程雯靚

（四川大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，成都610065）

0 引言

近年來(lái)，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)被廣泛應(yīng)用于電子游戲、虛擬現(xiàn)實(shí)、動(dòng)畫(huà)和電影等領(lǐng)域。隨著渲染技術(shù)及硬件的發(fā)展，人們對(duì)渲染畫(huà)面的真實(shí)感有了更高的追求。渲染畫(huà)面的真實(shí)感與符合現(xiàn)實(shí)世界的物理規(guī)律的渲染技術(shù)緊密相關(guān)，例如基于光線跟蹤的全局光照算法等。在為現(xiàn)實(shí)世界的物理規(guī)律建模的幾項(xiàng)要素中，可見(jiàn)性代表了模型幾何表面之間的遮擋關(guān)系，它使渲染畫(huà)面具備立體感，是渲染畫(huà)面具備真實(shí)感中不可或缺的一項(xiàng)。然而，可見(jiàn)性與方向相關(guān)，每個(gè)著色點(diǎn)的可見(jiàn)性需要在其以法線為中心的半球（下文稱為法線半球）的各個(gè)方向上進(jìn)行成百上千次的采樣并判斷該方向是否可見(jiàn)，具有較大的計(jì)算量。

在動(dòng)畫(huà)、電影等離線渲染領(lǐng)域，其主要目標(biāo)是為觀眾呈現(xiàn)生動(dòng)逼真的畫(huà)面，對(duì)渲染時(shí)間沒(méi)有要求，因此它們更多地使用基于物理的渲染技術(shù)，其中的可見(jiàn)性也能被正確計(jì)算；而在電子游戲、虛擬現(xiàn)實(shí)等領(lǐng)域，不僅追求渲染畫(huà)面的真實(shí)感，也對(duì)其實(shí)時(shí)性有著很高的要求。因?yàn)樵谶@些應(yīng)用中，渲染畫(huà)面只是其中的一部分，游戲邏輯判斷、運(yùn)動(dòng)物體的物理碰撞檢測(cè)等也包含其中，而這些需要在很短的時(shí)間內(nèi)完成，才能帶給玩家流暢的游戲體驗(yàn)。因此，這類應(yīng)用通常會(huì)采用近似符合物理規(guī)律或基于預(yù)計(jì)算的渲染技術(shù)，以保證渲染畫(huà)面的真實(shí)感及實(shí)時(shí)性。其中，可見(jiàn)性由于其計(jì)算量較大，難以實(shí)時(shí)計(jì)算；并且，可見(jiàn)性與方向相關(guān)，每個(gè)著色點(diǎn)的可見(jiàn)性大不相同，如果存儲(chǔ)可見(jiàn)性信息，將會(huì)占據(jù)非常大的存儲(chǔ)空間。因此，可見(jiàn)性在光照計(jì)算中常被省略，導(dǎo)致最終的光照效果比較平坦、缺乏立體感。這時(shí)候通常采取近似可見(jiàn)性的技術(shù)進(jìn)行彌補(bǔ)，且通常在屏幕空間實(shí)現(xiàn)，以增加畫(huà)面的立體感，例如基于屏幕空間的環(huán)境遮擋[1]（Screen Space Ambient Occlusion，SSAO）等算法。

然而，在某些情況下，渲染技術(shù)需要使用更加精準(zhǔn)的可見(jiàn)性判斷?；诠庹仗结樀娜止庹账惴╗2]是一種基于預(yù)計(jì)算的全局光照算法[3]，常被應(yīng)用于電子游戲、虛擬現(xiàn)實(shí)等對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高的領(lǐng)域和計(jì)算性能較低的移動(dòng)端中。在基于光照探針的全局光照算法中，光照探針稀疏地分布在場(chǎng)景中，光照探針呈球狀，每個(gè)光照探針捕捉了球面各個(gè)方向的光照信息。渲染時(shí)，每個(gè)著色點(diǎn)的光照信息由其周圍的幾個(gè)光照探針提供（本文稱為局部光照信息）。如環(huán)境遮蔽等近似可見(jiàn)性的算法由于缺乏方向性信息，對(duì)渲染畫(huà)面的立體感提升不強(qiáng)，此時(shí)，物體的三維表面上需要更加精準(zhǔn)的可見(jiàn)性。而精準(zhǔn)的可見(jiàn)性需要在每個(gè)著色點(diǎn)的法線半球的各個(gè)方向上進(jìn)行判斷，具有較大的計(jì)算量，難以實(shí)時(shí)計(jì)算。

本文基于預(yù)計(jì)算的思想，利用球諧函數(shù)[4]作為球面基函數(shù)離線預(yù)計(jì)算三維模型表面的可見(jiàn)性分布；為了進(jìn)一步壓縮存儲(chǔ)量，構(gòu)造誤差函數(shù)，利用最小二乘擬合將球諧函數(shù)表達(dá)的可見(jiàn)性分布進(jìn)一步壓縮為可見(jiàn)性圓錐；實(shí)現(xiàn)了一種高精度、低存儲(chǔ)量的可見(jiàn)性算法。

