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        “神秘”賦值的玄機

        2020-04-01 04:14:42黃光鑫
        數(shù)理化解題研究 2020年10期
        關鍵詞:新課標

        黃光鑫

        (四川省四川師范大學附屬中學 610066)

        新課標高中數(shù)學不講極限的內容,使得一類用導數(shù)方法討論函數(shù)零點的題目經常采用賦值的方法說明函數(shù)值的正負,進而說明函數(shù)圖象的走勢,討論函數(shù)零點的問題.有些賦值比較容易想到,有些賦值在學生看來簡直是神來之筆,從天而降,無法想象!市面上不少參考書也是照搬照抄,不動腦筋!在各種不同的參考書上對同一個題目都是千篇一律的賦值方式!學生當然會問這背后的玄機在哪里?能不能想出另外的賦值方式?本文將和大家一起探討這些“神秘”賦值的玄機,請不吝賜教.

        例1 (2016·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

        (1)求a的取值范圍;

        (2)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2<2.

        解(1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).①設a=0,則f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個零點.

        ②設a>0,則當x∈(-∞,1)時,f′(x)<0;當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增.

        ③設a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

        綜上,a的取值范圍為(0,+∞).

        (2)不妨設x1f(2-x2),即f(2-x2)<0.

        由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.

        設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,則g′(x)=(x-1)(e2-x-ex).

        所以當x>1時,g′(x)<0,而g(1)=0,故當x>1時,g(x)<0.

        從而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.

        例2已知函數(shù)f(x)=ex+ax-a(a∈R且a≠0).

        (1)若f(0)=2,求實數(shù)a的值,并求此時f(x)在[-2,1]上的最小值;

        (2)若函數(shù)f(x)不存在零點,求實數(shù)a的取值范圍.

        解(1)由題意知,函數(shù)f(x)的定義域為R,又f(0)=1-a=2,得a=-1,所以f(x)=ex-x+1,求導得f′(x)=ex-1.

        易知f(x)在[-2,0]上單調遞減,在[0,1]上單調遞增,所以當x=0時,f(x)在[-2,1]上取得最小值2.

        (2)知f′(x)=ex+a,由于ex>0,

        ①當a>0時,f′(x)>0,f(x)在R上是增函數(shù),

        當x>1時,f(x)=ex+a(x-1)>0;

        ②當a<0時,令f′(x)=0,得x=ln(-a).在(-∞,ln(-a))上,f′(x)<0,f(x)單調遞減;在(ln (-a),+∞)上,f′(x)>0,f(x)單調遞增.所以當x=ln(-a)時,f(x)取最小值.

        函數(shù)f(x)不存在零點,等價于f(ln(-a))=eln(-a)+aln(-a)-a=-2a+aln(-a)>0,解得:-e2

        綜上所述,所求實數(shù)a的取值范圍是(-e2,0).

        例3 設函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

        (1)討論f(x)的導函數(shù)f′(x)零點的個數(shù);

        當a≤0時,f′(x)>0,f′(x)沒有零點;

        所以f′(x)在(0,+∞)上單調遞增.

        (2)證明由(1),可設f′(x)在(0,+∞)上的唯一零點為x0,當x∈(0,x0)時,f′(x)<0;當x∈(x0,+∞)時,f′(x)>0.

        故f(x)在(0,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增,所以當x=x0時,f(x)取得最小值,最小值為f(x0).

        例4[2017年新課標卷(Ⅰ)(21)]已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

        (1)討論f(x)的單調性;

        (2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.

        解(1)f(x)的定義域為(-∞,+∞),f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).

        ①若a≤0,則f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)單調遞減;②若a>0,則由f′(x)=0得x=-lna.當x∈(-∞,-lna)時,f′(x)<0;當x∈(-lna,+∞)時,f′(x)>0所以f(x)在(-∞,-lna)單調遞減,在(-lna,+∞)單調遞增.

        從以上幾個例題可以隱隱略略看出:這類賦值問題,我們要仔細觀察所出現(xiàn)式子的結構特征,根據(jù)問題的需要,結合一些已知的恒等式和不等式,借助于待定系數(shù)法或尋找中間變量總能找到成功賦值的方法!“神秘”賦值其實并不“神秘”!

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