張稱呈 周 中 高文淵 劉撞撞

(中南大學(xué)土木工程學(xué)院 長沙 410075)

近年來，隨著我國城市建設(shè)的蓬勃發(fā)展，許多城市開始大量修建地鐵。地鐵隧道施工完成后，由于襯砌背后圍巖壓力過大或圍巖有應(yīng)力集中現(xiàn)象，襯砌局部將承受過大的壓力，從而導(dǎo)致破碎開裂；當隧道內(nèi)溫度不斷變化，在襯砌徑向容易產(chǎn)生較大溫差，在溫差作用下襯砌內(nèi)部發(fā)生熱脹冷縮引起拉壓應(yīng)力，當拉應(yīng)力超過混凝土極限拉應(yīng)力時，襯砌就會開裂，產(chǎn)生裂縫。

目前，國內(nèi)外學(xué)者在隧道襯砌應(yīng)力方面的研究主要包括，理論分析方面：Yasuda等[1]推導(dǎo)了隧道襯砌中應(yīng)力的解析解。Li等[2]建立了隧道襯砌在高溫下的熱應(yīng)力場模型，分析了襯砌在高溫下的應(yīng)力變化及圍巖厚度對襯砌溫度應(yīng)力的影響。數(shù)值模擬方面，Wang等[3]用有限元軟件對盾構(gòu)隧道施工過程進行了動態(tài)模擬，分析了盾構(gòu)隧道施工過程中隧道襯砌應(yīng)力。Liu等[4]分析了隧道襯砌隨時間的應(yīng)力變化和變形，確定隧道襯砌結(jié)構(gòu)的安全性；現(xiàn)場試驗方面，Chen等[5]針對新建隧道近接既有隧道時，對既有隧道管片的應(yīng)力應(yīng)變進行了監(jiān)測，并與數(shù)值模擬結(jié)果進行了對比。孫肖輝等[6]對小直徑盾構(gòu)隧道施工過程中管片的縱向應(yīng)力進行了監(jiān)測研究；模型實驗方面，Lei等[7-8]研究了淺埋隧道在非對稱荷載作用下襯砌應(yīng)力的動態(tài)變化規(guī)律及分布形式，以及襯砌的破壞機理。

然而，目前關(guān)于圍巖壓力和溫度變化作用下的盾構(gòu)隧道襯砌應(yīng)力變化規(guī)律的研究較少。故本文擬推導(dǎo)圍巖壓力與溫度變化作用下盾構(gòu)隧道襯砌應(yīng)力的解析解，并結(jié)合工程實例，用MATLAB軟件對所得公式進行求解，繪制襯砌應(yīng)力變化圖，以對襯砌應(yīng)力變化規(guī)律進行理論分析。

1 圍巖壓力作用下襯砌應(yīng)力計算

在襯砌中取Z方向厚度為1的單元體，設(shè)單元體平面內(nèi)有一點R，用徑向坐標ρ及環(huán)向坐標φ表示其位置。在該坐標系中，襯砌結(jié)構(gòu)沿隧道掘進方向即中心軸是對稱的。假設(shè)襯砌外壁受到均勻的圍巖壓力，則襯砌所受的圍壓關(guān)于中心軸也是對稱的，那么襯砌結(jié)構(gòu)的徑向應(yīng)力σp、環(huán)向應(yīng)力σφ均是僅關(guān)于管片半徑ρ的函數(shù)，而與坐標Z、φ無關(guān)，襯砌位置坐標系示意見圖1。

圖1 襯砌位置坐標系示意

襯砌微元體及受力分析示意見圖2。由于應(yīng)力僅隨坐標ρ發(fā)生改變，令圖2中RB面上的徑向應(yīng)力為σρ，則AC面上的徑向應(yīng)力為σρ+dσρ。假設(shè)環(huán)向應(yīng)力僅是坐標ρ的函數(shù)，則RA、BC面上的環(huán)向正應(yīng)力均為σφ。將各力投影到徑向中心線建立平衡方程，得式(1)。

(1)

(2)

