魯成甜,喻 圣,程 培

(安徽大學數(shù)學科學學院,安徽合肥 230601)

1 引言

近幾十年來,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型得到了廣泛的研究,在信號處理、聯(lián)想記憶、模式識別和組合優(yōu)化等方面都有應(yīng)用,吸引力大量學者的關(guān)注.而在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中由于神經(jīng)元之間的相互作用不同步性或信號傳輸速度的有限性,不可避免地會產(chǎn)生時滯.因此,研究具有時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性具有重要意義[1].而脈沖描述了系統(tǒng)狀態(tài)的瞬時跳變或重置,也是引起系統(tǒng)不穩(wěn)定和性能差的主要原因之一[2].再者,對于實際系統(tǒng),隨機噪聲擾動的影響也是不可或缺的[3],為了準確地描述系統(tǒng),從而設(shè)計出好的控制方案,研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要充分考慮隨機噪聲擾動的影響.由于同時考慮了脈沖和隨機噪聲擾動兩個因素的影響,具有時滯的脈沖隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性分析相對比較復雜.因此,該系統(tǒng)的穩(wěn)定性的研究具有理論和現(xiàn)實的重要意義.

另一方面,眾所周知,在系統(tǒng)穩(wěn)定性理論的研究中,往往考慮比較多的是Lyapunov穩(wěn)定性.Lyapunov穩(wěn)定性側(cè)重于系統(tǒng)在無窮時間區(qū)間上的動態(tài)行為,它反映的是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能,而在很多實際應(yīng)用中只關(guān)注系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能是不夠的,系統(tǒng)的暫態(tài)性能也起著很重要的作用,如在兩個航天器交會對接過程、衛(wèi)星變軌過程、飛行器再入過程等方面有限時間穩(wěn)定性就描述了系統(tǒng)的暫態(tài)性能.有限時間穩(wěn)定是指如果給定初始條件下,系統(tǒng)的狀態(tài)在一段特定時間區(qū)間內(nèi)始終不超出某個特定區(qū)域.它的概念可以追溯到1960年[4-5],經(jīng)過其后60多年的發(fā)展,有限時間穩(wěn)定性的研究已取得了豐富的結(jié)果[6-9].Ali等人利用一個新的Lyapunov-Krasovskii 泛函和線性矩陣不等式(linear matrix inequalities,LMIs)工具分析了Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隨機有限時間穩(wěn)定性[10].Lee等人利用平均脈沖區(qū)間條件研究了非線性脈沖系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性問題[11].Zhu等人利用多重Lyapunov-like函數(shù)考慮了具有時變時滯的非線性脈沖隨機系統(tǒng)的均方有限時間穩(wěn)定性[12].盡管關(guān)于各類系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性問題的研究已有不少成果,但值得注意的是,關(guān)于同時考慮脈沖和隨機噪聲擾動的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間穩(wěn)定性的結(jié)果不多見.

因此,本文利用平均脈沖區(qū)間條件,隨機分析技巧和Lyapunov泛函結(jié)合LMIs工具,研究具有時滯的脈沖隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的均方有限時間穩(wěn)定性問題,對反鎮(zhèn)定型、中立型和鎮(zhèn)定型3種類型的脈沖分別給出系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定的充分條件.最后通過一個數(shù)值例子驗證了理論結(jié)果的有效性.

2 準備知識

本文采用以下記號:記(?,F,{Ft}t≥0,P)為一完備概率空間,{Ft}t≥0為一滿足通常條件的σ代數(shù)流,ω(t)為定義在該空間上的1維布朗運動,上標T表示向量或矩陣的轉(zhuǎn)置,?表示矩陣中由對稱性得到的元素.λmax(·)為實對稱矩陣的最大特征值,diag{·}為對角矩陣,tr{·}為矩陣的跡,I為適當維數(shù)的單位矩陣,P>0(≥0)表示P是正定(半正定)矩陣,P <0(≥0)表示P是負定(半負定)矩陣,E{·}是期望算子,|·|表示向量的歐幾里得范數(shù).

考慮帶有時滯的隨機脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

其中:x(t)∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài),([?τ,0];Rn)是初始條件,A,B,C,D,E,F∈Rn為適當大小的矩陣,

都是神經(jīng)元激活函數(shù),有f(0)=g(0)=0.時滯τ(t)為時變連續(xù)函數(shù)且滿足0 ≥τ(t)≥τ,(t)≥h<1.{tk}k∈N是脈沖瞬時序列滿足0 ≥t0

定義1[13]若對于給定正常數(shù)c1,c2,T,c1

則稱系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T)均方有限時間穩(wěn)定.

定義2[14]對于脈沖序列{tk}k∈N,若存在正整數(shù)N0和正數(shù)τ?,對任意的t ≥s ≥t0,有

則該脈沖序列的平均脈沖區(qū)間為τ?,其中N(t,s)表示脈沖序列在時間(t,s)內(nèi)脈沖發(fā)生的次數(shù).

假設(shè)1[15]函數(shù)fi是連續(xù)的,且存在正常數(shù),(i=1,2,···,n),對?α,β∈R,αβ,有

假設(shè)2[15]函數(shù)gi是連續(xù)的,且存在正常數(shù),(i=1,2,···,n),對?α,β∈R,αβ,有

3 主要結(jié)果

情形1μ≥1.

定理1假設(shè)脈沖序列滿足式(3),給定正數(shù)T,c1和c2(c10和矩陣P >0,Q>0,則系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T)均方有限時間穩(wěn)定.

