張高巍,楊 鵬,王 婕,孫建軍

(河北工業(yè)大學控制科學與工程學院,天津 300130;智能康復裝置與檢測技術教育部工程研究中心,天津 300130)

1 引言

可穿戴外骨骼機器人因其在軍事、醫(yī)療、康復等領域具有重大研究意義和廣闊市場前景[1-2]而成為機器人領域研究的熱點之一.不同于其他種類的機器人,可穿戴外骨骼機器人具有與人體高度貼合,擴展人體機能的特性[3],因此對人機協(xié)同控制的要求更加苛刻.由于人機之間存在交互力矩,而人體參數(shù)難以準確獲取和建模,因此人機系統(tǒng)中不可避免地存在結(jié)構參數(shù)攝動和外部干擾(綜合干擾).除此之外,對于快速響應和準確跟隨人體運動意圖的要求也使得可穿戴外骨骼機器人軌跡跟蹤控制器的設計成為研究的重點問題.

針對外骨骼機器人期望軌跡跟蹤問題,國內(nèi)外學者做了很多研究,取得了一定的成果.文獻[4]針對單自由度下肢助力外骨骼機器人軌跡跟蹤控制,建立了輸入力矩與人機系統(tǒng)運動之間的導納模型,采用PID控制方法實現(xiàn)對外骨骼機器人的跟蹤控制.文獻[5-6]針對上肢康復外骨骼提出了自適應阻抗控制方法,實現(xiàn)了干擾條件下對期望軌跡的準確跟蹤.然而,傳統(tǒng)控制方法很難保證在系統(tǒng)存在較大干擾及參數(shù)不確定情況下的控制效果.滑?？刂埔蚱漪敯粜院?響應速度快而廣泛應用于外骨骼系統(tǒng)控制.文獻[7]采用基于飽和函數(shù)的滑?？刂品椒?在系統(tǒng)存在干擾的情況下實現(xiàn)對期望曲線的準確跟蹤,但傳統(tǒng)滑模切換項是不連續(xù)的,導致在實際應用過程中易引起抖振.文獻[8]將指令濾波反步滑模控制與模糊估計相結(jié)合,在系統(tǒng)存在較大幅值干擾的情況下仍能保持系統(tǒng)穩(wěn)定,抑制傳統(tǒng)滑模中存在的抖振問題.

上述控制算法都只能實現(xiàn)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定.相比于漸近穩(wěn)定,有限時間穩(wěn)定具有更快的收斂速度和更好的抗干擾能力[9-10].文獻[11-12]分別采用二階滑模和非奇異終端滑?？刂品椒?實現(xiàn)對膝關節(jié)外骨骼閉環(huán)系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定控制.但有限時間控制方法的收斂時間會隨著系統(tǒng)初始誤差的增加而無限增大,在對時間要求嚴格的應用場合中存在弊端.相比于有限時間穩(wěn)定,固定時間穩(wěn)定具備收斂時間與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關的特點,即系統(tǒng)收斂時間存在上界,因而比有限時間穩(wěn)定的收斂條件更加苛刻[13-14].近年來,固定時間控制受到眾多學者關注,被廣泛應用于復雜非線性系統(tǒng)控制,如多智能體協(xié)作控制[15-16]、單級倒立擺系統(tǒng)控制[17]、運載火箭控制[18]、航天器控制[19-20]等.然而,應用于外骨骼系統(tǒng)的固定時間控制策略尚未被研究.

綜上所述,文章在五自由度上肢外骨骼動力學模型的基礎上,提出了一種基于觀測器的固定時間控制策略并分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.考慮到人機系統(tǒng)中存在外部干擾及不確定,采用改進超螺旋算法實現(xiàn)對干擾的在線估計,保證估計誤差能在固定時間內(nèi)收斂至零且收斂時間上界與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關,進而實現(xiàn)對控制器的補償;在觀測誤差值的基礎上,設計非奇異終端滑模固定時間控制器,在提高系統(tǒng)收斂速度的同時保證控制律光滑有界;通過與文獻[21]所提出的有限時間干擾觀測器對比說明所提出算法的有效性和優(yōu)越性.

2 上肢外骨骼動力學模型

參考人體運動學及動力學特性,一般上肢外骨骼系統(tǒng)應具備5個旋轉(zhuǎn)關節(jié):肩關節(jié)的外展/內(nèi)收、屈曲/伸展,肘關節(jié)屈曲/伸展,腕關節(jié)屈曲/伸展和前臂旋轉(zhuǎn),如圖1所示.

根據(jù)拉格朗日動力學建模方法,五自由度上肢外骨骼模型可表示為[22]

其中qd,∈R5為人體期望的關節(jié)角度和角速度.