圖2 襯砌微元體及受力分析示意

襯砌微元體位移示意見圖3。

圖3 襯砌微元體位移示意

假設(shè)襯砌的變形是彈性的小變形，由于結(jié)構(gòu)和受力的對稱性，整個襯砌結(jié)構(gòu)將在圍壓的作用下發(fā)生彈性膨脹或收縮，則微元體平面上的各點將發(fā)生徑向位移，微元體的位移：RABC是位移前的位置，R′A′B′C′是位移后的位置。設(shè)ρ處RB的徑向位移為u，則ρ+dρ處AC的徑向位移為u+du，所以RB段的應(yīng)變滿足式(3)。

(3)

基于廣義胡克定律，根據(jù)彈性范圍內(nèi)微元體的應(yīng)力應(yīng)變需滿足的關(guān)系式，并與式(2)、式(3)聯(lián)立建立應(yīng)力微分方程，如式(4)。

(4)

設(shè)管片內(nèi)半徑為a，外半徑為b，管片內(nèi)壁所受壓力為0，外壁受圍巖壓力為p，將邊界條件帶入式(4)，求解圍巖壓力作用下的管片應(yīng)力計算式，見式(5)。

(5)

在平面應(yīng)變問題中，εz=0，即襯砌縱向不發(fā)生變形，因此，圍巖壓力作用下管片縱向應(yīng)力為

(6)

2 襯砌溫度應(yīng)力計算

假設(shè)隧道襯砌變溫是軸對稱的，則θ=θ(ρ)，設(shè)有位移勢函數(shù)為Ψ=Ψ(ρ)，則Ψ滿足微分方程[8]式 (7)。

(7)

對應(yīng)于位移特解的應(yīng)力分量見式(8)。

(8)

(9)

(10)

根據(jù)邊界條件求解方程(10)，并帶入式(9)得式(11)。

(11)

(12)

聯(lián)立式(11)得

(13)

由此可得圍巖壓力和溫度變化共同作用下的盾構(gòu)襯砌應(yīng)力計算方法見式(14)～(16)。

(14)

(15)

(16)

3 襯砌應(yīng)力變化規(guī)律分析

3.1 工程概況

本文依托長沙市軌道交通4號線阜碧區(qū)間項目，該區(qū)間施工東起湘江東岸碧沙湖附近，穿越湘江后到達湘江西岸阜埠河路口，其間在湘江西岸，盾構(gòu)左右線均下穿南湖路隧道主線。盾構(gòu)襯砌采用預(yù)制管片單層襯砌，區(qū)間采用錯縫拼裝，管片分為標準環(huán)管片及左右轉(zhuǎn)彎環(huán)，環(huán)間采用彎曲螺栓連接，管片外徑6 m，內(nèi)徑5.4 m，寬1.5 m，厚0.3 m，襯砌采用C50混凝土，彈性模量E=3.45×104MPa，線膨脹系數(shù)α=0.000 01 ℃-1，泊松比取0.2。

襯砌施工完成后，對襯砌壁后的圍巖壓力及襯砌內(nèi)外壁的溫度進行了監(jiān)測，監(jiān)測結(jié)果表明圍巖壓力值范圍為0 ～ -25 kPa,襯砌內(nèi)外壁溫差波動范圍為-1～1 ℃。根據(jù)現(xiàn)場監(jiān)測數(shù)據(jù)并基于所得襯砌應(yīng)力計算公式利用MATLAB軟件繪制襯砌應(yīng)力變化圖，軟件計算中分別取圍巖壓力值為：0 ～ -20 kPa、取內(nèi)外壁溫差為：-0.8 ～ 0.8 ℃，取襯砌半徑為2.7 ～3.0 m。繪制應(yīng)力變化圖時，采用控制變量法，即分別取圍巖壓力、內(nèi)外壁溫差、襯砌半徑中的二者為定值，分析另一因素對襯砌應(yīng)力變化的影響。

3.2 徑向應(yīng)力分析

溫差不變時襯砌徑向應(yīng)力隨圍巖壓力變化見圖4。

圖4 溫差不變時襯砌徑向應(yīng)力隨圍巖壓力變化圖

由圖4可知，Δθ一定，即襯砌內(nèi)外壁溫差保持不變時，當襯砌半徑為一定值時，圍巖壓力與襯砌徑向應(yīng)力成線性關(guān)系。隨著圍巖壓力的增加，ρ=2.8 m、ρ=2.9 m處的徑向應(yīng)力均為拉應(yīng)力，且隨著圍巖壓力的增加，拉應(yīng)力逐漸減小，ρ=2.7 m即管片內(nèi)壁處其拉應(yīng)力不隨圍巖壓力而改變，為一常數(shù)，ρ=3.0 m即管片外壁處其壓應(yīng)力從零隨圍巖壓力的增大而增大。

