袁增軍

【摘要】數(shù)學(xué)概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑.本文以“函數(shù)的性質(zhì)”教學(xué)為例，闡釋了在解題基礎(chǔ)上注重提煉概念內(nèi)涵，以靜制動，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】解題;數(shù)學(xué)概念;內(nèi)涵;核心素養(yǎng)

【問題提出】

弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)知識不是教師教出來的，而是研究出來的.”同樣的，數(shù)學(xué)概念不能僅僅依靠教師的教，應(yīng)該讓學(xué)生在解題過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、共性，喚起好奇心，通過不斷探究，對數(shù)學(xué)概念進行提煉，做到真正地學(xué)以致用.概念是數(shù)學(xué)的“細胞”，“函數(shù)的性質(zhì)”概念數(shù)量多、章節(jié)跨度大，初學(xué)者若想形成系統(tǒng)性的理解難度較大.學(xué)生間常說的“得函數(shù)者得數(shù)學(xué)”就足以讓人感受到其重要性.下面以蘇教版教材中“函數(shù)性質(zhì)”的教學(xué)為例，分享筆者的實踐與思考.

【解題困惑】

教學(xué)觀察：應(yīng)用反證法的大體步驟，學(xué)生反應(yīng)較好，而在面對“最小”這一關(guān)鍵結(jié)論的證明時，明顯力不從心.同第二組問題一樣，“舉反例”是較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕夥?，但有部分學(xué)生想不到這種解法，即使想到了也心存忐忑，為什么可以這樣做？這算不算“投機取巧”？

【內(nèi)涵挖掘】

對于函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值等問題，在它們各自定義的表述中，一般存在著“任意……都有……”這樣一些關(guān)鍵詞，聯(lián)想到解題過程中經(jīng)常面對的恒成立問題，教師完全可以引導(dǎo)學(xué)生進一步樹立“恒成立”的意識.當(dāng)然，對“恒成立”這一內(nèi)涵的挖掘，還要通過以下三個維度進行深度分析.

維度一，聚焦概念中的適用范圍.函數(shù)的奇偶性、周期性、最值中的“恒成立”，均是針對函數(shù)的定義域而言，屬函數(shù)的整體性質(zhì).但是函數(shù)單調(diào)性中的“恒成立”未必針對定義域，也有可能是針對定義域的子區(qū)間，它屬于局部性質(zhì).兩者不可混淆.

維度二，聚焦概念中式子的形式.函數(shù)的奇偶性、周期性中的“恒成立”，是等式的恒成立，而函數(shù)單調(diào)性、最值中的“恒成立”則是不等式恒成立.形式不同，解題路徑各異，只有方向把握準(zhǔn)確，解題才能高效.

維度三，聚焦生活中的實例.如從反面論證“恒成立”問題為什么需要“舉反例”，可以在課堂上舉例.“有人說，高一（6）全班同學(xué)皆近視眼，而事實并非如此，有的同學(xué)還準(zhǔn)備參加飛行員的選拔，那么該如何去反駁此人？”問題一經(jīng)拋出，學(xué)生自然會對該人言論進行針對性的反駁——找出一個視力正常的同學(xué)即可.

【水到渠成】

【學(xué)以致用】

問題是數(shù)學(xué)的靈魂，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是圍繞問題展開的，知識因問題而起，為了解決問題才要更新知識、創(chuàng)造新知;學(xué)習(xí)因問題而導(dǎo)，教師只有科學(xué)、合理地設(shè)置問題，才能夠有效地引導(dǎo)學(xué)生深入探究，主動構(gòu)建新知;素養(yǎng)因問題而成，學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題過程，才能從中汲取數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)分.問題的設(shè)計和教學(xué)的掌控是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)落地生根、開花結(jié)果的關(guān)鍵所在.所以，教師在進行概念教學(xué)時，一定要對課本習(xí)題進行變式、引申和拓展，同時要及時提煉數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，達到學(xué)以致用的目的.本節(jié)課后，筆者設(shè)計如下問題組供學(xué)生研討.

