王 曉，王懷明，祁俊峰2，李志杰，張 揚(yáng)

(1.北華航天工業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，廊坊 065000；2.北京衛(wèi)星制造廠有限公司，北京 100020)

0 引 言

航天技術(shù)的快速發(fā)展對航天器的輕量化提出了越來越高的要求。負(fù)泊松比橢圓多孔材料作為一種輕量化材料，具有輕質(zhì)、較大的能量吸收比、良好的抗凹陷能力、優(yōu)異的抗斷裂能力、較高的剪切強(qiáng)度等特點(diǎn)，作為航天器中的填充材料應(yīng)用時不僅可大幅減輕航天器的質(zhì)量，還可保證被填充零部件優(yōu)良的力學(xué)性能，因此在航天領(lǐng)域中有著廣闊的應(yīng)用前景。負(fù)泊松比橢圓多孔材料具有十分復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，采用傳統(tǒng)方法難以制備。在20世紀(jì)末出現(xiàn)的增材制造技術(shù)在制備復(fù)雜結(jié)構(gòu)零件(材料)方面有著獨(dú)特的優(yōu)勢，目前常采用激光選區(qū)熔化(SLM)增材制造技術(shù)來制備負(fù)泊松比多孔材料。BERTOLDIO等[1]研究表明，當(dāng)二維圓孔多孔材料在受壓力作用且材料孔隙率大于0.34時，材料中的相鄰兩圓孔將變?yōu)橄嗷ゴ怪钡膬蓹E圓孔，同時材料將表現(xiàn)出負(fù)泊松比的特性。TAYLOR等[2]對具有低孔隙率的二維相互垂直橢圓多孔材料的泊松比進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)橢圓孔的長/短軸之比、孔隙率是影響材料泊松比的重要因素。WILLSHAW等[3]研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)柔性三維圓孔多孔材料受壓力作用時，其相鄰兩圓孔將變?yōu)橄嗷ゴ怪钡膬蓹E圓孔，同時材料將表現(xiàn)出負(fù)泊松比的特性。SHEN等[4]提出了一種柔性負(fù)泊松比多孔材料的設(shè)計方法，并指出缺陷度和相對密度是影響該材料泊松比的主要因素。REN等[5]在SHEN等研究的基礎(chǔ)上對負(fù)泊松比多孔金屬材料進(jìn)行了研究，指出形狀程度因子和材料體積分?jǐn)?shù)(實(shí)際體積與其表觀體積的比)是影響其泊松比的主要因素。

目前，有關(guān)負(fù)泊松比橢圓多孔材料的研究主要集中在設(shè)計參數(shù)對材料泊松比、彈性模量影響的定性研究方面，而鮮見設(shè)計參數(shù)與泊松比、彈性模量之間的定量研究報道。為此，作者將橢圓的長/短軸之比、橢圓的短軸半軸長和初始胞元的邊長作為設(shè)計參數(shù)，提出了一種簡化的負(fù)泊松比橢圓多孔材料設(shè)計方法；通過負(fù)泊松比橢圓多孔材料的幾何關(guān)系建立設(shè)計參數(shù)與泊松比間的數(shù)學(xué)模型，同時通過引入Gibson-Ashby模型確定了設(shè)計參數(shù)與彈性模量間的數(shù)學(xué)模型；以航天領(lǐng)域內(nèi)最常用的AlSi10Mg合金為基體材料，采用激光選區(qū)熔化技術(shù)制備負(fù)泊松比橢圓多孔AlSi10Mg合金，通過準(zhǔn)靜態(tài)壓縮試驗(yàn)對該合金的泊松比數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證，并確定彈性模量數(shù)學(xué)模型中的常數(shù)C，這對負(fù)泊松比橢圓多孔材料的設(shè)計和應(yīng)用具有十分重要的意義。