另外，IEC 61375標準已經(jīng)頒布多年，各廠家生產(chǎn)出了各類通信板卡，在城市軌道交通及高鐵列車中廣泛應(yīng)用，然而，在實際工程應(yīng)用過程中，仍然存在參數(shù)匹配問題，需要繼續(xù)深入研究。

半徑不變時襯砌徑向應(yīng)力隨襯砌內(nèi)外壁溫差變化見圖5。

圖5 半徑不變時襯砌徑向應(yīng)力隨襯砌內(nèi)外壁溫差變化圖

由圖5可知，當襯砌半徑一定，圍巖壓力保持不變時，襯砌徑向應(yīng)力隨襯砌內(nèi)外溫差成線性變化，且隨著內(nèi)外壁溫差正向增加，各圍巖壓力下的應(yīng)力均由壓應(yīng)力向拉應(yīng)力變化，變化速率相同。

圍巖壓力不變時襯砌徑向應(yīng)力隨襯砌半徑變化見圖6。

圖6 圍巖壓力不變時襯砌徑向應(yīng)力隨襯砌半徑變化圖

由圖6可知，當圍巖壓力與管片內(nèi)外溫差一定時，襯砌徑向應(yīng)力隨襯砌半徑呈非線性變化，當襯砌內(nèi)外壁溫差為負值時，隨半徑增大，壓應(yīng)力不斷減小，當管片內(nèi)外壁溫差為正值時，隨半徑增大，拉應(yīng)力不斷減小，應(yīng)力變化速率隨半徑增大均減緩，當溫差為0 ℃時，徑向壓應(yīng)力隨襯砌半徑增加而增加，各溫差下的應(yīng)力隨半徑增大均向一處集中，在管片外壁處達到極值。由圖6可以看出正負溫差下的應(yīng)力圖像關(guān)于溫差為0 ℃時的圖像具有一定的對稱性，這說明襯砌內(nèi)外壁正負溫差會導(dǎo)致其內(nèi)部應(yīng)力性質(zhì)的改變。

3.3 環(huán)向應(yīng)力分析

溫差不變時襯砌環(huán)向應(yīng)力隨圍巖壓力變化見圖7。由圖7可知，溫差一定，同徑向應(yīng)力一樣，圍巖壓力與襯砌環(huán)向應(yīng)力成線性關(guān)系。隨著圍巖壓力的增加，ρ=2.7 m處的環(huán)向壓應(yīng)力變大，ρ=2.8 m，ρ=2.9 m處應(yīng)力經(jīng)歷了拉應(yīng)力向壓應(yīng)力的轉(zhuǎn)變，ρ=3.0 m處環(huán)向拉應(yīng)力逐漸減小，各半徑處的應(yīng)力變化速率大致相同，相同條件下，越靠近管片內(nèi)壁，環(huán)向壓應(yīng)力越大。

圖7 溫差不變時襯砌環(huán)向應(yīng)力隨圍巖壓力變化圖

半徑不變時襯砌環(huán)向應(yīng)力隨襯砌內(nèi)外壁溫差變化見圖8。

圖8 半徑不變時襯砌環(huán)向應(yīng)力隨襯砌內(nèi)外壁溫差變化圖

由圖8可知，當襯砌半徑和圍巖壓力一定時，環(huán)向應(yīng)力和襯砌內(nèi)外溫差呈線性關(guān)系，隨著溫差向正值方向增加，p=0 kPa，p=-5 kPa環(huán)向應(yīng)力由壓應(yīng)力向拉應(yīng)力變化，其余圍巖壓力下環(huán)向壓應(yīng)力均隨溫差增加而減小，各半徑處應(yīng)力變化速率相同，圍巖壓力越大，壓應(yīng)力越大。

圍巖壓力不變時襯砌環(huán)向應(yīng)力隨襯砌半徑變化見圖9。

圖9 圍巖壓力不變時襯砌環(huán)向應(yīng)力隨襯砌半徑變化圖

由圖9可得，當圍巖壓力和溫差一定時，環(huán)向應(yīng)力和襯砌半徑呈非線性關(guān)系，溫差為負值時的壓應(yīng)力隨襯砌半徑增大而增大，溫差為正值時其應(yīng)力隨半徑增加由壓應(yīng)力變?yōu)槔瓚?yīng)力且逐漸增加，應(yīng)力圖像具有一定的對稱性。