1 算法實(shí)現(xiàn)

1.1 基本思想

給定三維模型表面上的一個(gè)點(diǎn)x，其可見(jiàn)性是一個(gè)定義在點(diǎn)x的法線半球上的方向分布函數(shù)。球諧函數(shù)是定義在單位球面的標(biāo)準(zhǔn)正交的基函數(shù)，它忽略半徑大小，僅考慮球面的方向變化，常用于表達(dá)球面上的方向分布函數(shù)。因此，本文采用球諧函數(shù)擬合可見(jiàn)性分布，將其投影到球諧函數(shù)的n個(gè)基函數(shù)的線性組合，并存儲(chǔ)為n個(gè)基函數(shù)的系數(shù)（權(quán)重）；接著，為了進(jìn)一步壓縮存儲(chǔ)量，本文采用可見(jiàn)性圓錐作為最終存儲(chǔ)可見(jiàn)性的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，可見(jiàn)性圓錐包含主可見(jiàn)方向、可見(jiàn)角度、可見(jiàn)性放縮因子，對(duì)可見(jiàn)性分布具有靈活地表達(dá)。壓縮方式是：通過(guò)構(gòu)造誤差函數(shù)，利用最小二乘擬合[5]求解（局部）最優(yōu)解，將球諧函數(shù)表達(dá)的可見(jiàn)性分布?jí)嚎s為一個(gè)可見(jiàn)性圓錐。

1.2 算法細(xì)節(jié)

本節(jié)主要描述算法的具體細(xì)節(jié)。首先對(duì)球諧函數(shù)進(jìn)行概述；接著，描述如何將一個(gè)點(diǎn)在其法線半球上的可見(jiàn)性分布投影為球諧函數(shù)；然后，描述如何構(gòu)建誤差函數(shù)，將球諧函數(shù)表達(dá)的可見(jiàn)性分布?jí)嚎s為可見(jiàn)性圓錐；最后，簡(jiǎn)單介紹本文在判斷可見(jiàn)時(shí)使用的遮擋距離加權(quán)方式。

（1）球諧函數(shù)

球諧函數(shù)的定義如公式（1）所示，其中，l表示當(dāng)前基函數(shù)的帶（band，也稱為階數(shù)，下文統(tǒng)一用階數(shù)表示），m表示在第l階中第m個(gè)基函數(shù)（m∈[-l,l]），表示相應(yīng)的勒讓德多項(xiàng)式表示規(guī)則化的縮放系數(shù)，其計(jì)算方式如公式（2）所示。參數(shù)l將球諧函數(shù)分成不同階，每個(gè)階數(shù)內(nèi)包含2l+1個(gè)基函數(shù)，它們具備相同的多項(xiàng)式次數(shù)。前n階包括n2個(gè)基函數(shù)，對(duì)原始函數(shù)的n階近似則需要存儲(chǔ)n2個(gè)系數(shù)。

將一個(gè)球面函數(shù)投影為球諧函數(shù)系數(shù)的過(guò)程稱為投影，計(jì)算系數(shù)即對(duì)原函數(shù)和球諧函數(shù)的基函數(shù)進(jìn)行積分，如公式（3）；反之，將球諧函數(shù)按對(duì)應(yīng)的系數(shù)進(jìn)行線性組合，重建對(duì)原函數(shù)的近似稱為重建，如公式（4）。

（2）可見(jiàn)性投影到球諧函數(shù)

本文采用4階球諧函數(shù)（16個(gè)基函數(shù)）來(lái)近似可見(jiàn)性分布。其基本思路是：對(duì)于三維模型表面上任意一個(gè)點(diǎn)x，首先在其法線半球上均勻采樣，并判斷各個(gè)方向可見(jiàn)或是被遮擋，接著將每個(gè)采樣方向投影到球諧函數(shù)上，累計(jì)該采樣方向?qū)ο禂?shù)的貢獻(xiàn)，最終得到16個(gè)系數(shù)。由于本文是離線計(jì)算，故直接采用遍歷的方式來(lái)得到球面上呈均勻分布的各個(gè)方向，以確保球面各個(gè)方向都有采樣值，而沒(méi)有采取均勻分布生成隨機(jī)數(shù)的計(jì)算方式。采用球面均勻采樣的原因是：每個(gè)采樣方向的權(quán)重都相同，計(jì)算其對(duì)最終系數(shù)的貢獻(xiàn)十分簡(jiǎn)單準(zhǔn)確。

（3）可見(jiàn)性圓錐

可見(jiàn)性圓錐由主要可見(jiàn)方向、可見(jiàn)角度和可見(jiàn)性放縮因子構(gòu)成。主要可見(jiàn)方向的定義類似Bent Nor?mal；可見(jiàn)角度定義了主要可見(jiàn)范圍；可見(jiàn)性放縮因子為可見(jiàn)性圓錐的大小，其范圍在0～1之間，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)被多個(gè)方向遮擋時(shí)，可以將可見(jiàn)性放縮因子設(shè)置得小一點(diǎn)，更加靈活地表達(dá)可見(jiàn)性分布。將可見(jiàn)性分布?jí)嚎s為可見(jiàn)性圓錐的過(guò)程就是求解可見(jiàn)性圓錐的三個(gè)元素，主要可見(jiàn)方向可以直接由球諧函數(shù)的optimal linear方向得到，剩余的就是求解可見(jiàn)角度α和可見(jiàn)性放縮因子S。利用最小二乘擬合的推導(dǎo)過(guò)程如下：

