吳麗嬌

(福建船政交通職業(yè)學院，福建 福州 350000)

0 引言

經過多年的研究，求非線性微分方程精確解的方法變得越來越多，許多學者利用不同方法在研究一些典型的非線性方程中，已經獲得了一些很有意義的解.并且已經發(fā)現(xiàn)很多典型的非線性偏微分方程有豐富的行波解.近年來，像積分分支法，廣義橢圓方程法，F(xiàn)-展開法等都被廣泛運用于求解非線性偏微分方程的領域中.這三種數(shù)學方法一直都是非線性分析很好的工具.除此之外，還發(fā)現(xiàn)了很多其他求解非線性偏微分的方法，例如：逆散射方法，擴展的雙曲正切方法，維爾斯特拉斯函數(shù)方法，指數(shù)函數(shù)展開法方法，對稱性方法，Baclund變換方法，同倫分析方法，達布變換方法，廣田的雙線性方法，正弦余弦方法，平面動力系統(tǒng)分支方法，輔助方程方法和The simpleast equation方法等等.吳登輝等人(2017)提出利用四階偏微分方程計算方法，結合圖像去噪可以有效去除圖像中的斑點噪聲[1].代慧菊等人(2019)提出利用B?cklund變換結合李對稱分析方法、冪級數(shù)展開法獲得精確解[2].官翠婷等人(2018)提出結合Jensen不等式解決方程初邊值問題可以產生爆破現(xiàn)象[3].基于此，可以看出，利用簡便方法獲得了一些非線性偏微分方程的很多孤立子解和周期波解，同時在簡便方法的基礎上進行改進，提出了一種新的簡便方法，并將其應用于求解.

1 一階非線性偏微分方程確定方法

1.1 一階非線性偏微分方程

經過多年的研究，求非線性微分方程精確解的方法變得越來越多，許多學者利用不同方法在研究一些典型的非線性方程中，已經獲得了一些很有意義的解.并且已經發(fā)現(xiàn)很多典型的非線性偏微分方程有豐富的行波解.例如： CH方程：ut-uxxt+2kux+3uux=2uxuxx+uuxxx，有孤立尖波解等行波解.CH-γ方程：ut+c0ux+3uux-α2(uxxt+uuxxx+3uxuxx)+γuxxx=0，有緊孤子解和廣義紐子波解.著名的KdV方程：ut-6uux+uuxxx=0，有光滑的孤立波解.除此之外，還有double Sine-Gordon方程，Variant Boussinesq方程，(2+1)-dimensional KdV方程都有豐富的行波解.運用這種簡便方法求解下面四階非線性偏微分方程如(1)所示：

(ku+γu2)xx+μuxxtt=νuuxxxx+αuxuxxx+βuxx2+utt，

(1)

到目前為止，已有一些學者對此進行研究，例如Meleshko用一種新算法將該方程轉換成三階線性偏微分方程.Clarkson和Priestley用推廣的tanh方法和cosh-sinh方法求出了該方程的周期波解，類孤子解等.

1.2 非線性波方程

對于一個關于獨立變量u的一類非線性偏微分方程如(2)所示：

H1(u,ux,ut,uxx,uxt,utt,…)=0，

(2)

該方法通過下面四個步驟尋找非線性偏微分方程的精確解：

步驟一: 如(3)所示

u(x,t)=φ(x,t)+R

(3)

其中R任意常數(shù)，將變換(3)代入(2)中，則(2)轉換為下面的形式，如(4)所示：

H2(φ,φx,φt,φxx,φxt,φtt,…)=0.

(4)

步驟二: 確定常數(shù)R的值.

令

Φ=φ-α2φxx

(5)

其中α≠0.將(5)代入(4)中，使(4)的各項表達式都包含Φ或者Φ的各階導數(shù)，根據(jù)方程各項之間系數(shù)的關系，得出R的取值.

例如：考慮如下偏微分方程[4]，如(6)所示：

ut+2kux-uxxt+2uux=uxuxx+uuxxx

(6)

其中k是一個常數(shù).將(3)帶入(6)中結果如(7)所示：

φt+2kφx-φxxt+2φφx+2Rφx=φxφxx+φφxxx+Rφxxx

(7)

(7)可轉換如(8)所示：

(φ-φxx)t+φx(φ-φxx)+φ(φ-φxx)x=-(2R+2k)φx+Rφxxx

(8)

由(5)計算，取α2=1得如(9)所示：

Φt+φxΦ+φΦx=-(2R+2k)φx+Rφxxx

(9)

為了使(9)的每一項都包含Φ或者Φ的各階導數(shù)，必須如(10)所示：

-(2R+2k)=-R

(10)

即，如(11)所示：

R=-2k.