3.4 縱向應(yīng)力分析

溫差不變時襯砌縱向應(yīng)力隨圍巖壓力變化見圖10。

圖10 溫差不變時襯砌縱向應(yīng)力隨圍巖壓力變化圖

由圖10可知，當溫差和襯砌半徑一定時，縱向應(yīng)力隨圍巖壓力的增加而增大，各半徑處的應(yīng)力變化速率均相同，且半徑對應(yīng)力的影響很小，當溫差和圍巖壓力一定時，半徑越小，縱向應(yīng)力越大，襯砌內(nèi)壁處縱向應(yīng)力最大。

半徑不變時襯砌縱向應(yīng)力隨襯砌內(nèi)外壁溫差變化見圖11。

圖11 半徑不變時襯砌縱向應(yīng)力隨襯砌內(nèi)外壁溫差變化圖

由圖11可知，當襯砌半徑一定，圍巖壓力保持不變時，襯砌縱向應(yīng)力隨襯砌內(nèi)外溫差線性變化，且隨著內(nèi)外壁溫差增加，各圍巖壓力下的應(yīng)力基本不發(fā)生變化，各變化速率相同，說明溫差對襯砌縱向應(yīng)力的影響很小。

圍巖壓力不變時襯砌縱向應(yīng)力隨襯砌半徑變化見圖12。由圖12可知，在一定的圍巖壓力下，當溫差為0 ℃時，縱向應(yīng)力不隨襯砌半徑的變化而改變，當內(nèi)外壁溫差為負值時，襯砌縱向應(yīng)力隨半徑增加而增大，當內(nèi)外壁溫差為正值時，襯砌縱向應(yīng)力隨半徑增加而減小，正負溫差對應(yīng)的應(yīng)力圖像關(guān)于Δθ=0 ℃時的圖像對稱，且各半徑處的應(yīng)力有1個交點，所有應(yīng)力均為壓應(yīng)力。

圖12 圍巖壓力不變時襯砌縱向應(yīng)力隨襯砌半徑變化圖

4 結(jié)論

本文推導(dǎo)了圍巖壓力及溫度變化作用下盾構(gòu)隧道襯砌應(yīng)力計算公式，并結(jié)合實際工程監(jiān)測數(shù)據(jù)利用MATLAB繪制了襯砌應(yīng)力變化圖，最后對襯砌應(yīng)力變化規(guī)律進行了分析，得到結(jié)論如下。

1) 襯砌徑向應(yīng)力與圍巖壓力、襯砌內(nèi)外壁溫差均為線性關(guān)系，圍巖壓力對徑向應(yīng)力的影響較小，襯砌內(nèi)外壁溫差對徑向應(yīng)力的影響結(jié)果較顯著；襯砌徑向應(yīng)力與襯砌半徑為非線性關(guān)系，應(yīng)力隨半徑的變化趨勢與襯砌內(nèi)外壁溫差的正負值有關(guān)。

2) 同徑向應(yīng)力一樣，襯砌環(huán)向應(yīng)力與圍巖壓力、襯砌內(nèi)外壁溫差也為線性關(guān)系，環(huán)向應(yīng)力與圍巖壓力呈正相關(guān)，與襯砌內(nèi)外壁溫差為負相關(guān)；環(huán)向應(yīng)力隨襯砌半徑的變化趨勢與內(nèi)外壁的溫差相關(guān)，當溫差為正時，其應(yīng)力性質(zhì)會隨半徑變化發(fā)生改變。

3) 縱向壓應(yīng)力隨圍巖壓力增大而增加，各半徑處應(yīng)力變化速率相同；襯砌內(nèi)外壁溫差對縱向應(yīng)力幾乎不產(chǎn)生影響，靠近外壁應(yīng)力較大；縱向應(yīng)力隨半徑的變化與徑向應(yīng)力相似，即應(yīng)力隨半徑的變化與襯砌內(nèi)外壁溫差的正負值相關(guān)，溫差的正負會改變應(yīng)力的變化方向。