溫 然，張國(guó)芳

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

0 引言

1983年，Mashhour與A.A.Allam在《On Supra Topological Spaces》[1]中定義了超拓?fù)淇臻g：2X的一個(gè)子集族μ叫做X上的超拓?fù)?，如果滿足下面兩個(gè)條件：1)X∈μ.2)μ中元素的任意并仍在μ中.偶對(duì)(X，μ)稱為超拓?fù)淇臻g，μ中元素稱為超開集，超開集的補(bǔ)集為超閉集并研究了這些概念的一些關(guān)系.介紹了超拓?fù)淇臻g中S連續(xù)映射和S*連續(xù)映射定義，并給出S連續(xù)映射和S*連續(xù)映射的等價(jià)條件.給出了S-T0空間、S-T1空間及S-T2空間，稱超拓?fù)淇臻gX為S-T0空間，如果對(duì)于X中不同兩點(diǎn)，存在其中一點(diǎn)的超鄰域不包含另一點(diǎn).稱超拓?fù)淇臻gX為S-T1空間，對(duì)于X中不同兩點(diǎn)x，y，存在兩個(gè)超開集使得x∈U，y?U且x?V，y∈V.稱超拓?fù)淇臻gX為S-T2空間，對(duì)于X中不同兩點(diǎn)x，y，分別存在x，y的兩個(gè)超開集U與V，使得U∩V=?.

2008年，T.H.Jassim在《On Supra Compactness in Supratopologicol Spaces》[2]中研究了超拓?fù)淇臻g中超緊空間的性質(zhì)，得出超緊空間的任何超閉子集是超緊的、任何有限超拓?fù)淇臻g是超緊的、超緊空間在S*連續(xù)映射下的像是超緊的等結(jié)論，還定義了超拓?fù)涞牡芽柗e，并證明了兩個(gè)超緊空間的笛卡爾積是超緊的.

2016年，T.M.AL-shami 在《Some Results Related to Supratopological Space》[3]中給出超閉包算子、超lindel?空間、超正規(guī)、超正則及STi-空間的定義，稱超拓?fù)淇臻gX為超正規(guī)的，如果對(duì)于X中每個(gè)超閉集F和每個(gè)a?F，存在超開集G和H，F(xiàn)?G，a∈H，有G∩H=?.稱超拓?fù)淇臻gX為超正則的，對(duì)于X中每個(gè)不相交的超閉集F1，F(xiàn)2，存在兩個(gè)超開集G和H，分別包含F(xiàn)1，F(xiàn)2，有G∩H=?.稱超拓?fù)淇臻gX為ST3-空間：如果X既是ST1-空間又是超正規(guī)空間.稱超拓?fù)淇臻gX為ST4-空間：如果X既是ST1-空間又是超正則空間.并舉例說明超正規(guī)空間不具有超遺傳性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[4]設(shè)X是一非空集合，X的一個(gè)子集族μ稱為X的一個(gè)拓?fù)洌绻鼭M足：

1)X，?都包含在μ中.

2)μ中任意多個(gè)成員的并仍在μ中.

3)μ中有限多個(gè)成員的交集仍在μ中.則偶對(duì)(X，μ)稱為拓?fù)淇臻g，μ中元素稱為開集.

定義2[5]集族B?O叫做拓?fù)淇臻g(X，O)的基，如果X中每個(gè)非空開集都可由B的某個(gè)子集族的并表示.

定義3設(shè)是超拓?fù)淇臻gX的超拓?fù)洌?如果中每一元素是的某個(gè)子集族的并，稱是超拓?fù)淇臻gX的超基.

定義4設(shè)X1，X2是兩個(gè)集合，記X1×X2為它們的笛卡爾積，以{U1×U2|U1∈1，U2∈2}為超基的超拓?fù)?，叫做X×Y上的超積拓?fù)洌瑒t稱(X1×X2，)為超積拓?fù)淇臻g.

定義5[6]設(shè)(X,ι)是超拓?fù)淇臻g，取x∈X，U是X的子集，若存在超開集V∈ι，使得x∈V?U，則稱U是點(diǎn)x的超鄰域.

