胡建晨,王 勇,丁寶蒼

(西安交通大學(xué)電子信息與工程學(xué)院,陜西西安 710049)

1 引言

模型預(yù)測(cè)控制(model predictive control,MPC)是在工業(yè)過(guò)程中得到高度認(rèn)可并廣泛應(yīng)用的控制方法[1-2],其具有在滿足操作變量(manipulated variable,MV)和狀態(tài)約束的情況下在線優(yōu)化的能力.通常,工業(yè)過(guò)程中應(yīng)用的MPC具有遞階結(jié)構(gòu),上層實(shí)時(shí)優(yōu)化(real time optimization,RTO)決定目標(biāo)理想值(xt,ut)并將其傳遞給中間層,中間層穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算(steady state target calculation,SSTC)以跟蹤上層RTO給定的目標(biāo)理想值為性能指標(biāo),通過(guò)多目標(biāo)協(xié)調(diào)優(yōu)化得到穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值,下層MPC跟蹤穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值得到控制作用[3-6].上層RTO通常采用穩(wěn)態(tài)非線性模型(工作在小時(shí)/天級(jí)別),中間層SSTC通常采用穩(wěn)態(tài)線性模型(工作在分鐘級(jí)別),下層MPC 采用動(dòng)態(tài)線性模型(工作在秒級(jí)別).通常,綜合考慮了SSTC的MPC算法被稱(chēng)為雙層結(jié)構(gòu)MPC,簡(jiǎn)稱(chēng)雙層MPC.雙層MPC采用的線性模型可通過(guò)將非線性模型在平衡點(diǎn)附近線性化得到,或在工程中直接通過(guò)辨識(shí)方法得到.當(dāng)系統(tǒng)具有模型不確定性時(shí),傳統(tǒng)工業(yè)預(yù)測(cè)控制方法上層優(yōu)化層和下層控制層采用的模型不一致性會(huì)導(dǎo)致它們的穩(wěn)態(tài)增益不同,而帶來(lái)靜差[7-8].

一般的非線性模型可被描述成線性參數(shù)時(shí)變(linear parameter varying,LPV)模型,即非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性可以被一組局部線性模型包含,在不同的操作條件下系統(tǒng)可在不同的局部線性模型之間切換[9-10].對(duì)于具有模型不確定性的系統(tǒng),通常假設(shè)其具有多胞不確定性,這即是說(shuō)LPV模型參數(shù)屬于由局部線性模型描述的多胞內(nèi).多胞描述模型已經(jīng)過(guò)學(xué)者們多年研究,基于線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)框架下給出了具有代表性的理論成果[11-16].而對(duì)于具有遞階結(jié)構(gòu)的雙層MPC,關(guān)于多胞描述模型的研究甚少.

考慮具有模型不確定性的系統(tǒng),采用多胞描述模型代替在平衡點(diǎn)附近工作的線性模型.本文同時(shí)考慮狀態(tài)不可測(cè)情形,需要通過(guò)可測(cè)系統(tǒng)輸出來(lái)估計(jì)狀態(tài)的實(shí)時(shí)值,利用狀態(tài)的估計(jì)值對(duì)系統(tǒng)未來(lái)狀態(tài)做預(yù)報(bào).由于采用了多胞描述模型,每時(shí)刻狀態(tài)預(yù)測(cè)方程中的參數(shù)由多胞頂點(diǎn)值構(gòu)成,對(duì)未來(lái)狀態(tài)的估計(jì)是關(guān)于未來(lái)多胞頂點(diǎn)狀態(tài)預(yù)測(cè)值的凸組合.文獻(xiàn)[17]通過(guò)構(gòu)造參數(shù)依賴的頂點(diǎn)控制作用及狀態(tài)預(yù)測(cè)方程,給出了開(kāi)環(huán)狀態(tài)反饋單層MPC控制方案.本文通過(guò)構(gòu)造類(lèi)似的參數(shù)依賴頂點(diǎn)控制作用及狀態(tài)預(yù)測(cè)方程,給出了啟發(fā)式開(kāi)環(huán)輸出反饋雙層MPC方案,其中包含了SSTC層及動(dòng)態(tài)控制層的設(shè)計(jì).由于模型系數(shù)實(shí)時(shí)值未知,在SSTC層穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值通常無(wú)法滿足穩(wěn)態(tài)LPV方程,因而在SSTC層穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值應(yīng)滿足某個(gè)非線性方程.本文方案利用由SSTC層穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值及多胞頂點(diǎn)值構(gòu)成的穩(wěn)態(tài)預(yù)測(cè)方程計(jì)算得到頂點(diǎn)穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值,下層動(dòng)態(tài)控制通過(guò)跟蹤頂點(diǎn)穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值優(yōu)化得到控制作用并實(shí)施當(dāng)前時(shí)刻第一步控制作用.上下層模型具有較好的一致性可以實(shí)現(xiàn)無(wú)靜差.