證選取Lyapunov泛函

當t=tk時,結(jié)合系統(tǒng)(1)的第2個等式和式(5),有

由假設(shè)1-2可知

對?t∈[tk,tk+1),k=0,1,2,···,由It’s公式可得

對式(11)兩邊從tk到t積分再取期望結(jié)合Gronwall不等式得

通過式(9)有EV(tk)≥μEV(),結(jié)合上式進行迭代運算可以得到

由定義2結(jié)合式(6)-(7)得

因為λ2|x(t)|2≥V(t),所以通過上式可得

所以由式(2)知系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T)均方有限時間穩(wěn)定. 證畢.

注1當μ>1時是反鎮(zhèn)定型脈沖即脈沖不利于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性.這時式(6)等價于

由此可以看出要求平均脈沖區(qū)間不能太小即脈沖不能發(fā)生太頻繁;同時要求

即需要神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)連續(xù)部分不能增長太快.當μ=1時是中立型脈沖即脈沖對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性無影響,此時的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相當于無脈沖作用的連續(xù)系統(tǒng).而

即需要神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)連續(xù)部分不能增長太快.

如果系統(tǒng)(1)中的D=0,E=0即沒有隨機噪聲干擾的因素,則有

推論1假設(shè)脈沖序列滿足式(3),給定正數(shù)T,c1和c2(c10和矩陣P >0,Q>0,

則系統(tǒng)(12)關(guān)于(c1,c2,T)均方有限時間穩(wěn)定.

注2與文獻[15]相比分別討論了帶有時滯的脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間穩(wěn)定和全局指數(shù)穩(wěn)定.有限時間穩(wěn)定和經(jīng)典的Lyapunov穩(wěn)定是兩個獨立的概念,不能相互推導.一個Lyapunov穩(wěn)定的系統(tǒng),如果它的瞬時效應(yīng)超過了規(guī)定的界限就不是有限時間穩(wěn)定的,反之如果不知道超過指定時間間隔的系統(tǒng)狀態(tài),則有限時間穩(wěn)定的系統(tǒng)在Lyapunov意義下可能是不穩(wěn)定的.這里因為條件α+ln(μ)>0以及證明過程可以看出系統(tǒng)(1)是有限時間穩(wěn)定的但不是Lyapunov指數(shù)穩(wěn)定的.

情形2μ<1.

定理2假設(shè)脈沖序列滿足式(3),給定正數(shù)T,c1和c2(c10和矩陣P >0,Q>0,

其中:

則系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T)均方有限時間穩(wěn)定.

證由定理1知當t=tk時,結(jié)合系統(tǒng)(1)的第2個等式和式(14)及式(17),有

其中:t∈[tk,tk+1),k=0,1,2,··· .將式(18)代入式(19),并假設(shè)

下面證明這個假設(shè)成立:當t∈[t0,t1),N(t,t0)=0時,由式(19)可得成立.當t∈[t1,t2),N(t,t0)=1時,有

則用歸納法可知式(20)成立.再由式(3)和式(15)及式(16)可知

通過上式可得

所以由式(2)知系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T)均方有限時間穩(wěn)定. 證畢.

注3與定理1相比定理2在處理V(tk)時有所不同,所以對應(yīng)的式(6)和式(15)不同.當μ<1時,若μ+ρτ <1則式(15)等價于

由式(21)可以看出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)連續(xù)部分不能增長太快.而式(22)與之相反,因為此時的脈沖是鎮(zhèn)定型脈沖即脈沖有利于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定,從而需要平均脈沖區(qū)間足夠小即式(23).

推論2假設(shè)脈沖序列滿足式(3),給定正數(shù)T,c1和c2(c10和矩陣P >0,Q>0,

則系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T)均方有限時間穩(wěn)定.

注4與文獻[12]相比本文不僅僅討論了μ≥1的情況,還討論了μ<1的情況,同時這里的系統(tǒng)的擴散項是線性的形式.

注5與文獻[7]相比都考慮了3種類型的脈沖,但是文獻[7]針對的是線性系統(tǒng),并且本文增加了時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,更具有一定的現(xiàn)實意義.另一方面在選取V 函數(shù)的時候也有所不同,本文利用了Lyapunov泛函,而文獻[7]用的是Lyapunov函數(shù).

4 數(shù)值例子

考慮系統(tǒng)(1),其中:

通過簡單計算可知

令α=2,μ=0.83,c1=0.1,c2=10,T=2,N0=3,利用MATLAB 工具箱求解可得滿足線性矩陣不等式(13)-(17)的可行解

本文設(shè)τ?=0.14>0.1330,由定理2知系統(tǒng)(1)關(guān)于(0.1,10,2)均方有限時間穩(wěn)定.當ε=0.1<τ?時,構(gòu)建脈沖序列為{ε,2ε,···,(N0?1)ε,N0τ?,N0τ?+ε,N0τ?+2ε,···,N0τ?+(N0?1)ε,2N0τ?,···}如圖1所示;初始值為x0(s)=(0.6,?0.2)T,s∈[?0.5,0]的2000個狀態(tài)樣本路徑對應(yīng)的均方軌跡如圖2所示.

圖1 脈沖序列N0=3,τ?=0.14Fig.1 Impulse sequence with N0=3,τ?=0.14

圖2 系統(tǒng)(1)的均方軌跡Fig.2 The mean square state trajectory of the system(1)

5 結(jié)論

本文研究了具有時滯的隨機脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間穩(wěn)定性問題.利用平均脈沖區(qū)間條件,隨機分析技巧和Lyapunov泛函結(jié)合LMIs工具,對反鎮(zhèn)定型、中立型和鎮(zhèn)定型3種類型的脈沖分別給出系統(tǒng)有限時間均方穩(wěn)定的充分條件.最后通過一個數(shù)值例子驗證了理論結(jié)果的有效性.