蔡海濤

(福建省莆田第二中學 351131)

2019年4月2日-4日，福建省第三批高中數(shù)學基地學校研討活動在廈門集美中學舉行，研討的主題是解決高中數(shù)學教育教學實踐中存在的重難點問題，提升2019年高考備考的科學性、針對性，提升教育質量.會議期間,筆者應邀開設了一節(jié)高三微專題復習課“立體幾何中的作圖問題”.現(xiàn)將這節(jié)課的教學過程、設計意圖、課后感悟整理成文，期待拋磚引玉.

一、教學過程

1.切入主題

師:我們知道,解決立體幾何問題需要一定的空間想象能力,研究往往從圖形開始,這就要求我們要有識圖、作圖、用圖的能力.在近幾年的高考及省、市質檢中,立體幾何作圖問題頻頻出現(xiàn),而考生的答題情況不容樂觀.作圖問題就是定性幾何圖形的位置關系,而在立體幾何中最重要的位置關系就是平行和垂直.今天就和同學們一起來研究立體幾何中涉及平行和垂直的作圖問題.

設計意圖:開門見山，直奔主題，提高課堂效率，符合高三數(shù)學復習課的特點，同時讓學生感受學習這節(jié)課的必要性,提升學習的興趣.

2.平行問題

師:請同學們看例1，先考慮第1小題.

例1(人教A版必修二63頁B組第1題改編)一木塊如圖1所示，點P在平面VAC內，D、E分別為棱AB、VB中點.

(1)過點P和直線DE將木塊鋸開，應該怎樣畫線？

(2)過點P將木塊鋸開,使截面平行于直線VB和AC,應怎樣畫線?

生1:點P和DE確定一個平面,連結PD，PE，DE，即為所求畫線.

師:P、D、E三點共面，但題意要求的畫線是畫在如圖三棱錐(木塊)的表面上，所以實質上是要畫出平面PDE與三棱錐表面的交線,直線PD，PE就不符合要求了.那么我們該怎么畫呢?

生2:過點P作MN平行于VA,交AC于M,交VC于N,連結DM、NE、ED,即為所求畫線.

師:回答正確,你是怎么想到的?

生2:首先注意到DE與平面VAC平行,根據(jù)線面平行的性質,平面PDE與平面VAC的交線與直線DE平行,又因為DE∥VA,所以作VA的平行線MN,然后再連結D、M、N、E各點就好了.

師：非常好.畫兩個平面的交線，常常要觀察線面平行的關系，根據(jù)線面平行的性質，得到兩平面的交線.另外,同學們在過一點作已知直線的平行線時,要在某個平面內作出,如這道題目中過點P作MN平行DE就不合理了.接下來,請同學們看第2小題.

生3:過點P作FG平行AC,交VC于F,交VA于G,過點G作GH平行VB,交AB于H,過點H作HI平行AC,交BC于I,連結IF,則平面FGHI即為所求.

教師投影例1兩道題目的解答過程.

設計意圖:引導學生初步感受立體幾何中的作圖問題,明確幾何作圖的每個環(huán)節(jié)都需要有理有據(jù).涉及平行關系的作圖問題,一般根據(jù)平行的性質來尋找求解問題的途徑.

師:通過例1,同學們基本知道了解決立體幾何涉及平行的作圖問題的一般方法.下面通過例1的變式來鞏固一下.

變式(2019年莆田市高三質檢·理19改編)如圖2,邊長為2菱形ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點,將△DAE,△DCF分別沿DE,DF折起,使A,C重合于點P,如圖3.在棱PD上找點G,使得PB∥平面EFG,并說明理由.

學生思考、練習后，教師投影，生4的解答如下:

師:(肯定)對于探究性問題,一般是先假設結論成立,通過這個結論來發(fā)現(xiàn)性質,確定幾何圖形的特征.另外,通過這一小題,同學們也要總結立幾中折疊問題的圖形特點,注意觀察圖形在折疊前后位置關系與長度關系變化的情況.

設計意圖:通過例1及例1變式,分析這兩道題中立幾作圖平行問題的共性,都是從平行關系的性質入手,確定幾何圖形的位置關系,然后再作出圖形.

3.垂直問題

師:請同學們看例2,先完成第1問.

例2如圖6，長方體ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，點E,F分別在A1B1,D1C1上，A1E=D1F=4，面A1C1上有一點O.

(1)(人教A版必修二78頁B組第1題改編)經過點O在平面A1C1內畫一條直線與直線CO垂直，怎樣畫？

(2)(2015年高考全國Ⅱ卷·理19)過點E,F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形，在圖中畫出這個正方形(不必說出畫法和理由).

生5:(1)步中,連結OC1,在面A1C1內,過點O作一直線與OC1垂直,即為所求.

師:(追問)你是如何利用已有的垂直關系這么作圖的?

師:非常好.對于垂直關系的作圖,與平行關系的作圖類似,也是先去尋找原有的位置關系,再利用性質解題.這道題關鍵就是要發(fā)現(xiàn)CC1⊥平面A1C1,然后去構造垂直(過點O作一直線與OC1垂直),從而得到新的線面垂直關系(所求直線垂直平面CC1O),再得到所求直線垂直CO.

設計意圖:例2的解題策略是尋找已有線面垂直關系,構造線線垂直,得到新的線面垂直關系.這種方法也是經過平面α外一定點P向平面α內一條定直線AB引垂線的常用方法,即先經過P點作平面PO⊥α于O，再過O作OH⊥AB于H，連結PH,即為所求,該模型實則三垂線定理的模型.

