先問學(xué)生兩個(gè)問題：任給一個(gè)數(shù)是否都有倒數(shù)？如果有，是否唯一？我們都知道，倒數(shù)如果存在肯定唯一，但并不是任一個(gè)數(shù)都有倒數(shù)，一個(gè)數(shù)a有倒數(shù)的充要條件是a不等于0。那么問題來了，任給一個(gè)矩陣是否都有逆矩陣？如果有，是否唯一？下面的關(guān)鍵問題就是證明矩陣逆存在的充要條件以及逆矩陣的唯一性問題。在證明了方陣A可逆的充要條件是A的行列式不為0的定理之后，與倒數(shù)存在的充要條件進(jìn)行類比，以加深學(xué)生對(duì)于此定理的記憶。

五、矩陣方程

對(duì)于矩陣方程的學(xué)習(xí)也可以與數(shù)的一元方程進(jìn)行類比。矩陣方程有三種基本類型，下面我們分類型類比。

第三種基本類型的矩陣方程AXB=c的求解可以類比一元方程axb=c的求解，此種情形是前兩種情況的綜合運(yùn)用，這里就不再贅述。

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