現(xiàn)有的SSTC層雖有一些采用非線性模型,然而多數(shù)仍采用線性模型(SSTC優(yōu)化問(wèn)題求解得到的穩(wěn)態(tài)目標(biāo)變化速度不能過(guò)慢).因方案采用多胞描述模型,多個(gè)局部穩(wěn)態(tài)線性模型并不能保證穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值有解,文獻(xiàn)[18]在SSTC層通過(guò)在穩(wěn)態(tài)LPV模型中引入人工干擾從而保證了穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值有解,同時(shí)在SSTC優(yōu)化問(wèn)題中懲罰人工干擾的幅值來(lái)保證解的唯一性,最終可得到最優(yōu)穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值與對(duì)應(yīng)的人工干擾.本文利用文獻(xiàn)[18]的穩(wěn)態(tài)目標(biāo)計(jì)算思路對(duì)SSTC層采用的穩(wěn)態(tài)多胞描述模型引入人工干擾,同時(shí)對(duì)動(dòng)態(tài)模型也引入人工干擾用來(lái)達(dá)到穩(wěn)態(tài)預(yù)測(cè)方程和動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)方程的統(tǒng)一,基于此改進(jìn)控制方案.該方案上下層均采用具有人工干擾的多胞描述模型,同樣可保證無(wú)靜差.不同于文獻(xiàn)[17-18]中求解min-max優(yōu)化問(wèn)題得到控制作用,本文方案采用二次性能指標(biāo),優(yōu)化問(wèn)題均可轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃(quadratic programming,QP)問(wèn)題求解.

本文規(guī)劃如下:第2章介紹多胞描述模型并引入?yún)?shù)依賴的頂點(diǎn)控制作用;第3章通過(guò)引入動(dòng)態(tài)及穩(wěn)態(tài)預(yù)測(cè)方程從而提出啟發(fā)式開(kāi)環(huán)輸出反饋雙層MPC整體方案;第4章基于引入人工干擾的多胞描述模型介紹改進(jìn)的控制方案;第5章進(jìn)行仿真驗(yàn)證;第6章小結(jié)全文.本文主要符號(hào)見(jiàn)表1.

表1 本文符號(hào)Table 1 The notations in this paper

2 問(wèn)題描述

考慮如下的離散時(shí)間多胞描述模型:

其中:u∈Rm為控制輸入,x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài),y∈Rr為系統(tǒng)輸出.通?？紤]如下的輸入和狀態(tài)約束:

其中存在系數(shù)ωl(k)使得

令凸包

凸包的頂點(diǎn)值[Al|Bl|Cl]通常已知/給定,一般假設(shè)ωl(k)的實(shí)時(shí)值未知/不可測(cè),這即是說(shuō)LPV模型參數(shù)[A(k)|B(k)|C(k)]的實(shí)時(shí)值未知/不可測(cè).假設(shè)狀態(tài)x(k)不可測(cè)(或并非所有x(k)可測(cè)),輸出y(k)的實(shí)時(shí)值可測(cè),可采用如下觀測(cè)器估計(jì)狀態(tài)實(shí)時(shí)值:

注意到采用式(3)-(4)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)時(shí),當(dāng)前觀測(cè)器系數(shù)已確定、輸出y(k)可測(cè)、估計(jì)狀態(tài)(k)已知,下一時(shí)刻的估計(jì)狀態(tài)(k+1)可通過(guò)狀態(tài)觀測(cè)器得到,但未來(lái)時(shí)刻的狀態(tài)(k+1+i),?i ≥1是不可知的,需要通過(guò)動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行狀態(tài)預(yù)測(cè)得到.