圖1 五自由度上肢外骨骼機器人示意圖Fig.1 Schematic diagram of 5 DOF upper-limb exoskeleton

將式(1)微分方程形式轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間形式,引入系統(tǒng)狀態(tài)變量x=和期望位置xd=qd,使得x1=q, x2=,則系統(tǒng)的動力學方程可表示為

3 固定時間控制器設計

在控制器設計之前,首先給出必要的定義、假設及引理.

定義1[24]針對系統(tǒng)(3),系統(tǒng)到達平衡點時間T(x0)一致有界,且與系統(tǒng)狀態(tài)的初始值無關.即

那么系統(tǒng)在固定時間內(nèi)收斂.

定義2對于n 維向 A=[a1a2··· an]T,B=[b1b2··· bn]T,其Hadamard 積定義為各向量中元素分別相乘獲得的新向量,數(shù)學表示如下:

假設1系統(tǒng)中綜合干擾di(i=1,2,3,4,5)有界,存在未知常數(shù)Di∈R+(i=1,2,3,4,5),滿足≥Di,即綜合干擾可導且導數(shù)有界.

引理1[15]考慮非線性系統(tǒng)

如果存在一個正定連續(xù)的函數(shù)V(x),滿足

其中α,β,q,p,k∈R+,且pk <1, 1

引理2[25]對于二階多變量非線性系統(tǒng)

其中:x(t0)=x0, y(t0)=0,參數(shù)p>1,ξ(t)存在上界L.那么x(t),可以在固定時間Tmax內(nèi)收斂到原點,且

其中:ε>0為給定常數(shù),M=g+L, m=g?L為系數(shù),滿足條件g >4L,λ1>通過計算可得,當ε=(n1/4λ1/λ2)(1/(p+1/2))時,收斂時間取得最小值.

引理3(Young’s不等式) 若實數(shù)p,q滿足p>1,q >1且(1/p)+(1/q)=1,則對于任意正實數(shù)a,b,存在

引理4(Cauchy-Schwarz不等式) 對于任意實數(shù)a1,a2,···,an與b1,b2,···,bn,有

3.1 固定時間干擾觀測器設計

首先設計干擾觀測器w,在固定時間內(nèi)實現(xiàn)對系統(tǒng)干擾的準確估計.通過將干擾估計值反饋給控制器達到對干擾在線補償?shù)哪康?

定義速度跟蹤誤差為e1=x1?xd,角度跟蹤誤差為e2=x2?,其中xd,分別為期望軌跡及其導數(shù),則由系統(tǒng)(2)可得

定義固定時間干擾觀測器為

引入輔助滑模變量

則

只需證明so,可在固定時間內(nèi)收斂至原點,則vo=d,即綜合干擾的估計值.取

由式(15)-(16),可得輔助滑模面的微分方程為

通過分析可得,當輔助滑模面so遠離原點時,?λ2so‖so‖p?1能夠保證其快速收斂至原點附近.而項可以保證so由原點附近快速收斂至原點.根據(jù)假設1和引理3可知,通過選取適當?shù)摩?,λ2,g和p,vo可以在固定時間To內(nèi)準確估計干擾值d.且

3.2 固定時間終端滑模控制器設計

通過設計控制律u,實現(xiàn)可穿戴上肢五自由度外骨骼機器人在固定時間內(nèi)對期望軌跡xd∈R5的快速穩(wěn)定跟蹤.即t ≥T, e1=x1?xd=0.選取非奇異終端滑模面函數(shù)為

其中:s∈R5為滑模面向量;a>0, b>0為滑模面系數(shù);mi,ni(i=1,2,3,4,5)為正奇數(shù)且滿足1

為了解決控制過程中可能出現(xiàn)的奇異問題,引入如下非線性函數(shù)[26]:

其中η∈R+為設計參數(shù),其對固定時間上界的影響將在后文討論.對于向量A=[a1a2··· an],定義φ(A)=[φ(a1) φ(a2)··· φ(an)]T.

設計非奇異終端滑?？刂坡蔀?/p>

其中k1∈R+.

所提出五自由度上肢外骨骼固定時間控制策略結(jié)構圖如圖2所示.其中FT-NTSMC為式(21)所表示的非奇異終端滑?？刂破?FTDO為式(13)和式(16)表示的固定時間干擾觀測器.

圖2 固定時間控制策略示意圖Fig.2 Diagram of the fixed time control strategy

定理1對于五自由度上肢外骨骼系統(tǒng)(3)及固定時間干擾觀測器(13),通過選取控制律(21)及滑模函數(shù)(19),可以使外骨骼系統(tǒng)角度跟蹤誤差e1,e2在固定時間T內(nèi)收斂到0并一直保持下去.