首先將可見(jiàn)性圓錐用球諧函數(shù)的表示方式（公式（5）），并構(gòu)造誤差函數(shù)（公式（6））。

接著，誤差函數(shù)分別對(duì)α和S求導(dǎo)，并將導(dǎo)數(shù)置為0，求解可得到最優(yōu)解（公式（7））。但這一步的難度在于這個(gè)導(dǎo)數(shù)定義在半球面，難以直接求解。

借助球諧函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)正交性，有式（8）成立，即兩個(gè)球諧函數(shù)的積分可以轉(zhuǎn)化為其系數(shù)的點(diǎn)乘。從而可以對(duì)式（7）中進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到式（9）。

最后，對(duì)式（9）利用最小二乘擬合即可求解出α和S的最優(yōu)解，最終就將由16個(gè)浮點(diǎn)數(shù)表示的可見(jiàn)性分布函數(shù)壓縮成了可見(jiàn)性圓錐?？梢?jiàn)性圓錐包含5個(gè)浮點(diǎn)數(shù)，將主要可見(jiàn)方向保存在切線空間后可以進(jìn)一步壓縮成4個(gè)浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行存儲(chǔ)。

（4）遮擋距離加權(quán)

前文提及，某個(gè)方向的可見(jiàn)性判斷是一個(gè)布爾值，即可見(jiàn)或被遮擋。然而，由于球面上的方向分布本質(zhì)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，而在球面上進(jìn)行采樣的思路是對(duì)其離散化進(jìn)行近似，只有當(dāng)采樣次數(shù)達(dá)到極高時(shí)才能完全擬合球面的分布函數(shù)。但在實(shí)際應(yīng)用中，我們?cè)谇蛎娴牟蓸哟螖?shù)有限，一個(gè)立體角內(nèi)僅有一個(gè)采樣方向。為了對(duì)這一矛盾進(jìn)行彌補(bǔ)，本文采用對(duì)遮擋距離進(jìn)行加權(quán)。即：對(duì)于一個(gè)立體角來(lái)說(shuō)，該采樣方向遮擋距離遠(yuǎn)，那么該立體角內(nèi)所有方向被遮擋的概率就更低；反之，若遮擋距離近，則表明該立體角內(nèi)所有方向被遮擋的概率更高。本文采用公式（10）的方式計(jì)算權(quán)重，其中docc是指被遮擋的距離，dmax是指模型的對(duì)角線長(zhǎng)度。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)一：驗(yàn)證可見(jiàn)性圓錐的正確性。

通過(guò)在可視化模型上可見(jiàn)性圓錐的三個(gè)元素，驗(yàn)證可見(jiàn)性圓錐的正確性?？梢?jiàn)性圓錐可視化預(yù)期結(jié)果是：主可見(jiàn)方向在模型未遮擋的地方與法線一致、存在遮擋的地方會(huì)在兩個(gè)面片之間平滑過(guò)渡；可見(jiàn)角度在未被大面積遮擋的地方角度更大，可視化結(jié)果接近白色、相互遮擋之處較小，可視化結(jié)果接近黑色；而在非常狹窄的地方，可見(jiàn)性縮放因子較小，可見(jiàn)角度較大。

在模型上可視化可見(jiàn)性圓錐的結(jié)果如圖1所示，符合上述預(yù)期特點(diǎn)，因此可見(jiàn)性圓錐計(jì)算基本正確。實(shí)驗(yàn)二：驗(yàn)證遮擋距離加權(quán)的正確性。

圖1 可見(jiàn)性圓錐

本實(shí)驗(yàn)的目的是驗(yàn)證遮擋距離加權(quán)的正確性，預(yù)期目標(biāo)是遮擋距離加權(quán)后三維模型表面上的可見(jiàn)性的分布更加準(zhǔn)確和平滑。本實(shí)驗(yàn)選擇表面更加復(fù)雜的汽車模型，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)遮擋距離進(jìn)行加權(quán)后，可以得到更加平滑、自然的可見(jiàn)性分布。

3 結(jié)語(yǔ)

本文提出基于預(yù)計(jì)算的思想，以球諧函數(shù)作為球面基函數(shù)表達(dá)三維模型表面的可見(jiàn)性分布，并進(jìn)一步將其壓縮為可見(jiàn)性圓錐，得到了一種高精度、低存儲(chǔ)量的預(yù)計(jì)算可見(jiàn)性。該算法可用于解決其他光照算法中可見(jiàn)性缺失所造成的光照結(jié)果平坦、缺乏立體感的問(wèn)題，具有一定的實(shí)際意義。

圖2 遮擋距離加權(quán)對(duì)比實(shí)驗(yàn)