蘭 杰

(山西財(cái)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030031)

0 引言

本文研究的是變系數(shù)波動(dòng)方程耦合系統(tǒng)：

(1)

帶阻尼項(xiàng)的變系數(shù)波動(dòng)方程，在文獻(xiàn)[4-5]中都進(jìn)行了深入的討論，這篇文章主要對(duì)p,q在合適的假設(shè)下，在系統(tǒng)(1)[1，3]在[0,T]上存在唯一的局部解(u,v)[3]的基礎(chǔ)上，討論具有阻尼項(xiàng)和源項(xiàng)的變系數(shù)波動(dòng)方程耦合系統(tǒng)(1)解的整體存在性以及能量的多項(xiàng)式衰減.以下文章主要分為兩部分，第一部分給出了本文的主要結(jié)論，第二部分對(duì)相關(guān)引理和主要結(jié)論進(jìn)行了證明.

1 主要結(jié)論

同文獻(xiàn)[1]，引入相同的黎曼流形中的一些符號(hào)，我們可以得到如下主要結(jié)論.

定理1(解的整體存在性)假設(shè)存在θ使得

p滿足

1

并且(u0,v0)∈S,(u,v)∈L2(Ω)×L2(Ω)滿足：

(2)

則系統(tǒng)(1)存在一個(gè)整體解(u,v)滿足：

定理2(解的衰減性質(zhì))若定理1的條件成立，并且q滿足2

2 主要結(jié)論的證明

2.1 證明主要結(jié)論之前，需要引入如下幾個(gè)重要引理

引理1[2]令y(t):+→+是一個(gè)非增函數(shù)，并假設(shè)存在常數(shù)β>1和A>0使得

則

引理2設(shè)(u,v)是系統(tǒng)(1)的解，則E(t)滿足：

(3)

注：易得E(t)是一個(gè)非增函數(shù)，即：

E(t)≤E(0),?t∈[0,)

(4)

引理3[3]假設(shè)p滿足

1

(u0,v0)∈S,(u1,v1)∈L2(Ω)×L2(Ω)滿足(2)式.

則(u,v)∈S,?t∈[0,T)并且有

(5)

2.2 主要結(jié)論的證明

定理1的證明

可得

(6)

其中

(7)

類似可得：

(8)

(9)

(10)

將(7)-(10)式代入(6)式可得

取ε充分小，使得

令T→，則有

運(yùn)用引理1，有

證畢.

即可知，若定理1的條件成立，并且q滿足2