令控制時(shí)域與預(yù)測(cè)時(shí)域?yàn)镹,采用文獻(xiàn)[17]中的方法定義依賴于多胞頂點(diǎn)值的未來(lái)時(shí)刻頂點(diǎn)控制作用u(k|k),ul0(k+1|k),···,ulN?2···l0(k+N?1|k),?lj∈{1,···,L},j∈{0,···,N?2},使其滿足狀態(tài)方程

其中:i∈{1,···,N?1},lj∈{1,···,L},j∈{0,···,N?1}.式中l(wèi)i?1···l0(k+i|k),i∈{1,···,N}為頂點(diǎn)狀態(tài)預(yù)測(cè)值.未來(lái)真實(shí)控制作用u(k+i|k),?i>0依賴于多胞系數(shù),是未知/不可測(cè)的,可表示為

則未來(lái)時(shí)刻狀態(tài)預(yù)測(cè)可寫(xiě)為向量形式

3 開(kāi)環(huán)輸出反饋預(yù)測(cè)控制

對(duì)于一般基于線性模型的預(yù)測(cè)控制方案中,優(yōu)化問(wèn)題懲罰預(yù)測(cè)狀態(tài)和未來(lái)控制作用與穩(wěn)態(tài)值的差值.對(duì)于本文考慮的具有模型不確定性的系統(tǒng)來(lái)說(shuō),多胞描述模型中的參數(shù)ω(k)未知,這意味著準(zhǔn)確的系統(tǒng)狀態(tài)未知.當(dāng)預(yù)測(cè)時(shí)域N增加,每一個(gè)時(shí)刻的未知參數(shù)如式(10)中所示取過(guò)去時(shí)刻所有ω(k)的乘積,這便會(huì)導(dǎo)致隨著預(yù)測(cè)時(shí)域N的增加,未來(lái)狀態(tài)的不確定性指數(shù)增加.為了解決這個(gè)問(wèn)題,本文引入頂點(diǎn)控制作用從而使得頂點(diǎn)預(yù)測(cè)狀態(tài)跟蹤其頂點(diǎn)穩(wěn)態(tài)值,這樣便可處理預(yù)測(cè)模型中不確定參數(shù)ω(k)的影響,由式(8)-(9)可推導(dǎo)得到基于頂點(diǎn)狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)預(yù)測(cè)方程以及動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)方程

式(13)-(14)中Q1,l0,R0,Q2,l1,l0,R1,l0,···,QN,lN?1···l0,RN?1,lN?2···l0為非負(fù)加權(quán)陣.以頂點(diǎn)控制作用為決策變量,優(yōu)化問(wèn)題可構(gòu)造為如下QP問(wèn)題:

4 基于人工干擾的輸出反饋預(yù)測(cè)控制

上一章介紹的開(kāi)環(huán)輸出反饋預(yù)測(cè)控制方案在SSTC層穩(wěn)態(tài)目標(biāo)滿足某個(gè)非線性方程,而在一般的SSTC模塊,考慮到計(jì)算時(shí)間通常工作在分鐘級(jí),通常采用線性模型.而針對(duì)多胞描述模型,線性穩(wěn)態(tài)方程xss(k)=Alxss(k)+Bluss(k),l=1,2,···,L,通常不能被滿足,文獻(xiàn)[18]給出了一種引入人工干擾的方法使得SSTC模塊可以直接采用多胞描述模型,引入人工干擾dl∈Rn使得多胞描述模型穩(wěn)態(tài)方程變?yōu)?/p>

其中:AlI,?l∈{1,2,···,L}.由于人工干擾的引入,方程(18)中變量數(shù)L+2大于方程數(shù)L,則此方程有解,且滿足方程(18)的穩(wěn)態(tài)目標(biāo)解xss(k)和uss(k)不唯一,在SSTC優(yōu)化問(wèn)題中需要同時(shí)以dl(k)為決策變量.由于dl(k)為人為引入的干擾,需要在SSTC性能指標(biāo)中加入使得其幅值最小化.SSTC優(yōu)化問(wèn)題可有多種多樣的構(gòu)造方法,可能包含多優(yōu)先級(jí)和軟約束放松,整體解決方案見(jiàn)文獻(xiàn)[20]所示,本文不再贅述.