(片刻后)投影生6例2第(2)的解答,如下:

解(2)交線圍成的正方形EHGF如圖7.

師:(追問)你確定你所畫的圖形是正方形,點H在什么位置?

生6:因為平面AC∥平面A1C1,平面AB1∥平面DC1,所以平面α與此長方體的面相交的交線圍成的四邊形為平行四邊形.又EF垂直平面AB1,可知EF⊥EH,所以該平行四邊形為矩形.因此只須考慮EF=EH=10,即滿足題意.在矩形ABB1A1中,可求得AH=10.

師:很好.作長方體截面,要充分利用平行垂直關系,先判斷截面圖形的形狀,確定位置關系,再確定長度(角度).

設計意圖:涉及垂直關系問題的作圖,引導學生觀察已有的垂直關系,通過在某個平面作線線垂直,得到新的線線垂直或線面垂直,即一般通過線面垂直與線線垂直關系的互相轉化來處理.

（三）缺乏科學、完善、系統(tǒng)的職稱聘用管理辦法和激勵制度。目前不可否認的是絕大多數(shù)科技館作為事業(yè)單位，一定程度上存在“大鍋飯”，員工人浮于事的現(xiàn)象，沒有行之有效的績效獎懲制度，發(fā)現(xiàn)一些管理漏洞、紀律問題等礙于情面也都是輕描淡寫，和稀泥，員工的工作積極性和創(chuàng)造性都較低。

4.鞏固提升

師:請同學們做道練習題.

(2019年福州市高三質檢·文19)如圖8，四棱錐E-ABCD，平面ABCD⊥平面ABE，四邊形ABCD為矩形，AD=6，AB=5，BE=3，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE.

(1)求證：AE⊥BE；(略)

(2)設M在線段DE上，且滿足EM=2MD，試在線段AB上確定一點N，使得MN∥平面BCE，并求MN的長.

同學們自主練習后,教師投影第2問的解答.

生7：(2)解法一：在△ADE中過M點作MG∥AD交AE于G點，在△ABE中過G點作GN∥BE交AB于N點，連MN(如圖9).

因為EM=2MD，所以EG=2GA,BN=2NA．因為NG∥BE,NG?平面BCE，BE?面BCE，所以NG∥平面BCE．同理，GM∥平面BCE．

因為MG∩GN=G，所以平面MGN∥平面BCE.又因為MN?平面MGN，所以MN∥平面BCE，所以N點為線段AB上靠近A點的一個三等分點．

師:兩位同學完成得很好,這兩種方法就是證明線面平行的常用方法,即通過面面平行來證明和通過線線平行來證明.

設計意圖:通過練習,進一步提升同學們立幾作圖的能力,引導學生歸納平行與垂直的作圖的一般方法.作圖方法的多樣性可引導學生多角度思考問題.

5.歸納總結

師:請同學們交流總結下本節(jié)課的學習心得.

生:通過本節(jié)課的學習,我們體會到立體幾何中如何更好去識圖、作圖、用圖,如何利用平行、垂直的性質去解決涉及平行、垂直的作圖問題,在作圖中提升了空間想象能力,書寫中提升推理論證能力.

師:(結束語)同學們總結得很到位,希望大家在以后作圖的學習中進一步提升直觀想象和邏輯推理的素養(yǎng).

二、教學感悟

1.微專題究竟微在哪

高三二輪專題復習中，教師通常圍繞熱點問題開展微專題復習.“微專題”的“微”要立足學生的學情(學生哪個模塊哪個類型題目比較薄弱，為什么比較薄弱)，切口小、針對性強，只有“微”到點上，才能做到精準教學，復習高效.2016年全國Ⅰ卷文科第18題，是一道涉及垂直關系的立體幾何作圖問題，該題實測得分率非常低.這一現(xiàn)象反映了很多教師在平時的教學中，不舍得花一定的時間教學生怎么看圖，怎么作圖，從而沒有很好地培養(yǎng)學生識圖、作圖、用圖的能力.本節(jié)課圍繞“立體幾何中的作圖問題”設計教學，利用平行和垂直兩種關系的作圖，講明作圖的原理，培養(yǎng)模型意識，涵蓋了立體幾何中線線、線面、面面平行垂直關系的轉化，培養(yǎng)了空間想象、推理論證等能力，發(fā)展了數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，起到了以微帶面的效果.

2.高三復習應回歸教材

在高考中，立體幾何的作圖題多次出現(xiàn)，如2018年全國Ⅲ卷文科第19題，2016年全國Ⅰ卷文科第18題 ；2016年四川卷理科第18題；2013年福建卷理科第19題；2013年福建卷文科第18題；2013年湖北卷理科第19題；2013年四川卷理科第19題，文科第19題；2013年安徽卷理科第15題、文科第15題；2009年安徽卷理科第18題；2002年全國卷文科第22題等.這些作圖題蘊含著空間想象、推理論證，考查了立體幾何中最重要的兩項基本功.所以說,高三立體幾何的備考,一定要落在“基礎”上，無論是哪種層次的考生，基礎部分的分值至關重要.因此，在備考時要回歸教材.基于此，筆者在例題的選擇上都是以課本的例題為母題，然后再進行變式，通過變式，可以發(fā)現(xiàn)很多高考題都是源于教材，希望以此來引發(fā)學生和聽課教師對回歸教材的思考，讓師生在備考時真正做到回歸教材，聚集高考.