證固定時間綜合控制策略的穩(wěn)定性證明過程分為3步.

第1步證明閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)的有界性,即在干擾觀測誤差收斂的To時間內(nèi),閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)s,e1,e2有界.將控制律(21)代入到系統(tǒng)誤差e2的導數(shù)中可得

對滑模面函數(shù)(19)按時間微分得

將式(22)代入式(23),則

選取系統(tǒng)狀態(tài)的Lyapunov函數(shù)為

其對時間的導數(shù)可以表示為

因此,式(26)可被表示為

根據(jù)絕對值定理及柯西-施瓦茨不等式可將上述不等式改寫為

注意對于任意正實數(shù)δ 以及0<α<1,不等式δα≥1+δ總成立.同時采用引理4可得

將上式結(jié)果代入到式(29)中可得

在干擾觀測器證明過程中,由式(15)(17)-(18)可知,=d?vo可以在固定時間收斂至零.因此,di?voi(i=1,2,3,4,5)存在上界Lo.采用均值不等式可以將式(31)表示為

對于上式最后一項,可根據(jù)滑模函數(shù)值分別討論.由式(20)可得,0 ≥φ(x)≥1.則

當0<|si|≥1, i=1,2,3,4,5時,利用不等式1

當|si|>1時,式(33)可被表示為

則式(33)可表示為

綜合式(32)(38)的結(jié)果可知

由上式可得,K,La在參數(shù)選定的條件下有界.解該微分方程可知,對于給定初值Va(t0),Va=(KVa(t0)+La)e(t?t0)?La.即在干擾觀測誤差收斂時間To內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)保持有界.

第2步證明滑模面的可達性.即對于任意初始狀態(tài)x0=x(0),所設計的控制律(21)總能保證系統(tǒng)狀態(tài)能夠在固定時間內(nèi)收斂到滑模面(19)上.

選取Lyapunov函數(shù)Vri=|si|,i=1,2,3,4,5,則其對時間的導數(shù)可以表示為

由觀測器固定時間收斂特性可知,對于任意t>To, di?voi=0,則上式可以表示為

由引理1可得,系統(tǒng)將在固定時間Tr1內(nèi)直接收斂至0或到達≥η區(qū)域內(nèi),且

其系統(tǒng)狀態(tài)運動軌跡如圖3所示階段1.

第3步證明外骨骼系統(tǒng)跟蹤誤差e1在固定時間內(nèi)可以收斂到原點.當t>To+Tr時,有s=0.由式(19)可得

選取Lyapunov 函數(shù)為Vsi=|e1i|, i=1,2,3,4,5,則其對時間的導數(shù)為

由引理1可得,系統(tǒng)跟蹤誤差e1i將會在固定時間Ts內(nèi)收斂到零,且

系統(tǒng)狀態(tài)運動軌跡如圖3所示階段2.

圖3 系統(tǒng)相位圖Fig.3 Phase plot of the system

根據(jù)式(18)(43)-(44)和式(47)可得,上肢五自由度外骨骼系統(tǒng)跟蹤誤差收斂時間上界為

證畢.

4 仿真結(jié)果分析

4.1 固定時間控制策略仿真結(jié)果

為了驗證所提出控制算法的有效性,本文在MATLAB/Simulink環(huán)境下搭建系統(tǒng)仿真模型.五自由度外骨骼系統(tǒng)模型形式及具體參數(shù)參考文章附錄.

期望關節(jié)角度xd=[xd1xd2xd3xd4xd5]T為xdi=sin(t+iπ/5),i=1,2,3,4,5.系統(tǒng)關節(jié)角度初始值設置為x1=[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5]Trad.為了驗證干擾觀測器的固定時間收斂特性,引入綜合干擾

針對本文所設計的固定時間干擾觀測器(13)(15)和(16),選取控制增益為g=20, λ1=20, λ2=30,p=1.5.則由引理3可得,當取得最小觀測時間上界時,ε=0.998, To=0.644 s,即觀測誤差值總能在To時間內(nèi)收斂至原點而與初始值無關.非奇異終端滑?？刂破骺刂圃鲆嫒绫?所示.

表1 控制器增益Table 1 Controller gains

由上述控制器增益與式(43)-(44)和式(47)可知,系統(tǒng)狀態(tài)由初始位置到達滑模面的固定時間上界為Tr=Tr1+Tr2=3.109 s,由到達滑模面至跟蹤誤差收斂到原點的固定時間上界為Ts=3.107 s.因此系統(tǒng)最終收斂時間上界為T=6.216 s.仿真結(jié)果如圖4-11所示.