1 負(fù)泊松比橢圓多孔材料的設(shè)計

SHEN等[4]和REN等[5]采用相同的方法設(shè)計負(fù)泊松比橢圓多孔材料，即用Abaqus軟件中的屈服分析模塊，通過屈服變形將模型上相鄰兩圓孔變?yōu)閮砷L軸相互垂直的橢圓孔，從而產(chǎn)生負(fù)泊松比效應(yīng)。該設(shè)計方法較為復(fù)雜且過程十分繁瑣，因此作者在此基礎(chǔ)上，提出了一種簡化的設(shè)計方法，其主要步驟為：先確定橢圓的長/短軸之比R、橢圓的短軸半軸長b、初始胞元的邊長c，然后根據(jù)已知R和b，確定橢圓的長軸半軸長a，從而確定材料中橢圓的尺寸。在邊長為c的立方體的3個主方向上，拉伸切除掉3個橢圓柱，得到初始胞元，其中切除掉柱體的橫截面為橢圓，其長軸半軸長為a、短軸半軸長為b，并且柱體橫截面橢圓的形心與立方體表面的形心重合；由于無法直接通過陣列初始胞元得到負(fù)泊松比材料，因此在3個主方向分別排列3個初始胞元，得到一個由27個初始胞元組成的結(jié)構(gòu)；將此結(jié)構(gòu)中的多余部分去除，可以得到一個新的胞元，為了同初始胞加以區(qū)分，將這個新的胞元稱為最終胞元；將最終胞元沿著3個主方向排列得到最終的負(fù)泊松比橢圓多孔材料。負(fù)泊松比橢圓多孔材料的具體設(shè)計過程如圖1所示。

圖1 負(fù)泊松比橢圓多孔材料設(shè)計過程示意Fig.1 Diagram of design process of auxetic elliptical porous material

2 材料性能與設(shè)計參數(shù)的關(guān)系

2.1 泊松比與設(shè)計參數(shù)的關(guān)系

由于在研究材料的泊松比時，只關(guān)注材料在某一平面內(nèi)的軸向變形和橫向變形，因此可將該材料看作是一個二維材料。研究發(fā)現(xiàn)，負(fù)泊松比橢圓多孔材料在受壓縮時，其變形特性與旋轉(zhuǎn)方形負(fù)泊松比材料的相似[4-5]。GRIMA等[6]認(rèn)為在研究旋轉(zhuǎn)方形負(fù)泊松比材料的泊松比和彈性模量時，可將材料中的方塊用其2條對角線代替。因此，作者先將負(fù)泊松比橢圓多孔材料簡化為旋轉(zhuǎn)方形負(fù)泊松比材料，再用對角線代替旋轉(zhuǎn)方形負(fù)泊松比材料中的方塊，從而得到簡化模型，最終胞元的簡化模型如圖2所示。假設(shè)圖2中的對角線為方形橫截面的細(xì)桿，其橫截面的邊長l為c-a-b；同一方塊的2條對角線剛性連接，同時相鄰方塊的對角線通過鉸鏈進(jìn)行連接。當(dāng)負(fù)泊松比多孔材料受軸向載荷時，相當(dāng)于在簡化模型中點(diǎn)A1、點(diǎn)A2、點(diǎn)A3、點(diǎn)A4同時施加2組大小相等、方向相同的力FA，如圖2所示。此時，4組對角線細(xì)桿的受力條件完全相同，可知這4組對角線細(xì)桿在軸向和橫向的變形情況也是完全相同的，因此只需研究其中一組對角線細(xì)桿的軸向變形和橫向變形，即可得到整體的泊松比。

圖2 負(fù)泊松比橢圓多孔材料的簡化模型示意Fig.2 Diagram of simplified model of auxetic elliptical porous material

