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        已知函數(shù)的最值求參數(shù)值或取值范圍問題的一種解法

        2020-03-30 05:34:38甘志國
        數(shù)理化解題研究 2020年7期
        關(guān)鍵詞:參數(shù)值增函數(shù)所求

        甘志國

        (北京市豐臺二中 100071)

        題1 已知函數(shù)y=x2-2(a-1)x+4(1≤x≤5)的最小值為2,求常數(shù)a的值.

        x≤a(2-lnx)(0

        (1)當(dāng)x<1時,若函數(shù)f(x)有且只有一個極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____;

        (2)若函數(shù)f(x)的最大值為1,則a=____.

        解(1)(-∞,1).當(dāng)x<1時,f(x)=a2-(x-a)2有且只有一個極值點(diǎn),即有極值點(diǎn),其充要條件是a<1.

        (2)-1.函數(shù)f(x)的最大值為1,即下面的兩種情況之一成立:

        ①“當(dāng)x<1時,f(x)max=1”且“當(dāng)x≥1時,f(x)≤1”.

        綜上所述,可得a=-1.

        ②“當(dāng)x≥1時,f(x)max=1”且“當(dāng)x<1時,f(x)≤1”.

        “當(dāng)x≥1時,f(x)max=1”

        所以“當(dāng)x≥1時,f(x)max=1”即a=e.

        但是,當(dāng)a=e且x<1時,由f(x)=e2-(x-e)2可得f(x)的取值范圍是(-∞,2e-1),而2e-1>1,得f(x)≤1不恒成立.

        綜上所述,可得此時不符合題意.

        因而所求答案是a=-1.

        (?t0∈[4-2a,5-2a],t0=5-a或a-5)

        ?(5-a∈[4-2a,5-2a]或a-5∈[4-2a,5-2a])

        綜上所述,可得所求a的取值范圍是[0,3].

        題6 (2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試(B卷)第2題)已知函數(shù)y=(acos2x-3)sinx的最小值為-3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

        可得題設(shè)即g(t)≥-3(-1≤t≤1)恒成立,且?t∈[-1,1],使得g(t)=-3.

        因?yàn)間(1)=-3,所以題設(shè)即g(t)≥-3(-1≤t<1)恒成立,也即at(t+1)(t-1)+3(t-1)≤0(-1≤t<1)恒成立,即at(t+1)≥-3(-1≤t<1)恒成立,即at(t+1)≥-3(t∈(-1,0)∪(0,1))恒成立.

        (1)當(dāng)a=0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

        解(1)(過程略)(0,e).

        進(jìn)而可得:當(dāng)x∈(0,x0)時,g(x)>0,f′(x)>0,f(x)是增函數(shù);當(dāng)x∈(x0,+∞)時,g(x)<0,f′(x)<0,f(x)是減函數(shù).

        (2)的另解由a>0,可得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).

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