成如剛

（黃岡職業(yè)技術(shù)學(xué)院 湖北 黃岡 438002）

在挖基礎(chǔ)土石方工程量計(jì)算實(shí)踐中，基坑平面形狀和基坑形體越來越多樣化，平面形狀已經(jīng)不再局限于矩形、圓形，基坑的形體也不再局限于柱體、梯形體或者棱臺。面對這種情況，基坑土方體積計(jì)算公式該如何正確選擇呢？我們有必要對各種基坑（含基礎(chǔ)大開挖）土方形體體積計(jì)算公式的適用范圍進(jìn)行分析。

1 土方垂直開挖，不放坡時(shí)的體積計(jì)算

此情況下，無論是否支擋土板、留工作面，任意形狀基坑均為柱體。

土方體積=坑底面積×挖深

1.1 任意形狀基坑

設(shè)基坑底面面積為S，基礎(chǔ)底面至設(shè)計(jì)室外標(biāo)高深度為h，則：

1.2 矩形或方型基坑

設(shè)基坑底面尺寸為a×b，基礎(chǔ)底面至設(shè)計(jì)室外標(biāo)高深度為h，此時(shí)坑底面面積S=ab，則：

1.3 圓形基坑、樁孔

設(shè)基坑底面半徑為r，基礎(chǔ)底面至設(shè)計(jì)室外標(biāo)高深度為h，坑底面面積S=πr2，則：

2 土方開挖需放坡時(shí)的體積計(jì)算

放坡后形成各種形體，如擬柱體、梯形體、棱臺、圓臺、球缺、棱柱、圓柱、長方體等。

2.1 擬柱體體積公式及適用范圍

擬柱體是指所有的頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體。其體積公式為萬能公式，可計(jì)算初等幾何里各種形體的體積。公式如下：

其中：S上-上底面積；S下-下底面積；S0-中截面面積；h-高。

如果S（x）是x不超過三次的多項(xiàng)式，就能用擬柱體公式計(jì)算這個(gè)物體的體積。（注：用平行于底面的平面來切割物體，x記為平面到下底的距離，S（x）記為這個(gè)平面截物體所得的剖面面積）。[1]

長方體、圓柱、棱柱、圓錐、棱錐、圓臺、棱臺、梯形體、球、球冠、球缺等盡管各有自己求體積的公式，但都是擬柱體的特例，都可以用擬柱體公式計(jì)算體積[1-2]。

一般情況下，對任意平面形狀的基坑土方（含基礎(chǔ)大開挖土方），均可按擬柱體體積公式計(jì)算土方。

2.2 棱臺體積計(jì)算公式及適用范圍

當(dāng)擬柱體的上下底面是對應(yīng)邊平行的相似多邊形時(shí)，它就是棱臺。只要上、下平行的兩個(gè)面的對應(yīng)邊比值相等，這兩個(gè)面相似[3]。

在土方計(jì)算時(shí)，公式（5）僅適用于基坑底面為正方形、圓形，且周邊放坡系數(shù)相等的情況。

當(dāng)擬柱體的上下底面是對應(yīng)邊平行，但上下底面不是相似多邊形時(shí)，就不是棱臺，此時(shí)體積計(jì)算按萬能公式h（S上+4S0+S下）計(jì)算，不能按公式（5）計(jì)算。

2.3 梯形體計(jì)算公式及適用范圍

梯形體（如圖1所示）是指上下底面平行且為平行四邊形，四個(gè)側(cè)面都是梯形的擬柱體，正四棱臺是梯形體的特例。

圖1 梯形體

其中：兩底為平行四邊形，a、b、A、B分別為上下底邊長；h為高。

正四棱臺是梯形體的特例，正四棱臺可采用梯形體體積公式計(jì)算，而梯形體體積不能采用正四棱臺體積公式計(jì)算。

如何判斷四棱臺還是梯形體呢?只要上、下平行的兩個(gè)面的對應(yīng)邊比值相等，這兩個(gè)面相似，這時(shí)四個(gè)棱的延長線肯定交于一點(diǎn)，一定是四棱臺，不然就是梯形體。[3]

梯形體體積公式（6）也可轉(zhuǎn)換成另一體積公式：

如圖2所示，若a=a′+2c，b=b′+2c；A=a+2kh，B=b+2kh。代入體積公式（6），發(fā)現(xiàn)公式（6）與公式（7）相等。即h[ab+（a+A）（b+B）+AB]=h（a+Kh）（b+Kh）+K2h3=h（a′+2C+Kh）（b′+2C+Kh）+K2h3