圖3 負(fù)泊松比橢圓多孔材料的受力示意Fig.3 Force diagram of auxetic elliptical porous material

圖3中點(diǎn)A1、點(diǎn)B1、點(diǎn)C1、點(diǎn)D1分別為圖中虛線段的中點(diǎn)。將圖中點(diǎn)A1受到的軸向力FA沿著桿A1C1方向以及垂直于桿A1C1方向進(jìn)行正交分解，分別得到力F1和力F2。力F1作用在桿A1C1上，并沿著桿A1C1方向產(chǎn)生壓縮變形；力F2在O點(diǎn)產(chǎn)生一個力矩MO，使桿A1C1和桿B1D1同時繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，并在軸向和橫向產(chǎn)生相等的變形量。因此負(fù)泊松比橢圓多孔材料在受到軸向載荷時，其變形共有兩部分組成：一部分是沿著桿A1C1方向產(chǎn)生的壓縮變形；另一部分是由桿A1C1和桿B1D1同時繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的軸向和橫向變形。

當(dāng)F1單獨(dú)作用時，材料沿著桿A1C1方向產(chǎn)生壓縮變形，而該壓縮變形可進(jìn)一步分解為軸向變形和橫向變形，但由于橫向變形對整體變形的影響很小，可忽略不計，因此作者只研究材料沿桿A1C1方向產(chǎn)生的軸向變形，軸向變形量Z1的計算公式為

(1)

(2)

式中:E*為基體材料的彈性模量；Ld為圖3中正方形對角線的長度；A為對角線桿的橫截面積；θ為桿A1C1與水平線的夾角。

將A和θ的計算公式代入式(1)，可得：

(3)

圖4 負(fù)泊松比橢圓多孔材料旋轉(zhuǎn)前后的變形示意Fig.4 Diagram of deformation of auxetic elliptical porous material before and after rotation

當(dāng)F2單獨(dú)作用時，在點(diǎn)O處產(chǎn)生一個力矩MO，如圖4所示。為使整體材料保持平衡，在桿B1D1和桿A1C1上分別產(chǎn)生力矩MB和MC，力矩MB和MC的合力矩與力矩MO相等。當(dāng)桿A1C1和桿B1D1在力矩MO的作用下繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，桿B1D1相對于水平直線、桿A1C1相對于豎直直線轉(zhuǎn)過相同的角度Δθ，這使桿B1D1在水平方向投影的長度和桿A1C1在豎直方向的投影長度均減小，從而導(dǎo)致材料產(chǎn)生軸向和橫向變形。其中，Δθ主要與點(diǎn)B1和點(diǎn)B2處鉸鏈的旋轉(zhuǎn)剛度kθ有關(guān)，旋轉(zhuǎn)剛度的表達(dá)式為

(4)

式中：I為對角線桿的截面慣性矩。

由于桿A1C1、桿B1D1的橫截面相同，I相同，因此點(diǎn)B1、點(diǎn)C1處的旋轉(zhuǎn)剛度相同。

由于桿A1C1和桿B1D1所轉(zhuǎn)動的角度Δθ相同，且點(diǎn)B1、點(diǎn)C1處的旋轉(zhuǎn)剛度也相同，因此作用在桿A1C1、桿B1D1上的力矩MB和MC也相等。以桿B1D1為例，在MO的作用下，桿B1D1轉(zhuǎn)過的角度Δθ為

(5)

此時桿B1D1在轉(zhuǎn)動Δθ后的軸向變形量Z2為

Z2=Ldsinθ-Ldsin(θ-Δθ)

(6)

由于僅研究基體材料處于線彈性階段時的泊松比，Δθ很小，因此式(6)可以簡化為

Z2=LdΔθcosθ

(7)

將式(2)和式(5)代入到式(7)中，得到：

(8)

由圖4可以看出，當(dāng)只有F2單獨(dú)作用時，材料的軸向變形量Z2與橫向變形量Y相同。

綜上可知，材料在受到軸向載荷時，其泊松比ν的計算公式為

(9)

式中：εy和εz分別為軸向應(yīng)變和橫向應(yīng)變。

將式(3)和式(8)代入式(9)，得到負(fù)泊松比橢圓多孔材料泊松比與設(shè)計參數(shù)間的關(guān)系式：

ν=-1+c2[c-(R+1)b]2/

{3[c2+(R-1)2b2](R-1)2b2+

c2[c-(R+1)b]2}-1

(10)

