楊娜先

【摘要】作為統(tǒng)計(jì)的關(guān)鍵概念之一，平均數(shù)是一個(gè)重要的刻畫(huà)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量.想要掌握平均數(shù)的概念，教師除了要在新授課中深入解讀教材、有效開(kāi)展教學(xué)之外，對(duì)于習(xí)題的設(shè)計(jì)是幫助學(xué)生深化理解的又一重要領(lǐng)地.本文以一道平均數(shù)習(xí)題為例，從知識(shí)本源和過(guò)程型序?qū)用妫瑖@“有效關(guān)聯(lián)，深度理解”，從背景與價(jià)值、思路與關(guān)聯(lián)、拓展與反思三個(gè)方面展開(kāi)探究.

【關(guān)鍵詞】平均數(shù);統(tǒng)計(jì);學(xué)科本質(zhì);關(guān)聯(lián);有序

去年5月，我校南京市前瞻性項(xiàng)目《小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)下“五有”課堂育人模式的探索與實(shí)踐》正式立項(xiàng).“五有”課堂倡導(dǎo)學(xué)科內(nèi)容有本有源，教學(xué)過(guò)程有型有序.學(xué)科內(nèi)容有本有源，強(qiáng)調(diào)溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì);教學(xué)過(guò)程有型有序，體現(xiàn)關(guān)鍵問(wèn)題引領(lǐng)下的自主探索和教與學(xué)的有序開(kāi)展.

下面以蘇教版四年級(jí)上冊(cè)第四單元《統(tǒng)計(jì)表和條形統(tǒng)計(jì)圖（一）》中的一道習(xí)題為例，圍繞“有效關(guān)聯(lián)，深度理解”，從背景與價(jià)值、思路與關(guān)聯(lián)、拓展與反思三個(gè)方面展開(kāi)分析.

【習(xí)題呈現(xiàn)】

一、背景與價(jià)值

理解和掌握核心概念是統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的教學(xué)重點(diǎn).在小學(xué)階段，對(duì)于作為統(tǒng)計(jì)核心概念的平均數(shù)進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師除了要深入解讀教材，有效開(kāi)展教學(xué)之外，還要認(rèn)識(shí)到習(xí)題的設(shè)計(jì)是深化概念理解的又一重要領(lǐng)地.

分析上面的題目，其涉及的知識(shí)本質(zhì)是平均數(shù)的意義.作為統(tǒng)計(jì)的關(guān)鍵概念（數(shù)據(jù)、隨機(jī)、平均、取樣、樣本、總體等）之一，平均數(shù)是一個(gè)重要的刻畫(huà)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，能夠較好地反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的總體情況，對(duì)于統(tǒng)計(jì)結(jié)果的分析起著至關(guān)重要的作用.

本題的解決過(guò)程蘊(yùn)涵的思想方法主要有統(tǒng)計(jì)思想、可逆思想、模型思想、推理思想，還可能應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合思想、一一對(duì)應(yīng)思想、比較思想、假設(shè)思想、方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化（出入相補(bǔ)）思想等，涉及的核心素養(yǎng)主要是數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等也有所涉及.

二、思路與關(guān)聯(lián)

學(xué)生在解題過(guò)程中，通常有以下幾種思路.

利用條形圖，課件可以聚焦放大分?jǐn)?shù)差部分，依次通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示，把數(shù)學(xué)和語(yǔ)文比平均分少的那部分直條移到表示英語(yǔ)的直條上方.（線段圖同理）

【分析：利用條形圖可清楚直觀地看到“移多補(bǔ)少”的過(guò)程.此思路蘊(yùn)涵統(tǒng)計(jì)思想、數(shù)形結(jié)合思想、推理思想、一一對(duì)應(yīng)思想、比較思想、轉(zhuǎn)化（出入相補(bǔ)）思想】

思路四：推理法

三門科目中，語(yǔ)、數(shù)兩科的成績(jī)都低于平均分，那么英語(yǔ)成績(jī)肯定高于平均分.四個(gè)選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)大于90，所以選A.

【分析：根據(jù)平均數(shù)的特征推理得出.此思路較為抽象，蘊(yùn)涵統(tǒng)計(jì)思想、模型思想、推理思想、比較思想、函數(shù)思想、出入相補(bǔ)思想】

下面幾種思路不常見(jiàn).