【逆向研究】

“恒成立問題”作為高考試題中的常青樹，除上述由外及里的內(nèi)涵挖掘的題目之外，顯性的恒成立問題比比皆是.因此，教師在解題教學(xué)中要加強研究，充分挖掘概念內(nèi)涵，以培養(yǎng)學(xué)生辨析思維、求異思維能力.從綜合性來看，題目主要分為單一型和復(fù)合型兩類.從變量個數(shù)來看，常見的有一個變量和若干變量（且以兩個變量為主）.從函數(shù)個數(shù)來看，常見的有一個或兩個函數(shù)，有時兩個函數(shù)往往還需要轉(zhuǎn)化成一個函數(shù).這些問題看起來難以理解，想要解決需要從源頭切入，挖掘其內(nèi)涵，辨析其核心區(qū)別，依靠轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想尋求突破.

綜上，t的取值范圍是（-∞，3].點評 一參數(shù)一變量與“存在性”“任意性”有機結(jié)合，是高考中的常見題型，使抽象的函數(shù)問題變得更加難以理解.事實上，這類問題只要抓住全稱量詞和存在量詞的基本含義，辨析清楚兩者之間的差別，就能夠迅速地解題.

【教學(xué)思考】

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思想方法的載體.基于解題，挖掘概念內(nèi)涵，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.教師在講解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值等概念的過程中，抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，即共同且本質(zhì)的數(shù)學(xué)特征“恒成立”，學(xué)生解題時就能夠快速提煉出“恒成立”這一模型，從而實現(xiàn)問題的圓滿解決.“隨風(fēng)潛入夜，潤物細無聲.”在這個過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)也必然會得到塑造和鞏固.

概念課教學(xué)既是基礎(chǔ)也是重中之重，但現(xiàn)實中卻呈現(xiàn)出兩種不良傾向.一是存在“教材不吃透，全靠習(xí)題湊”的狀況，筆者曾在縣城內(nèi)做過觀察，記錄了七節(jié)數(shù)學(xué)評優(yōu)課，當(dāng)提到一次函數(shù)“y=kx+b（k≠0）”中“k=0”式子還是不是函數(shù)問題時，僅有一位教師能夠引導(dǎo)學(xué)生通過咀嚼概念做出清晰的判斷，其他老師都是含含糊糊、閃爍其詞，聽者揪心，學(xué)生添堵.二是對概念不夠重視，筆者發(fā)現(xiàn)教師教學(xué)能力的層次與概念教學(xué)的重視程度正相關(guān)，基本功扎實、具有一定的研究能力、學(xué)生評價高的老師在概念教學(xué)上不僅重視而且“能歌善舞”.相對而言，有些教學(xué)能力一般的老師卻“好高騖遠”.對于廣大的一線數(shù)學(xué)教師，我們要進一步喚醒、激勵、鼓舞，讓“重視概念教學(xué)、注重立長遠，靜心打基礎(chǔ)，教得輕松、學(xué)得愉快”蔚然成風(fēng).各地教研機構(gòu)也要當(dāng)好“紅娘”，指導(dǎo)學(xué)科備課組進行針對性的閱讀、研討，讓概念教學(xué)立于舞臺中央.

眾所周知，在社會、家庭、學(xué)校各方“推動”下，學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)被過度關(guān)注，使教學(xué)異化，我國高中數(shù)學(xué)教育普遍存在著同質(zhì)化的傾向.北京大學(xué)張順燕教授曾精辟地指出：“教學(xué)有三種境界，即授人以業(yè)，授人以法，授人以道.”前者凸顯所授知識的準(zhǔn)確性，中者強調(diào)所授知識的深刻性，而后者方是教學(xué)的最高境界，它要求教學(xué)不但要使學(xué)生將知識與方法融會貫通，而且要把數(shù)學(xué)的思想方法、本質(zhì)規(guī)律及內(nèi)部聯(lián)系等靈魂性的東西揭示出來，為學(xué)生的終身發(fā)展打下堅實的基礎(chǔ)，它強調(diào)所授知識的本質(zhì).這就為我們的教學(xué)路徑指明了方向——抓住問題的本質(zhì).所以我們要從人的角度研究教學(xué)，改進方法，認(rèn)真落實學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).在概念教學(xué)設(shè)計中我們要進一步凸顯問題導(dǎo)向，確立“建構(gòu)→解題→內(nèi)涵→升華”流程，其中基礎(chǔ)在建構(gòu)和解題，關(guān)鍵在通過解題進一步審視、研讀、辨析概念，挖掘內(nèi)涵，使二者形成知識能力和態(tài)度的閉環(huán)，從而實現(xiàn)學(xué)識水平和人文素養(yǎng)的雙提升.