注1在一般的SSTC層中，通過(guò)優(yōu)化問(wèn)題得到穩(wěn)態(tài)目標(biāo)xss和uss.在本文構(gòu)造的SSTC優(yōu)化問(wèn)題中,進(jìn)一步得到滿足式(18)的dl(k).人工干擾dl(k)為引入的決策變量.也可以看作是穩(wěn)態(tài)偏置項(xiàng)(見(jiàn)文獻(xiàn)[18]).它的主要用途是使得基于多胞描述模型的穩(wěn)態(tài)方程(18)有解而引入的自由度.否則,方程(18)無(wú)法保證有解.

由于引入了人工干擾,多胞描述模型(1)變?yōu)?/p>

每個(gè)時(shí)刻求解如下二次規(guī)劃問(wèn)題并且取第1步u?(k|k)送入實(shí)際系統(tǒng):

5 仿真算例

考慮文獻(xiàn)[21]中不含干擾項(xiàng)的非線性CSTR模型:

采用文獻(xiàn)[21]中的處理辦法可得到多胞描述模型,式(1)中參數(shù)為

輸入與輸出約束為|u|≥10 和|y|≥10,狀態(tài)約束|x1|≥0.5.

取初始狀態(tài)x(0)=[0.2?8]T,y(0)=3.3,目標(biāo)理想值ut=2.5,xt=[?0.04 2.37]T,L0=[1 1]T,N=3,Q=10,R=1,采用本文第3章介紹的算法,在SSTC層采用穩(wěn)態(tài)非線性模型,在每一時(shí)刻解優(yōu)化問(wèn)題(15)-(17),仿真結(jié)果如圖1-3所示,可以看到控制作用和系統(tǒng)狀態(tài)很好地跟蹤了可達(dá)目標(biāo)理想值,上下層的模型一致性保證了無(wú)靜差.

圖1 狀態(tài)x1(k)響應(yīng)(第3章算法)Fig.1 Response of state x1(k)(algorithm in Chapter 3)

圖2 狀態(tài)x2(k)響應(yīng)(第3章算法)Fig.2 Response of state x2(k)(algorithm in Chapter 3)

圖3 輸入信號(hào)u(k)響應(yīng)(第3章算法)Fig.3 Response of input signal u(k)(algorithm in Chapter 3)

采用本文第4章介紹的算法,引入了人工干擾,在SSTC層采用線性模型,仿真結(jié)果如圖4-6所示,可以看到控制作用和系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤上層穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值,同樣保證了無(wú)靜差.

圖5 狀態(tài)x1(k)響應(yīng)(第4章算法)Fig.5 Response of state x1(k)(algorithm in Chapter 4)

圖6 狀態(tài)x2(k)響應(yīng)(第4章算法)Fig.6 Response of state x2(k)(algorithm in Chapter 4)

6 結(jié)論

本文給出了基于多胞描述模型的啟發(fā)式開(kāi)環(huán)輸出反饋預(yù)測(cè)控制的兩種解決方案,通過(guò)引入頂點(diǎn)控制作用得到頂點(diǎn)狀態(tài)預(yù)測(cè)方程,優(yōu)化問(wèn)題跟蹤穩(wěn)態(tài)目標(biāo)的頂點(diǎn)值得到控制作用.第3章介紹的方案適用于穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值滿足某個(gè)非線性方程.第4章介紹的方案適用于穩(wěn)態(tài)目標(biāo)值滿足引入人工干擾的線性方程.兩種方案均通過(guò)仿真驗(yàn)證了其可行性和有效性.由于采用多胞描述模型,計(jì)算量相比于一般的工業(yè)預(yù)測(cè)控制稍大.