定義6某超拓?fù)淇臻g的一個(gè)超基或在某一點(diǎn)處的一個(gè)超鄰域基，如果是一個(gè)可數(shù)族，則分別簡(jiǎn)稱為一個(gè)可數(shù)超基和一個(gè)可數(shù)超鄰域基.

定義7一個(gè)超拓?fù)淇臻g如果有一個(gè)可數(shù)的超拓?fù)浠瑒t稱此超拓?fù)淇臻g滿足第二超可數(shù)性公理.

定義8一個(gè)超拓?fù)淇臻g如果在它的每一點(diǎn)處有一個(gè)可數(shù)超鄰域基，則稱此超拓?fù)淇臻g滿足第一超可數(shù)性公理.

定義9設(shè)X是一個(gè)超拓?fù)淇臻g，A?X，如果D的超閉包等于X，即scl(A)=X，則稱D為X的一個(gè)超稠密子集.

定義10設(shè)X是一個(gè)超拓?fù)淇臻g，如果X中有一個(gè)可數(shù)的超稠密子集，則稱X為一個(gè)超可分空間.

定義11一個(gè)超拓?fù)淇臻gX是一個(gè)超局部緊空間，如果對(duì)所有x∈X，存在x的一個(gè)超鄰域U，使得scl(U)是X的一個(gè)超緊子空間.

2 主要結(jié)果

定理1若X1，X2是滿足第二超可數(shù)性公理的超拓?fù)淇臻g，則超積空間X1×X2滿足第二超可數(shù)性公理.

定理2若X1，X2是滿足第一超可數(shù)性公理的超拓?fù)淇臻g，則超積空間X1×X2滿足第一超可數(shù)性公理.

所以∪B(x)×B(x′)為X1×X2的超鄰域基，又∪B(x)×B(x′)是可數(shù)的，所以?x∈X1，?x′∈X2，∪B(x)×B(x′)是X1×X2的可數(shù)的超鄰域基，故超積空間X1×X2滿足第一超可數(shù)性公理.

若E是超拓?fù)淇臻g(X，τ)的子集，則包含E的所有超閉集的交稱為E的超閉包，記為scl(E).下面的命題給出了超閉包的等價(jià)條件.

命題1x∈scl(A)?x的任一超鄰域U，都有U∩A≠?.

證明 必要性：1)x∈scl(A)=A∪As′，x∈A，則x的任意超鄰域U，有U∩A?{x}≠?.

2)x∈As′，則x的任意超鄰域U，有U∩(A{x})≠?，即U∩A≠?.

充分性：1)x∈A?scl(A)?x∈scl(A).

2)x?A，A=A{x}，x∈As'?scl(A)?x∈scl(A)，故x得任意鄰域U，有U∩A{x}≠?.

引理2若X1，X2是超拓?fù)淇臻g，X1×X2是它們的乘積空間，證明對(duì)于任何A?X，B?X，有scl(A×B)=scl(A)×scl(B).

證明 設(shè)x=(x1，x2)∈scl(A×B)，對(duì)于任意的超開鄰域x1∈U，x2∈V，由命題1

(U×V)∩(A×B)≠?又因?yàn)?U×V)∩(A×B)=(U∩A)×(V∩B)，所以U∩A≠?，V∩B≠?.所以x1∈scl(A)，x2∈scl(B)，x=(x1，x2)∈scl(A)×scl(B).

故scl(A×B)?scl(A)×scl(B).

反之，設(shè)x=(x1，x2)∈scl(A)×scl(B)，則x1∈scl(A)，x2∈scl(B).對(duì)x的任意的超開鄰域W，分別存在x1，x2的超鄰域U，V，且W=U×V.由于U∩A≠?，V∩B≠?.則(U∩A)×(V∩B)=W∩(A×B)≠φ.所以x∈scl(A×B)，scl(A×B)?scl(A)×scl(B)

綜上所述，scl(A×B)=scl(A)×scl(B).

定理3若X1，X2是超可分空間，則乘積空間X1×X2也是一個(gè)超可分空間.