2.2 彈性模量與設(shè)計參數(shù)的關(guān)系

GIBSON等[7]在研究開孔金屬泡沫的力學(xué)性能時，指出金屬泡沫的等效彈性模量是其相對密度的函數(shù)，并給出了Gibson-Ashby模型，其表達(dá)式為

(11)

式中：E為金屬泡沫的彈性模量；ρ為金屬泡沫的密度；ρ*為基體材料的密度；ρr為金屬泡沫的相對密度；C為與材料有關(guān)的常數(shù)，需要通過試驗(yàn)獲得。

諸多研究[8-11]都將Gibson-Ashby模型用于研究不同類型負(fù)泊松比橢圓多孔材料和點(diǎn)陣材料的彈性模量。負(fù)泊松比橢圓多孔材料的相對密度與其表觀體積Vb和實(shí)際體積Vs的關(guān)系為

ρr=ρ/ρ*=Vs/Vb

(12)

由于初始胞元的相對密度與整體負(fù)泊松比橢圓多孔材料的相同，因此以初始胞元為例計算材料的相對密度。圖5為初始胞元的形成過程，圖中立方體的體積即為初始胞元的表觀體積；而實(shí)際體積無法直接通過計算得到，需要通過表觀體積減去圖中3個相互垂直橢圓柱的體積Vt間接得到。將體積Vt拆分為2個部分分別進(jìn)行計算，第一部分為2個相互垂直橢圓柱的體積V1，第二部分為豎直方向上橢圓柱的體積V2，如圖6所示。

圖5 初始胞元的形成過程示意Fig.5 Diagram of forming process of initial cell

圖6 3個相互垂直橢圓柱拆分后的兩部分示意Fig.6 Diagram of tow parts of three mutually perpendicular elliptical cylinders after splitting

通過積分得到V1和V2的表達(dá)式分別為

(13)

(14)

式(13)和式(14)中的4個積分區(qū)域分別為

D1={(x,y)|x∈(0,c),y∈(x,c)}

(15)

(16)

(17)

(18)

將V1和V2代入式(12)中，可得：

(19)

將式(15)代入式(11)中即可建立材料設(shè)計參數(shù)與彈性模量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

(20)

3 負(fù)泊松比橢圓多孔AlSi10Mg合金泊松比與彈性模量數(shù)學(xué)模型的確定

3.1 試驗(yàn)方法

試驗(yàn)材料為TLS Tecknik Spezialpulver公司通過氣霧化生產(chǎn)的AlSi10Mg合金粉，粒徑為15～53 μm。采用激光選區(qū)熔化(SLM)技術(shù)在M290工業(yè)級3D金屬打印機(jī)上制備負(fù)泊松比橢圓多孔AlSi10Mg合金。根據(jù)文獻(xiàn)[12]的研究結(jié)果，確定SLM的具體工藝參數(shù)為：激光功率200 W，掃描速度80 mm·s-1，掃描間距0.08 mm，鋪粉層厚度30 μm。由于SLM設(shè)備成形臥孔的極限尺寸為2～4 mm，因此將b設(shè)定在1.01.1 mm范圍內(nèi)。R主要影響材料中橢圓孔的形狀，R過大或者過小都會減小材料在軸向和橫向的可變形范圍，從而導(dǎo)致材料的負(fù)泊松比效應(yīng)變得不顯著。為保證多孔AlSi10Mg合金具有顯著的負(fù)泊松比效應(yīng)，將R的范圍設(shè)定在1.1～1.3范圍內(nèi)。REN等[5]研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)材料的相對密度小于0.345時，材料才會表現(xiàn)出負(fù)泊松比的特性。因此，根據(jù)已確定的R和b的范圍，并結(jié)合式(15)，可以初步確定c的范圍；同時為了保證材料中相鄰的2個橢圓孔不相互重疊，將c設(shè)定在3.1～3.3 mm。為了研究b,R,C對泊松比、彈性模量的影響，將這3個設(shè)計參數(shù)作為3個因素，進(jìn)行3組單因素試驗(yàn),每個因素選取4個水平，通過均分法得到每組試驗(yàn)中每個因素的水平。為保證試樣的對稱性[4-5]，試樣在3個主方向上分別由4個最終胞元組成。SLM成形試樣的宏觀形貌如圖7所示。試樣制備完成后進(jìn)行280 ℃×2 h的退火處理，以消除其內(nèi)部應(yīng)力。