思路五：代入法

【分析：把四個(gè)選項(xiàng)依次代入表格中計(jì)算，哪個(gè)正確就選哪個(gè).此思路蘊(yùn)涵統(tǒng)計(jì)思想、可逆思想、模型思想、推理思想、比較思想、假設(shè)思想】

思路六：從失分角度想起

【分析：假設(shè)每科的滿分都為100分，用三科的總失分減去語(yǔ)、數(shù)失分，就是英語(yǔ)失分.此思路蘊(yùn)涵統(tǒng)計(jì)思想、可逆思想、模型思想、推理思想、比較思想、假設(shè)思想】

思路七：假設(shè)法

【分析：先假設(shè)英語(yǔ)的分?jǐn)?shù)，如果結(jié)果有偏差再做整體調(diào)整.此思路蘊(yùn)涵假設(shè)思想、統(tǒng)計(jì)思想、可逆思想、模型思想、推理思想、比較思想】

【分析：計(jì)算出語(yǔ)、數(shù)兩科的“平均分總分”與實(shí)際總分的差，再與平均分相加減.此思路蘊(yùn)涵統(tǒng)計(jì)思想、可逆思想、模型思想、推理思想、比較思想、函數(shù)思想、出入相補(bǔ)思想】

思路十：以80分作為參照

【分析：因?yàn)橐阎膬煽瞥煽?jī)都在80分以上，所以以80分作為參照，再根據(jù)總分間的差進(jìn)行計(jì)算.此思路蘊(yùn)涵統(tǒng)計(jì)思想、可逆思想、模型思想、推理思想、比較思想、函數(shù)思想、出入相補(bǔ)思想】

思路十一：列方程求解

設(shè)瑩瑩的英語(yǔ)成績(jī)?yōu)閤分，列方程89+88+x=90×3，解得x=93.

【分析：由“三科成績(jī)相加=平均分×3”列方程解答.此思路蘊(yùn)涵方程思想、統(tǒng)計(jì)思想、可逆思想、模型思想、推理思想】（當(dāng)然，列方程求解時(shí)可以列出不同的方程式）

思路的豐富性雖反映了學(xué)生思維的不同層次，卻也提高了展示和交流的難度.抓住本質(zhì)，溝通聯(lián)系，有序展開(kāi)教學(xué)是唯一正解，才能“以己昭昭，使人昭昭”.

從平均數(shù)的意義和算法來(lái)看，以上思路可以歸為三大類.

第一大類：從總得分（總數(shù)量）想起

思路一：從總分（得分角度）想起.算出三科的總分，減去語(yǔ)文、數(shù)學(xué)的得分就是英語(yǔ)的得分.

思路十一：列方程求解.設(shè)瑩瑩的英語(yǔ)成績(jī)?yōu)閤分，列方程解題.

思路五：代入法.把四個(gè)選項(xiàng)依次代入計(jì)算，哪個(gè)正確就選哪個(gè).

思路七：假設(shè)法.先假設(shè)英語(yǔ)的分?jǐn)?shù)，如果結(jié)果有偏差再做整體調(diào)整.

思路八：假設(shè)+一一列舉.先假設(shè)英語(yǔ)的分?jǐn)?shù)，并一一列舉，再逐步調(diào)整.

思路六：從失分角度想起.用三科的總失分減去語(yǔ)、數(shù)失分，就是英語(yǔ)失分.

思路十：以80分作為參照，根據(jù)總分間的差進(jìn)行計(jì)算.

這些思路都是依據(jù)基本算法“平均數(shù)=總數(shù)量÷份數(shù)”，通過(guò)推理、計(jì)算、調(diào)整得出結(jié)論.這一大類可以按以下三個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)：

第一層次：思路一和思路十一.思路一是最為常見(jiàn)的基礎(chǔ)算法.思路十一，由于方程的相關(guān)內(nèi)容教學(xué)大綱安排在五年級(jí)下冊(cè)，因此，可能上過(guò)課外輔導(dǎo)班的同學(xué)會(huì)想到，如果出現(xiàn)，可以把此思路和思路一進(jìn)行比較，溝通聯(lián)系.當(dāng)然，為了面向全體學(xué)生，教師可以用三角形、正方形等圖形或者“*”“※”等符號(hào)代替x.

第二層次：思路五、思路七和思路八.這三種思路都涉及假設(shè)策略，區(qū)別在于：思路五運(yùn)用了選擇題的答題技巧，思路七、八都是從均分入手的，教學(xué)時(shí)可放在一起進(jìn)行比較和歸納.

