王昌林 羅萍雙

摘 要：在研究性學(xué)習(xí)過程中，將知識與實(shí)際應(yīng)用有機(jī)結(jié)合，最后達(dá)到學(xué)以致用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識是《標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》所提倡的，也是研究性學(xué)習(xí)在研究成果上的最終目的.從學(xué)生認(rèn)知心理學(xué)的角度，研究性學(xué)習(xí)處于問題的第三層次：問題的解決.通過研究性學(xué)習(xí)，發(fā)展所獲得的知識使其能夠應(yīng)用于解決實(shí)際問題.

關(guān)鍵詞：研究性學(xué)習(xí);軸對稱;最值

研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程.這個過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明.研究性學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式，有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程，初步理解直觀和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系，初步嘗試數(shù)學(xué)研究的過程，體驗(yàn)創(chuàng)造的激情，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神;有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力;有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力[1].

但不是所有的課題都適用于研究性學(xué)習(xí)，研究性學(xué)習(xí)也不能完全取代傳統(tǒng)教學(xué)，研究性學(xué)習(xí)是對傳統(tǒng)教學(xué)的補(bǔ)充和發(fā)展，注重的是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，提升學(xué)生綜合素質(zhì)的一種教學(xué)模式.

研究性學(xué)習(xí)問題的提出主要滿足以下四個課題選取的原則：問題題材選取的典型性;問題開展研究的可行性;問題拓展方向的多向性;問題研究成果的應(yīng)用性.

1 問題呈現(xiàn)

如圖1所示，現(xiàn)有兩點(diǎn)A，B分別位于直線l兩側(cè)，在直線l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小.

2 問題剖析

2.1 問題題材選取的典型性

（1）“將軍飲馬”是一個典型的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式[2] .

（2）以該問題為生長點(diǎn)命制了大量中考試題與競賽題.

（3）具有歷史性，有著典型的歷史背景.

古希臘的亞里山大里亞城有一位叫海倫的偉大學(xué)者，某一天，有位將軍不遠(yuǎn)萬里的專程到亞歷山大城向海倫求教問題：“自己從一個地方出發(fā)到河邊飲馬，然后再去另外一地軍營視察，路線有很多，但是不知道怎樣的路線是最短的.”

（4）與物理學(xué)科中光的傳播路徑有著共同之處.

（5）兩線段之和的最小值實(shí)際上就是數(shù)學(xué)建模圖論中最短路徑問題，是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生活實(shí)際問題的典型代表.

2.2 問題開展研究的可行性

（1）難度適中，本問題可以在學(xué)生已有知識基礎(chǔ)之上進(jìn)行研究性學(xué)習(xí).如圖2所示，作點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B1，連接AB1與直線l相交于點(diǎn)P.

原理：兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PB的最小值為AB1.

（2）所蘊(yùn)含的理論知識較為簡單，即“兩點(diǎn)之間線段最短”.

（3）無硬件設(shè)施要求，只需簡單的學(xué)習(xí)工具就可進(jìn)行研究操作.

2.3 問題拓展方向的多向性

（1）“將軍飲馬”是數(shù)學(xué)知識進(jìn)行實(shí)際運(yùn)用的典型代表，而實(shí)際問題中，由于河流的數(shù)量、人所處的位置以及外界環(huán)境的影響而改變路線等都可能發(fā)生，讓學(xué)生針對改變的量進(jìn)行相關(guān)的推廣并利用所學(xué)知識作出最優(yōu)路徑.

推廣1 將飲馬點(diǎn)變成一條線段.

分析 如圖3所示，在直線l上求兩點(diǎn)，將M與N兩點(diǎn)的距離固定為a，轉(zhuǎn)化為求AM+MN+NB的最小值.

結(jié)論 求AM+MN+NB的最小值等于MN+A2B的值.

推廣2 將點(diǎn)B放在兩條平行線組成的河流的對岸.

分析 如圖4所示，將河流看成兩條平行的直線l1與l2，河中的路線為垂直于河流的垂線段MN，人與景的位置看成點(diǎn)A與點(diǎn)B.轉(zhuǎn)化為求AM+MN+NB的最小值.

結(jié)論 求AM+MN+NB的最小值等于MN+A1B的值.

推廣3 將河流轉(zhuǎn)變成相交的兩條直線.

分析 如圖5所示，將河流抽象為兩條直線l1與l2，軍營抽象為點(diǎn)P.直線l1與l2上兩點(diǎn)M與N，最短路線就是求PM+MN+NP的最小值.

結(jié)論 求PM+MN+NP的最小值等于P1P2的值.

推廣4 在推廣3基礎(chǔ)上增加點(diǎn)的個數(shù).