(11)

將(11)代入(9)得如(12)所示：

Φt+φxΦ+φΦx=2kΦx.

(12)

步驟三: 求解方程Φ=0的解.注意到Φ=φ-φxx=0是一線性偏微分方程，因此容易得到該方程的更一般形式的解.

步驟四: 獲得(2)的精確解.(5)的變形，(12)的每一項都包含Φ或者Φ的各級導數(shù).則當φ(x,t)是方程Φ=0的解時，φ(x,t)也是(4)的解.實際上，在(12)中，當φ(x,t)是方程Φ=0的解時，φ(x,t)也是(12)的解.通過改變常數(shù)t的取值來擴展方程Φ=0的基礎解，從而得到(2)的一系列的精確解.

1.3 算法模擬擴展

假如當(2)可化為-kΦxx-Φtt=0的形式時，可令Φ=ct+dx或Φ=φ-φxx=x2-kt2，當φ(x,t)是方程φ-φxx=ct+dx的解或是φ-φxx=ct2-kx2解時，則它也是(2)的解.在計算過程的第四步中，只要在方程Φ=ct+dx或Φ=x2-kt2的基礎解之上進行擴充，就可以得到(2)的一系列精確解.從以上的構造可以看出，根據(jù)不同的方程，使Φ取不同的形式，最終只要能夠轉化為每一項都包含Φ或者Φ的各階導數(shù)的方程，就可以用這種擴展后的簡便方法求解[5].

2 一類四階非線性偏微分方程的求解

2.1 精確解

運用這種簡便方法求解四階非線性偏微分方程如(13)所示：

(ku+γu2)xx+μuxxtt=νuuxxxx+αuxuxxx+βuxx2+utt

(13)

其中k，γ，μ，ν，α，β為任意常數(shù).令u(x,t)=φ(x,t)+R，將其代入(13)的結果如(14)所示：

(k+2γR)φxx+2γφx2+2γφφxx+μφxxtt-νφφxxxx-νRφxxxx-

αφxφxxx-βφxx2-φtt=0

(14)

根據(jù)步驟二，(14)可轉換如(15)所示：

((k+2γR)φ-νRφxx)xx+φx(2γφ-αφxx)x+φ(γφ-νφxx)xx+

φxx(γφ-βφxx)-(φ-μφxx)tt=0.

(15)

令Φ=φ-φxx，為了使(15)的每一項包含Φ或者Φ的各級導數(shù)，則(15)的系數(shù)必須滿足如(16)所示：

μ=1,2γ=α,γ=β,γ=ν,k+2γR=νR

(16)

求解(16)得如(17)所示：

(17)

則(15)可變?yōu)槿?18)所示：

-k(φ-φxx)xx+2γφx(φ-φxx)x+γφ(φ-φxx)xx+

γφxx(φ-φxx)-(φ-φxx)tt=0

(18)

注意到Φ=φ-φxx，(18)可變?yōu)槿?19)所示：

-kΦxx+2γφxΦx+γφΦxx+γφxxΦ-Φtt=0

(19)

2.2 情形計算模擬

當γ≠0時，考慮方程Φ=0.即如(20)所示:

φ-φxx=0

(20)

容易求出(20)的基本解組如(21)所示：

φ(x,t)=A(t)ex+B(t)e-x

(21)

其中A(t)，B(t)是任意函數(shù).當B(t)=0時，如(22)所示：

φ(x,t)=A(t)ex

(22)

當A(t)=0時，如(23)所示：

φ(x,t)=B(t)e-x

(23)

則(22)和(23)均為(20)的解，如(24)、(25)所示：

(24)

(25)

可得(26)、(27)也是(20)的解：

φ(x,t)=B(t)e|x|

(26)

φ(x,t)=B(t)e-|x|

(27)

此外，當A(t)≠B(t)時，由(24)、(25)同樣可以構造如(28)所示：

(28)

從而可以得出如(29)也是(20)的解：

φ(x,t)=A(t)e|x|+B(t)e-|x|

(29)

由于A(t)，B(t)是任意函數(shù)，則可以擴展解(21)如(30)所示[6]：

φ(x,t)=A(t)ex-c1t+B(t)e-x+c2t

(30)

其中c1，c2為任意常數(shù).

不妨假設00時，則有0

(31)

從(31)中可以得出如(32)也是(20)的解：

φ(x,t)=A(t)e|x-c1t|+B(t)e-|x-c2t|

(32)

除此之外，還能擴展(21)如(33)所示：

φ(x,t)=A(t)ex-p(t)+B(t)e-x+q(t)

(33)

其中p(t)，q(t)為任意函數(shù).通過檢驗，(33)也是(20)的解.