第三層次：思路六和思路十（在確實(shí)有此類型題目的前提下使用，如果沒(méi)有則不必特意介紹）.這兩種思路都是以某一分?jǐn)?shù)作為參照，再根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行推理、計(jì)算、調(diào)整，思維難度較大.

對(duì)于此大類，學(xué)生可能出現(xiàn)的學(xué)習(xí)困難是：想不到或者不理解用90×3去算總分.教師在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生再次回顧平均數(shù)的由來(lái)、意義和計(jì)算方法，追根溯源，必要時(shí)可呈現(xiàn)平均數(shù)的計(jì)算公式，給思維搭腳手架.

第二大類：移多補(bǔ)少

思路三：移多補(bǔ)少（數(shù)形結(jié)合）.

思路二：與平均分進(jìn)行比較.

90+（90-89）+（90-88）=93（分）

思路九：將總分與平均分相結(jié)合.

90×2-89-88+90=93（分）

這一大類更加直觀地體現(xiàn)了“平均數(shù)是一個(gè)重要的刻畫(huà)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，能夠較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況”這一本質(zhì)意義和屬性.

教師在教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)比較：

（1）分別對(duì)思路二、九和思路三加以比較，讓學(xué)生指一指思路二、九的每一步在思路三的圖中的什么地方.這樣數(shù)形結(jié)合，一一對(duì)應(yīng)，學(xué)生能夠深刻感悟平均數(shù)“集中趨勢(shì)”的統(tǒng)計(jì)意義.思路二和思路九有表示數(shù)學(xué)與語(yǔ)文分?jǐn)?shù)比平均數(shù)少的部分依次移動(dòng)和整體移動(dòng)的細(xì)微差別.

（2）呈現(xiàn)線段圖，與條形統(tǒng)計(jì)圖加以對(duì)比，體會(huì)一組數(shù)據(jù)（不全相等）的平均數(shù)一定小于這組數(shù)據(jù)里的最大數(shù)，大于這組數(shù)據(jù)里的最小數(shù).

這一大類依然存在逆向思維，教師在教學(xué)中可采用對(duì)比不同圖示和標(biāo)記平均線的方法，變抽象為半直觀，化難為易.

第三大類：推理論證

思路四：推理法

三門科目中，語(yǔ)、數(shù)兩科的成績(jī)都低于平均分，那么英語(yǔ)成績(jī)肯定高于平均分.四個(gè)選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)大于90，所以選A.

學(xué)生能夠從這個(gè)層面去分析問(wèn)題，說(shuō)明已經(jīng)很好地掌握了平均數(shù)這一統(tǒng)計(jì)關(guān)鍵概念的內(nèi)在含義，并能夠熟練運(yùn)用“平均數(shù)刻畫(huà)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)”這一屬性去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，具有較高的數(shù)據(jù)分析能力和統(tǒng)計(jì)素養(yǎng).

三、拓展與反思

1.基礎(chǔ)練習(xí)

可直接更改數(shù)據(jù)，或者增加數(shù)據(jù).

例如：瑩瑩數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)、科學(xué)四科的平均分是92分，其中語(yǔ)文90分，英語(yǔ)91分，科學(xué)88分，她的數(shù)學(xué)成績(jī)是（ ）分.

A.92 B.90 C. 99 D.91

2.拓展練習(xí)

可結(jié)合解題策略或者實(shí)際規(guī)則進(jìn)行變式練習(xí).

例如：某班男生人數(shù)是女生人數(shù)的3倍.在一次測(cè)試中，班級(jí)平均分是90分，男生平均分是87分，那么女生平均分是多少分？

另外，這部分內(nèi)容有必要增加平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)影響的題目，讓學(xué)生感知平均數(shù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的局限性，以及它與其他統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)系，進(jìn)一步理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義.

在“五有”課堂開(kāi)放、動(dòng)態(tài)的教學(xué)中，教師抓住學(xué)科本質(zhì)進(jìn)行有效關(guān)聯(lián)，甄別主次，有序交流，通過(guò)對(duì)比不同層次的解題策略，能夠讓學(xué)生對(duì)平均數(shù)概念的理解從模糊走向清晰，從淺顯走向深刻，從表面走向?qū)嵸|(zhì)，學(xué)習(xí)過(guò)程將更加豐盈，思維發(fā)展更加深入.

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