圖4-8為關節(jié)角度跟蹤曲線.由圖可知,本文所提出的固定時間控制策略能夠在系統(tǒng)存在參數(shù)不確定及外部干擾的情況下,實現(xiàn)對給定期望曲線的準確跟蹤且收斂時間均小于1 s.圖9為非奇異終端滑模控制器的控制輸出,從圖中可以看出,所有控制律軌跡均光滑有界且不存在抖振.

圖4 關節(jié)1位置跟蹤曲線Fig.4 Position tracking of joint 1

圖5 關節(jié)2位置跟蹤曲線Fig.5 Position tracking of joint 2

圖6 關節(jié)3位置跟蹤曲線Fig.6 Position tracking of joint 3

圖7 關節(jié)4位置跟蹤曲線Fig.7 Position tracking of joint 4

圖8 關節(jié)5位置跟蹤曲線Fig.8 Position tracking of joint 5

圖9 控制律Fig.9 Control laws

為了更準確地反映固定時間干擾觀測器及系統(tǒng)跟蹤誤差動態(tài)收斂過程及收斂時間,圖10-11分別選取了干擾觀測誤差在0.2 s內(nèi)的收斂曲線及系統(tǒng)跟蹤誤差在2.0 s內(nèi)的收斂曲線.由圖10可知,干擾觀測誤差能夠在短時間(0.12 s)內(nèi)收斂至原點,即實現(xiàn)對干擾的準確估計.系統(tǒng)跟蹤誤差最終在1.0 s內(nèi)到達并維持在原點,表明所提出的控制算法具有很快的收斂速度,見圖11.由仿真圖可得,本文所提出的固定時間控制策略可效解決綜合干擾條件下多自由度外骨骼系統(tǒng)的軌跡跟蹤問題.

圖10 干擾觀測器觀測誤差Fig.10 Observer errors of the FTDO

圖11 位置跟蹤誤差Fig.11 Position tracking errors

4.2 固定時間與有限時間干擾觀測對比仿真

為了驗證本文所提出基于改進超螺旋算法的固定時間干擾觀測器的優(yōu)越性,在其他條件保持一致的情況下,仿照文獻[21]建立有限時間干擾觀測器

其中:

定義sf=e2?wf.取有限時間觀測器增益為kf1=60, kf2=30,kf3=40,kf4=40,初值為w(0)=wf(0)=[?200,?100,0,100,200].同時在相同初始條件下選取本文所提出的固定時間干擾觀測器做對比.為了保證觀測仿真結(jié)果在同一量級,選取固定時間干擾觀測器的增益為g=20, λ1=20, λ2=10,p=1.5,仿真結(jié)果如圖12所示.

圖12 兩種干擾觀測器對比Fig.12 Comparison of the two disturbance observers

圖12中:δo1表示有限時間干擾觀測器觀測誤差,δo2表示固定時間干擾觀測器觀測誤差.由仿真圖可知,對于不同的干擾觀測初值,本文所提出的固定時間干擾觀測器可以做到對干擾的快速準確估計,估計時間小于0.1 s且不存在過估計.而有限時間干擾觀測器在0.07 s附近到達原點后又脫離原點,存在明顯的過估計,且總體估計時間約為0.2 s.除此之外,本文所提出的觀測器在觀測誤差遠離平衡點時具有更好的收斂特性,這是由于式(16)中λ2so‖so‖p?1項相比于有限時間干擾觀測器中的kf2sf具有更快的收斂速度.由此可知,固定時間干擾觀測器無論在響應速度還是收斂效果上都具有優(yōu)越性.

5 結(jié)論

針對外部干擾及參數(shù)不確定條件下上肢五自由度外骨骼系統(tǒng)期望關節(jié)角度跟蹤問題,提出了一種基于觀測器的固定時間控制策略.分別基于改進超螺旋算法和非奇異終端滑模算法設計了固定時間干擾觀測器和滑?？刂破?并進行了仿真驗證.仿真結(jié)果表明,所提出控制策略能夠?qū)崿F(xiàn)對期望軌跡快速精準跟蹤,可以降低外界干擾及參數(shù)不確定對控制效果的影響,提高系統(tǒng)的魯棒性.

附錄 外骨骼系統(tǒng)模型參數(shù)

文章所使用的五自由度上肢外骨骼系統(tǒng)模型參數(shù)如下[22],其慣性矩陣M(q)可表示為

其中:

其中:

重力向量G(q)可表示為

其中:

具體參數(shù)取值見表A1和表A2.

表1 A1 慣性常量(kg·m2)Table A1 Inertial constant(kg·m2)

表A2 重力常量(N·m)Table 1 Gravitational constant(N·m)