張 旭，路永樂，郭俊啟，肖明朗，吳 英

(重慶郵電大學(xué)，智能傳感技術(shù)與微系統(tǒng)重慶市高校工程研究中心，重慶 400065)

0 引言

基于微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)的加速度計傳感器在尺寸、質(zhì)量、成本和功耗等方面具有突出的優(yōu)勢，但是由于安裝誤差、刻度因子、零偏和隨機(jī)噪聲等因素的影響，其輸出值存在一定的誤差。因此，需要對MEMS加速度計的輸出誤差進(jìn)行標(biāo)定補(bǔ)償，以提高M(jìn)EMS加速度計的測量精度。

MEMS加速度計輸出誤差的標(biāo)定補(bǔ)償，主要是對安裝誤差、刻度因子、零偏等確定性誤差的標(biāo)定和對隨機(jī)噪聲的處理。目前針對確定性誤差的標(biāo)定方法[1-3]，雖然原理和具體方式不同，但是對于MEMS加速度計在不同位置下的實際測量數(shù)據(jù)，都是取其均值作為該位置的測量值，用于求解或估計所需標(biāo)定的參數(shù)。但是，實際測量數(shù)據(jù)的均值并不能完全地反映所有的實際測量數(shù)據(jù)。此外，也沒有對實際測量數(shù)據(jù)中存在的隨機(jī)噪聲進(jìn)行預(yù)處理，噪聲誤差會遺留在所標(biāo)定的參數(shù)中。而針對隨機(jī)噪聲的處理，H. Wang等[4]利用小波分析算法去噪，杜少林等[5]利用Kalman濾波算法降噪，均沒有將噪聲處理的結(jié)果用于對確定性誤差的標(biāo)定。尹杭等[6]對確定性誤差和隨機(jī)噪聲進(jìn)行了標(biāo)定和處理，但實際上是獨立進(jìn)行的，在對確定性誤差標(biāo)定之前，沒有對實際測量數(shù)據(jù)中的隨機(jī)噪聲進(jìn)行預(yù)處理。

本文為進(jìn)一步提高M(jìn)EMS加速度計的測量精度，以測量值為輸入、以真實值為輸出建立MEMS加速度計誤差補(bǔ)償模型。利用實驗室研制的微慣性測量單元(MEMS-IMU)，采集其加速度計在六位置下3個軸的m組實際測量數(shù)據(jù)，利用Allan方差和最小均方(LMS)自適應(yīng)濾波算法對m組實際測量數(shù)據(jù)進(jìn)行噪聲分析和預(yù)處理，處理后的全部數(shù)據(jù)作為樣本用于訓(xùn)練所建模型的參數(shù)，利用最小二乘和批量梯度下降相結(jié)合的方法獲得樣本數(shù)據(jù)對真實模型參數(shù)的最優(yōu)擬合。所建模型在m組樣本數(shù)據(jù)的訓(xùn)練下，能夠更加準(zhǔn)確地擬合真實模型參數(shù)，同時規(guī)避了隨機(jī)噪聲對模型參數(shù)的污染。實驗驗證表明，利用該模型對MEMS加速度計進(jìn)行誤差補(bǔ)償后，輸出值的均值誤差為(0.72～1.19)×10-4g，標(biāo)準(zhǔn)差為(0.75～1.61)×10-4g，相對于補(bǔ)償前均值誤差降低了2個數(shù)量級，標(biāo)準(zhǔn)差降低了1個數(shù)量級，有效提高了MEMS加速度計的測量精度和穩(wěn)定性。

1 MEMS加速度計的誤差補(bǔ)償模型

造成MEMS加速度計輸出誤差的主要誤差項有：安裝誤差、刻度因子、零偏、隨機(jī)噪聲和二階非線性誤差，由于非線性誤差影響較小，忽略非線性誤差后的MEMS加速度計實際輸出值為

A*=a+(C+K)H+v

(1)

則根據(jù)式(1)可得MEMS加速度計的誤差補(bǔ)償模型為

H=S(A-a)

(2)

式中：A=[Ax,jAy,jAz,j]T(j= 1,2,…,6)是經(jīng)過噪聲預(yù)處理后的實際測量值矩陣，也是3×m的矩陣。

(3)

Sii(i=x,y,z)是MEMS加速度計3個軸的比例因子，Sij(i,j=x,y,z;i≠j)是各軸之間的非正交因子。

將實驗室研制的MEMS-IMU固定在三軸轉(zhuǎn)臺上，如圖1所示。操作轉(zhuǎn)臺依次轉(zhuǎn)動到如表1所示的位置，以50 Hz的采樣頻率分別采集六個位置下的加速度計3個軸的輸出數(shù)據(jù)，每個位置采集m組數(shù)據(jù)(m=15 000)。