在土方計(jì)算時(shí)，梯形體體積公式（7）僅適用于基坑底面為矩形且四面放坡系數(shù)相等的情況。只要是梯形體，公式（6）均適用。但對平面是三角形或者梯形的情況，可以補(bǔ)上大小一樣且互為對邊的圖形，形成矩形后也可適用公式（6）、（7），其體積計(jì)算結(jié)果取1/2即可，見圖2。

2.4 多個(gè)矩形組合形狀的基坑體積公式及適用范圍

多個(gè)矩形組合形狀的基坑土方（含基礎(chǔ)大開挖）形體還是擬柱體，無論周邊是否均勻放坡，均可按萬能公式（4）計(jì)算。

對由多個(gè)矩形組合的平面，周邊均勻放坡（放坡系數(shù)相等）時(shí)，也可以按如下公式[4]計(jì)算：

圖2 方形放坡地坑（梯形體）

其中：S下-坑底面積；L-坑底周長；h-高；K-放坡系數(shù)。

多個(gè)矩形可以組合成L形、凹形、凸形、十字形、Z形等形狀（見圖3[4]）。

圖3

對矩形組合的基坑，均適用擬柱體萬能公式（4）。滿足如下條件時(shí)，也可適用計(jì)算公式（8）：

①僅當(dāng)周邊均勻放坡（放坡系數(shù)相等）時(shí)適用。若四周放坡不均勻，則只能適用擬柱體萬能公式（4）。

②對轉(zhuǎn)角處均為900的凹凸形等基坑平面，周邊均勻放坡時(shí)，適用公式（8）。否則，只能適用擬柱體萬能公式（4）。

③對于轉(zhuǎn)角處均為900的回形基坑平面，公式（8）不適用。只能適用擬柱體萬能公式（4）。

④對于有≠900轉(zhuǎn)角（含弧形）的基坑平面，公式（8）不適用。只能適用擬柱體萬能公式（4）。

3 實(shí)例計(jì)算比較

3.1 四棱臺與梯形體公式應(yīng)用比較

背景資料：某工程挖矩形基坑，坑底長為7.0m，寬為4.0m，四周放坡系數(shù)0.5，深度為2.0m，三類土。計(jì)算挖基坑土方工程量。

計(jì)算過程：

基坑底a=7m，b=4m；基坑頂A=5+0.5×2×2=9m，B=4+0.5×2×2=6m

本基坑不是棱臺而是梯形體（判斷條件a：A=7/9=0.778≠b：B=4/6=0.667，不是棱臺）。

應(yīng)用梯形體公式（6）計(jì)算：

若應(yīng)用棱臺公式（5）計(jì)算，則結(jié)果有誤差，過程如下：

S上=9×6=54（m2），S下=7×4=28（m2）

二者結(jié)果差率=（80.59-80.67）/80.67=0.1%。上下面對應(yīng)邊比值越不相近，差值越大[3]。

3.2 矩形組合坑體計(jì)算公式應(yīng)用比較

背景資料：某大基坑底平面尺寸見圖4，坑深5.5m，四邊均按1：0.4的坡度放坡，計(jì)算基坑開挖的土方量。

計(jì)算過程：

方法一，利用萬能公式（4）計(jì)算：

該基坑每側(cè)邊坡放坡寬度為：Kh=0.4×5.5＝2.2m；坑底面積為：S下＝30×15－10×5＝400m2；坑口面積為：S上＝（30+2×2.2）×（15+2×2.2）-（10－2×2.2）×5＝34.4×19.4-5.6×5=639.36m2。

圖4 基坑底面布置

坑口面平面計(jì)算的另一方法：坑口面平面相當(dāng)于下底面外放kh寬所圍成的平面，所以坑口平面面積也可按下式計(jì)算：S上=S下+下底周長×kh+4×kh×kh，下底周長L=100m，S上=400+100×2.2+4×2.2×2.2=639.36m2。

方法二，利用公式（8）計(jì)算：

二種方法計(jì)算結(jié)果一致。

4 結(jié)束語

一般情況下，無論哪種平面形狀的基坑，無論是否放坡，無論周邊放坡是否均勻，土石方體積計(jì)算均適用擬柱體體積萬能公式（4）。

對于平面為四邊形的基坑，土石方體積計(jì)算還可適用梯形體體積計(jì)算公式（6）。四周放坡一致時(shí)還可適用公式（7）。正四棱臺是梯形體的特例。

對于平面為矩形組合的基坑，若四周放坡均勻，土石方體積計(jì)算除適用擬柱體體積萬能公式（4）外，還可適用計(jì)算公式（8）和（7）。

把握以上幾點(diǎn)，對實(shí)踐工作中正確選擇基坑土石方的體積計(jì)算公式具有非常重要的意義。