證明 若X1和X2是超可分空間，D1，D2分別為X1，X2的可數(shù)超稠密子集，則D1×D2為X1×X2的可數(shù)子集.且scl(D1)=X1，scl(D2)=X2，由引理2，

scl(D1×D2)=scl(D1)×scl(D2)=X1×X2.

所以D1×D2為X1×X2的可數(shù)超稠密子集，即X1×X2是超可分空間.

引理3[2]若X，Y都是超緊空間，則乘積空間X×Y也是超緊的.

定理4若X1，X2都是超局部緊空間，則乘積空間X1×X2也是超局部緊空間.

證明 設(shè)X1，X2是超局部緊空間，x=(x1，x2)∈X1×X2，則分別存在x1，x2在X1，X2中的超鄰域U1，U2，使得scl(U1)，scl(U2)分別為X1，X2的超緊子空間.且有U1×U2為x的超鄰域，由引理3，超緊空間與超緊空間的笛卡爾積是超緊的，從而scl(U1)×scl(U2)=scl(U1×U2)為X1×X2中的超緊子空間，所以X1×X2為超局部緊空間.

定理5若X1，X2都是S-T0空間，則超積空間X1×X2也是S-T0空間.

證明 若X1和X2是S-T0空間，(x1，y1)，(x2，y2)是X1×X2中互異的兩點(diǎn)，則有x1≠x2，y1≠y2.因?yàn)閄1為S-T0空間，所以在X1中有超開集U僅含x1與x2之一，不妨設(shè)x1∈U，x2?U，則P-1(U)是X1×X2中點(diǎn)(x1，y1)的超開鄰域，且其不包含(x2，y2)，故X1×X2為S-T0空間.

定理6若X1，X2都是S-T1空間，則乘積空間X1×X2也是S-T1空間.

證明 若X1和X2是S-T1空間，設(shè)x1，x2為X1中互異兩點(diǎn)，y1，y2為X2中互異兩點(diǎn)，則(x1，y1)，(x2，y2)是X1×X2中互異的兩點(diǎn).因?yàn)閄1為S-T1空間，在X1中有超開集U，V使得x1∈U，x2?U且x2∈V，x1?V，則P-1(U)是X1×X2中，點(diǎn)(x1，y1)的超開鄰域且(x2，y2)?P-1(U).P-1(V)是X1×X2中點(diǎn)(x2，y2)的超開鄰域，且(x1，y1)?P-1(V)，則X1×X2也是S-T1空間.

定理7若X1，X2都是S-T2空間，則乘積空間X1×X2也是S-T2空間.

證明：設(shè)X1，X2都是S-T2空間，(x1，y1)，(x2，y2)是X1×X2中互異的兩點(diǎn)，則x1≠x2或y1≠y2，不妨設(shè)x1≠x2，則X1中有x1與x2的不相交的超開集U與V.U×X2與V×X2就是(x1，y1)與(x2，y2)的不相交的超開集.則X1×X2也是S-T2空間.

引理4[3]假設(shè)(X，μ)是超拓?fù)淇臻g，則下面條件是等價(jià)的

1)(X，μ)是超正則的.

2)對(duì)每個(gè)a∈X和a∈U∈μ，則存在V∈μ，使得a∈V?scl(V)?U.

定理8若X1，X2都是S-T3空間，則乘積空間X1×X2也是S-T3空間.

證明 由引理4，設(shè)(x，y)∈X×Y且W為(x，y)的一個(gè)超開鄰域，則存在x與y的超開集U1與U2，使得U1×U2?W，由于X1，X2都是S-T3空間，則存在x與y的超開集V1與V2，使得scl(Vi)?Ui(i=1，2)，于是V1×V2是(x，y)的超開集，并且scl(V1×V2)=scl(V1)×scl(V2)?U1×U2?W.則X1×X2也是S-T3空間.

3 結(jié)束語

將拓?fù)淇臻g上的有限笛卡爾積延伸到超拓?fù)淇臻g上，根據(jù)超拓?fù)淇臻g上已有的基礎(chǔ)知識(shí)定義了超可數(shù)公理、超可分性質(zhì)及超局部緊性等概念，并研究了這些性質(zhì)在超拓?fù)淇臻g都有可乘性.