相類似地，由于p(t),q(t)是任意函數(shù)，不妨設0

(34)

由(34)可以得如(35)也是(20)的解：

φ(x,t)=A(t)e|x-p(t)|+B(t)e-|x-q(t)|

(35)

(36)

(37)

其中Ai(t),Bj(t),pi(t),和qj(t)是任意函數(shù)，i=1,2,···,N；j=1,2,…,M和N,M是任意正整數(shù).類似構造(20)的解，可得如(38)、(39)所示也是(20)的解：

(38)

(39)

根據(jù)雙曲函數(shù)的定義，(20)不同表達形式的特殊解可通過(36)、(37)構造出來，如(40)、(41)所示：

(40)

(41)

構造(20)的shockpeakon解，每一種shockpeakon解的形式類似如(42)所示：

(42)

其中A,B是任意常數(shù)且A≠B.因此(20)有下面形式的解，如(43)所示:

φ(x,t)=Ae-|x|-Bsgn(x)e-|x|

(43)

再通過(44)計算：

(44)

可得如(45)同樣也是(20)的shockpeakon解：

φ(x,t)=A(t)e-|x|-B(t)sgn(x)e-|x|

(45)

同理可得如(46)也是(20)的shockpeakon：

φ(x,t)=A(t)e-|x-p(t)|-B(t)sgn(x)e-|x-p(t)|

(46)

它能通過如(47)構造出來：

(47)

其中x是任意給定的常數(shù).類似的，(43)，(45)，(46)也可以擴展為如(48)-(50)所示：

(48)

(49)

(50)

值得注意的是，從上面的這些構造過程中，可以得到(20)的其它精確解.

當k≠0，γ=0時，則(19)可化為如(51)所示：

-kΦxx-Φtt=0

(51)

此時，有兩種設法可解(51).

方法一 如(52)所示：

Φ=φ-φxx,φ-φxx=cx+dt

(52)

其中c,d是任意常數(shù).

通過計算可以求出(52)的基本解組為如(53)所示：

φ(x,t)=A(t)ex+B(t)e-x+cx+dt

(53)

其中A(t),B(t)是任意函數(shù).

同理，通過擴展基本解組，可得(53)的下列解，如(54)-(62)所示：

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

滿足(52)的解也是(51)的解.

方法二 如(63)所示:

Φ=φ-φxx,φ-φxx=x2-kt2

(63)

其中k是任意常數(shù).它的基本解組如(64)所示：

φ(x,t)=A(t)ex+B(t)e-x+2-kt2+x2

(64)

其中A(t),B(t)是任意函數(shù).

同理，通過擴展基本解組，可得(63)的下列解，如(65)-(73)所示：

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

滿足(63)的解也是(51)的解.

2.3 精確解波形圖分析

根據(jù)所求得的精確解，利用Maple軟件將幾個典型的波形圖繪制如圖所示：

繪圖時都取γ=1,k=-4,M=1,N=1.

1)A(t)=sin(t),B(t)=cos(t),x∈[-20,20],t∈[-4,4]時，其波形圖如圖1所示.

2)A(t)=sin(t),B(t)=cos(t),x∈[-20,20],t∈[-10,10]時，其波形圖如圖2所示.

3)A(t)=sin(t),B(t)=cos(t),x=-2,t∈[-3,2.3]時，其波形圖如圖3所示.

4)A(t)=sinh(t),B(t)=cosh(-t),x=[-1,1],t∈[-50,50]時，其波形圖如圖4所示.

5)A(t)=sinh(t),B(t)=cosh(-t),x=[-1,1],t=50時，其波形圖如圖5所示.

6)A(t)=sinh(t),B(t)=cosh(-t),t∈[-52,60]時，其波形圖如圖6所示.

圖1 x∈[-20,20],t∈[-4,4]時波形圖圖2 x∈[-20,20],t∈[-10,10]時波形圖

圖3 x=-2,t∈[-3,2.3]時波形圖圖4 x=[-1,1],t∈[-50,50]時波形圖

圖5 x=[-1,1],t=50時波形圖圖6 t∈[-52,60]時波形圖

3 結論

研究求解非線性偏微分的精確解.得出了一種有效簡便方法來求解.和其他方法相比較，這種方法更簡單直接，避免了很多繁瑣重復的計算步驟.用這種簡便方法求解一類四階非線性偏微分方程，得到了它的一般解的表現(xiàn)形式.利用數(shù)學軟件MAPLE，通過參數(shù)取值得了該方程的一些特殊解，包括孤立子精波解、單峰解、多峰解、多重波解、緊孤子解，廣義紐子波解、呼吸子解、爆破波峰解、三角函數(shù)解、雙曲函數(shù)解及它們的混合解.