圖7 SLM成形試樣的宏觀形貌Fig.7 Macromorphology of SLM formed specimen

在試樣中心取16個胞元制備尺寸為20 mm×20 mm×20 mm的試樣，采用Instron 5965型萬能拉伸試驗(yàn)機(jī)在室溫條件下進(jìn)行壓縮試驗(yàn)，壓縮速度為2 mm·min-1，試樣壓潰后停止壓縮。在壓縮過程中記錄試樣的力-位移曲線，采用視頻測量法測試樣的泊松比，具體操作過程：用攝像機(jī)記錄下試樣壓縮的全過程；從錄下的視頻中截取試樣變形前和變形后的圖像；用圖像處理軟件ImageJ測量圖像中試樣變形前后的高度和寬度，代入式(10)計算泊松比。

3.2 泊松比數(shù)學(xué)模型的驗(yàn)證

由圖8可以看出，試樣在彈性階段的泊松比的試驗(yàn)值和計算值相吻合，相對誤差在10%15%。在研究R對泊松比的影響時，將式(10)中的其他2個設(shè)計參數(shù)看作常數(shù)，對R求導(dǎo)，而R取值范圍為1.11.3，所得導(dǎo)數(shù)小于0，可知試樣的泊松比隨著R的增加而減小。同理可以得到，試樣的泊松比隨著b的增加而減小，隨著c的增大而增大。

圖8 負(fù)泊松比橢圓多孔AlSi10Mg合金的泊松比的試驗(yàn)值和計算值隨長/短軸之比、短軸半軸長、初始胞元邊長的變化曲線Fig.8 Tested and calculated values of Poisson′s ratio of auxetic elliptical porous AlSi10Mg alloy vs major/minor axis ratio (a),semi-minor axis length (b) and initial cell edge length (c)

3.3 彈性模量數(shù)學(xué)模型的確定

由于基體材料和金屬泡沫的結(jié)構(gòu)不同，因此Gibson-Ashby模型的常數(shù)C也不相同。為了確定C，需要確定試樣的彈性模量、基體材料的彈性模量以及相對密度。通過壓縮過程中的力-位移曲線確定試樣的彈性模量。研究表明，采用SLM制備得到AlSi10Mg合金的彈性模量在77～80 GPa[12]，因此基體材料的彈性模量取77 GPa。試樣的相對密度可以通過式(19)計算得到。將試樣的彈性模量、基體材料的彈性模量以及相對密度代入Gibson-Ashby模型中，即可得到C。計算得到C的平均值約為4.123，將其代入式(20)中得到彈性模量與設(shè)計參數(shù)的關(guān)系式為

(21)

4 結(jié) 論

(1) 負(fù)泊松比橢圓多孔材料在受到軸向載荷時，其變形主要由軸向壓縮變形與由材料內(nèi)部旋轉(zhuǎn)引起的軸向變形和橫向變形組成。

(2) 建立了負(fù)泊松比橢圓多孔材料泊松比、彈性模量與設(shè)計參數(shù)之間的數(shù)學(xué)模型，采用SLM制備得到負(fù)泊松比橢圓多孔AlSi10Mg合金的泊松比的試驗(yàn)值和計算值相吻合，相對誤差在10%～15%；橢圓長/短軸之比、短軸半軸長與泊松比呈負(fù)相關(guān)，而初始胞元邊長與泊松比呈正相關(guān)；計算得到負(fù)泊松比橢圓多孔AlSi10Mg合金彈性模量數(shù)學(xué)模型中的常數(shù)C約為4.123。