圖1 三軸轉(zhuǎn)臺和固定在轉(zhuǎn)臺上的MEMS-IMU

表1 6位置坐標(biāo)軸取向及其重力加速度

位置1位置3位置5位置2位置4位置6

2 隨機(jī)噪聲的預(yù)處理

根據(jù)之前的分析，所采集到的實際測量數(shù)據(jù)中含有隨機(jī)噪聲，因此需要對噪聲進(jìn)行預(yù)處理后才能作為所建模型的訓(xùn)練樣本。本文采用基于LMS自適應(yīng)濾波算法的噪聲抵消器對所采集到的實際測量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，抵消器所需的參考噪聲參數(shù)，則通過Allan方差分析獲得。

2.1 LMS自適應(yīng)濾波算法原理

LMS自適應(yīng)濾波的原理是利用前一個已經(jīng)獲取的濾波器參數(shù)，自動調(diào)整當(dāng)前的濾波器參數(shù)，使濾波器的輸出與期望參考輸入之間的均方誤差最小，從而達(dá)到最優(yōu)的濾波效果。LMS自適應(yīng)濾波算法原理如圖2所示。

圖2 LMS自適應(yīng)濾波算法原理

圖2中，X(n)為濾波器的主輸入，Y(n) 為濾波器的輸出，d(n) 為濾波器的期望參考輸入，e(n) 為濾波器的估計誤差輸出，n= 1,2,3,…。

濾波器的輸出為

Y(n)=WT(n)X(n)

(4)

濾波器的估計誤差輸出為

e(n)=d(n)-Y(n)

(5)

W(n)為抽頭系數(shù)向量(權(quán)值向量)，其遞推更新方程為

W(n+1)=W(n)-μX(n)e(n)

(6)

式中μ為步長因子，控制每次更新后沿著誤差函數(shù)表面移動的距離，其值滿足：0<μ≤ 1/λmax，而λmax是主輸入X(n)自相關(guān)矩陣的最大特征值。

2.2 LMS自適應(yīng)濾波噪聲抵消器

如果直接使用LMS自適應(yīng)濾波器對A*進(jìn)行濾波，很難選取與A相關(guān)而與噪聲v不相關(guān)的期望參考輸入d(n)，使最終的濾波輸出Y(n)為A。反之，可以利用Allan方差對A*中的噪聲v進(jìn)行分析，進(jìn)而得到噪聲v的模型。然后以噪聲v的相關(guān)噪聲v*為期望參考輸入d(n)，以A*為主輸入X(n)。利用v與v*的相關(guān)性，使濾波輸出Y(n)盡量地逼近v*，即相當(dāng)于估計誤差輸出e(n)盡量地逼近A。在最優(yōu)條件下，估計誤差輸出e(n)即為去除噪聲后的A，實現(xiàn)了v與υ*的噪聲抵消。如圖3所示。

圖3 LMS自適應(yīng)噪聲抵消器

2.3 Allan方差分析

(7)

MEMS加速度計的主要的隨機(jī)噪聲及其Allan標(biāo)準(zhǔn)差、斜率如表2所示[7]。

表2 主要噪聲的Allan標(biāo)準(zhǔn)差和斜率

根據(jù)式(7)計算加速度計在六位置下3個軸實際測量數(shù)據(jù)的Allan方差并擬合Allan標(biāo)準(zhǔn)差，以位置1為例，Allan標(biāo)準(zhǔn)差與平均時間的對數(shù)圖以及所擬合的Allan標(biāo)準(zhǔn)差曲線如圖4所示。

圖4 Allan標(biāo)準(zhǔn)差與平均時間關(guān)系

由圖4中所擬合的Allan標(biāo)準(zhǔn)差曲線的斜率結(jié)合表2，可計算MEMS加速度計在位置1處3個軸的各項隨機(jī)噪聲系數(shù)，結(jié)果如表3所示。

表3 加速度計在位置1下的各項隨機(jī)噪聲系數(shù)

上述噪聲中，量化噪聲Q和速度隨機(jī)游走N屬于白噪聲，其余3種噪聲屬于有色噪聲。對于有色噪聲，根據(jù)有色噪聲的功率譜密度函數(shù)，由譜分解定理可求解其傳遞函數(shù)，作傅里葉逆變換可得其微分方程如下：