分析 如圖6所示，將河流抽象為兩條直線l1與l2，軍營和將軍的位置分別抽象為點(diǎn)P與點(diǎn)Q.直線l1與l2上兩點(diǎn)M與N，最短路線就是求QP+PM+MN+NP的最小值.

結(jié)論 求QP+PM+MN+NP的最小值等于求P1Q1的值.

（2）根據(jù)一個問題想到眾多實(shí)際中可能出現(xiàn)的情況，一個變多個與改變研究對象的狀態(tài)的思考方式對于問題的本身，找到了不同的情況下對應(yīng)的處理方式，得到和的最小值.既然有和的最小值，就會有差的最小值或者最大值.

點(diǎn)A與點(diǎn)B在同側(cè)時：

變式1 去河邊的距離與飲馬后回軍營的距離的差的絕對值的最小值.

變式2 去河邊的距離與飲馬后回軍營的距離的差的絕對值的最大值.

點(diǎn)A與點(diǎn)B在異側(cè)時：

變式3 去河邊的距離與飲馬后回軍營的距離的差的絕對值的最小值.

變式4 去河邊的距離與飲馬后回軍營的距離的差的絕對值的最大值.

評注 多個視角下的推廣以及變式，讓學(xué)生可以在不同的變式推導(dǎo)過程中體驗(yàn)到基本量之間的聯(lián)系，打開學(xué)生的思維，完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu).

（3）在探究的過程中發(fā)現(xiàn)貫穿全部的研究過程中都利用了兩點(diǎn)之間直線段最短，改變情景，探究多條河流，例如：若軍營處于三條河流交匯的小島上，要使得軍營補(bǔ)給站向每個交匯處的營地發(fā)出的補(bǔ)給運(yùn)輸總路程最短.

分析 如圖7所示，將河流抽象為三條直線l1，l2與l3，軍營補(bǔ)給站的位置抽象為點(diǎn)P，三個警衛(wèi)營分別為點(diǎn)A、點(diǎn)B與點(diǎn)C.總路程最短就是求PA+PB+PC的最小值.而三點(diǎn)又不是在同一直線上的點(diǎn)，則需將三點(diǎn)放在同一直線上.通過構(gòu)造等邊三角形，利用旋轉(zhuǎn)方式將PA，PB，PC放于同一直線上.當(dāng)∠APB=∠BPC=∠APC=120°時，就是最短的總路程.其中點(diǎn)P所在的位置為“費(fèi)馬點(diǎn)”.

2.4 問題研究成果的應(yīng)用性

應(yīng)用1 （2018年初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試A卷第2（2）題）如圖8所示，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=12，點(diǎn)C在OA上，AC=4，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為弧AB上的動點(diǎn)，OE與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)F，求CE+2DE的最小值[3].

評注 本題中通過作輔助線利用相似比，再運(yùn)用推論4思想可以對問題進(jìn)行求解.

應(yīng)用2 如圖9所示，將邊長為6的正三角形紙片ABC按圖9順序進(jìn)行兩次折疊，展開后得折痕AD，BE（如圖10），點(diǎn)O為其交點(diǎn).

（1）探究AO與OD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（2）如圖11，若點(diǎn)P與點(diǎn)N分別在BE與BC上的動點(diǎn).①當(dāng)PN+PD的長度取得最小值時，求BP的長度;②如圖12，若點(diǎn)Q在線段BO上，BQ=1，則QN+NP+PD的最小值.

評注 本試題中，折痕與邊之間的線段長度之和的最小值也就是在研究性學(xué)習(xí)中推廣3與推廣4中將河流轉(zhuǎn)化為兩邊之間的路徑最短問題.

本案例用將軍飲馬的故事引入，打破傳統(tǒng)課堂中單調(diào)的上課方式，讓學(xué)生想象將軍飲馬的各種情境，并學(xué)會將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與線的關(guān)系來考慮.改變傳統(tǒng)模式促使學(xué)生自己動手解決問題.初中學(xué)生積累知識比較少，不宜太復(fù)雜，而理想狀態(tài)下的點(diǎn)與線還是可以進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的. “將軍飲馬”是一個非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，筆者僅以簡單的問題形式對研究性學(xué)習(xí)課題的選取作以具體的闡述，希望能為后續(xù)的進(jìn)一步研究起到拋磚引玉的作用.

參考文獻(xiàn)：

[1] 林建平.淺談高中數(shù)學(xué)自主探究式教學(xué)模式[J].福建教育學(xué)院學(xué)報，2005（06）：38-39.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[3] 榮賀，曲藝.與阿氏圓有關(guān)的廣義將軍飲馬問題[J].數(shù)學(xué)通報，2018，57（08）：48-52.

（收稿日期：2019-10-12）