(8)

以互不相關(guān)的單位高斯白噪聲Ψk(t) (k=1,2,3,4,5)驅(qū)動微分方程(8)，可得MEMS加速度計隨機(jī)噪聲的時域模型為

(9)

式中：▽是微分算子；η和ω0為傳遞函數(shù)有理化過程中的調(diào)節(jié)參數(shù)；η取5 Hz，ω0取0.01 rad/s。

2.4 隨機(jī)噪聲預(yù)處理結(jié)果

以位置1為例，MEMS加速度計3個軸的m組實際測量數(shù)據(jù)經(jīng)過LMS自適應(yīng)濾波噪聲抵消器處理前后的對比如圖5所示。

圖5 LMS自適應(yīng)濾波噪聲抵消器處理前后對比

3 模型參數(shù)訓(xùn)練

所采集的m組實際測量數(shù)據(jù)經(jīng)過第2節(jié)的預(yù)處理后，得到的m組處理后的數(shù)據(jù)作為樣本，用于本節(jié)對模型參數(shù)的訓(xùn)練。對于所建立的MEMS加速度計誤差補(bǔ)償模型(2)，當(dāng)加速度計位于位置1和位置2時有：

Hx1=Sxx(Ax1-ax)+Sxy(Ay1-ay)+Sxz(Az1-az)

(10)

Hx2=Sxx(Ax2-ax)+Sxy(Ay2-ay)+Sxz(Az2-az)

(11)

由式(10)與式(11)相減，可得：

(Hx1-Hx2)=Sxx(Ax1-Ax2)+Sxy(Ay1-Ax2)+Sxz(Az1-Az2)

(12)

由式(10)與式(11)相加，可得：

(13)

3.1 最小二乘求解參數(shù)矩陣S的先驗

(14)

由最小二乘可得：

(15)

(16)

3.2 批量梯度下降法求解參數(shù)矩陣S

將式(12)在未知特征參數(shù)λi(i= 1,2,3)下的假設(shè)函數(shù)寫作：

hλ(x)=λ1x1+λ2x2+λ3x3

(17)

該假設(shè)函數(shù)的代價函數(shù)為

(18)

代價函數(shù)的梯度為

(19)

特征參數(shù)λi的更新方程為

(20)

式中α為學(xué)習(xí)率，決定沿著能讓代價函數(shù)下降程度最大的方向移動一次的步長，本文選取的學(xué)習(xí)率為0.000 3～0.001。

(21)

本文整體的算法流程圖如圖6所示。

圖6 本文算法流程圖

4 實驗驗證與分析

將第3節(jié)訓(xùn)練所得模型參數(shù)代入誤差補(bǔ)償模型(2)中，以位置1為例，將預(yù)處理后的測量數(shù)據(jù)A(x,y,z)1代入誤差補(bǔ)償模型進(jìn)行補(bǔ)償。補(bǔ)償后的MEMS加速度計3個軸輸出值與理論值的對比如圖7所示。

圖7 誤差補(bǔ)償后輸出值與理論值對比

從圖7可以看出，經(jīng)過誤差補(bǔ)償后，MEMS加速度計3個軸的輸出值在理論值附近約10-4g的范圍內(nèi)波動。誤差補(bǔ)償前后加速度計3個軸輸出值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表4所示。

表4 補(bǔ)償前后三個軸輸出值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差

從表4中可知，補(bǔ)償后加速度計三個軸輸出值的均值誤差為(0.72～1.19) ×10-4g，標(biāo)準(zhǔn)差為(0.75～1.61) ×10-4g，較之補(bǔ)償前均值誤差降低了2個數(shù)量級，標(biāo)準(zhǔn)差降低了1個數(shù)量級。

5 結(jié)束語

本文所提出的MEMS加速度計誤差補(bǔ)償方法，對加速度計在6個位置下的大量實際測量數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪預(yù)處理后，用于訓(xùn)練誤差補(bǔ)償模型的參數(shù)，既充分利用了全部的測量數(shù)據(jù)，也規(guī)避了噪聲對標(biāo)定參數(shù)的污染，所獲得的參數(shù)是樣本數(shù)據(jù)對真實參數(shù)的最優(yōu)擬合。經(jīng)所提方法補(bǔ)償后，MEMS加速度計輸出值的均值誤差降低了2個數(shù)量級，標(biāo)準(zhǔn)差降低了1個數(shù)量級，有效提高了MEMS加速度計的測量精度和穩(wěn)定性，表明了所提方法的有效性和可行性。