褚華

摘 ? 要：2019年全國(guó)高考數(shù)學(xué)II卷的一道以天體運(yùn)動(dòng)素材做背景的數(shù)學(xué)試題，通過物理之問，進(jìn)行了物理方面的分析，讓大家了解拉格朗日點(diǎn)的由來，以及它對(duì)未來深度空間探測(cè)的意義;介紹了中繼星“鵲橋”在登月過程中的作用。

關(guān)鍵詞：拉格朗日點(diǎn);深度空間;高考試題

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1003-6148（2020）1-0043-3

2019年全國(guó)高考數(shù)學(xué)I卷的“斷臂維納斯”和數(shù)學(xué)III卷的“一朵云”瞬間成為網(wǎng)紅高考試題，成為人們熱議的高考話題。其實(shí)，在全國(guó)數(shù)學(xué)II卷中，還有一道讓物理老師拍手叫絕的好題，就是全國(guó)高考數(shù)學(xué)II卷中的第4題，是以天體運(yùn)動(dòng)為背景的空間幾何體的基本運(yùn)算數(shù)學(xué)考題。試題以我國(guó)最新的空間技術(shù)成就“2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸”為背景，融合數(shù)學(xué)上的拉格朗日點(diǎn)概念，巧妙地設(shè)置了一道空間幾何關(guān)系的運(yùn)算數(shù)學(xué)高考試題，讓人耳目一新。按理說，像這樣的最新航天技術(shù)的素材，作為高考物理試題的背景材料是最好不過的了，但沒想到被今年的高考數(shù)學(xué)試題捷足先登。

1 ? ?高考數(shù)學(xué)原題

2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系。為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)L2的軌道運(yùn)行。L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上。設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿足方程：

正確選項(xiàng)：D選項(xiàng)。

此題看似像物理題，卻并沒有考查物理方面的知識(shí)內(nèi)容，僅僅從運(yùn)算的角度，考查學(xué)生在物理情境下的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。這種運(yùn)算過程與難度在高考數(shù)學(xué)試題中應(yīng)屬于中等難度，其實(shí)在很多高考物理試題中也是常見的。

3 ? ?物理之問

3.1 ? ?第一問——數(shù)學(xué)試題中給出的+=（R+r）關(guān)系式是如何得到的

如圖1所示，嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”繞地球運(yùn)動(dòng)的向心力來源于地球和月球?qū)λ娜f有引力，且運(yùn)動(dòng)的角速度與月球繞地球運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)為ω，分別對(duì)“鵲橋”和月球列方程如下：

3.2 ? ?第二問——拉格朗日點(diǎn)的由來

1687年，牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力，并提出萬有引力公式。人們應(yīng)用萬有引力定律很容易算出宇宙中兩個(gè)天體在引力作用下的運(yùn)動(dòng)情況，得到天體的運(yùn)動(dòng)軌道。但是，有第三個(gè)天體存在的話，情況就會(huì)變得異常復(fù)雜，不可求解。這便是著名的三體問題。

針對(duì)復(fù)雜的三體問題，數(shù)學(xué)家先著手進(jìn)行簡(jiǎn)化，比如其中一個(gè)天體的質(zhì)量非常小，變成了限制性三體問題，求解也變得簡(jiǎn)單很多。1767年數(shù)學(xué)家歐拉根據(jù)旋轉(zhuǎn)的二體引力場(chǎng)推算出其中三個(gè)點(diǎn)（特解）為L(zhǎng)1、L2、L3。1772年數(shù)學(xué)家拉格朗日把“限制性三體問題”進(jìn)一步簡(jiǎn)化為“平面圓形限制三體問題”，并推算出了另外兩個(gè)點(diǎn)（特解）為L(zhǎng)4、L5，如圖2所示。人們把L1、L2、L3、L4、L5叫做拉格朗日點(diǎn)。其中，物體在L1、L2、L3三個(gè)點(diǎn)的位置上是不穩(wěn)定的，受稍微的擾動(dòng)就離去而不再?gòu)?fù)位;在L4、L5兩個(gè)點(diǎn)上是穩(wěn)定的，受到擾動(dòng)后不會(huì)離去，而是在這個(gè)點(diǎn)附近往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

1906年，天文學(xué)家沃爾夫，發(fā)現(xiàn)了一顆行為怪異的小行星，它的繞日軌道與木星完全相同，在木星前方運(yùn)行?？瓷先?，小行星、木星、太陽(yáng)三者總是呈等邊三角形，這顆小行星被命名為“阿基里斯”?？茖W(xué)家很快意識(shí)到，這或許就是拉格朗日點(diǎn)存在的證據(jù)。很快，天文學(xué)家又在相反的位置上，也發(fā)現(xiàn)了小行星，后來還發(fā)現(xiàn)了大量的小行星，存在于這兩個(gè)點(diǎn)上。這也是科學(xué)史上先在理論上預(yù)言，然后又在實(shí)際觀察中發(fā)現(xiàn)得到證實(shí)的生動(dòng)事例。

拉格朗日點(diǎn)的物理意義：在由兩個(gè)質(zhì)量較大的天體M1、M2構(gòu)成的系統(tǒng)中，都存在5個(gè)拉格朗日點(diǎn)。在這些點(diǎn)處，放入第三個(gè)物體（質(zhì)量忽略不計(jì)），它在天體M1、M2的引力作用下，相對(duì)于M1、M2基本上保持相對(duì)靜止（即運(yùn)轉(zhuǎn)角速度和周期相同）。

3.3 ? ?第三問——題根在哪里

其實(shí)，今年的全國(guó)數(shù)學(xué)II卷中的這道以“拉格朗日點(diǎn)”為素材的數(shù)學(xué)試題，也并非是一道創(chuàng)新之作，它源于高中物理競(jìng)賽試題，是對(duì)第32屆（2015年）全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽試卷中一道試題的改編。

競(jìng)賽試題：2011年8月中國(guó)發(fā)射的宇宙飛船“嫦娥二號(hào)”在完成探月任務(wù)后，首次從繞月軌道飛向日地延長(zhǎng)線上的拉格朗日點(diǎn)，在該點(diǎn)，“嫦娥二號(hào)”和地球一起同步繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)。已知太陽(yáng)和地球的質(zhì)量分別為MS和ME， 日地距離為R。該拉格朗日點(diǎn)離地球的距離x滿足的方程為? ? ? ? ，由此解得

顯然，物理競(jìng)賽題的第二填空對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求，高于2019年全國(guó)高考數(shù)學(xué)II卷第4題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求。

競(jìng)賽試題是以日地拉格朗日點(diǎn)為背景材料，高考數(shù)學(xué)題是以地月為背景材料，如出一轍，本質(zhì)上是同一個(gè)物理模型。數(shù)學(xué)題中的月球到L2的距離與物理競(jìng)賽試題中的地球到L2的距離數(shù)學(xué)表達(dá)形式完全相同。

3.4 ? ?第四問——拉格朗日點(diǎn)在深空探測(cè)技術(shù)上的意義

拉格朗日點(diǎn)又稱平動(dòng)點(diǎn)，日地系統(tǒng)、地月系統(tǒng)均存在五個(gè)拉格朗日點(diǎn)。如果在這些點(diǎn)上放置信息中繼探測(cè)器、衛(wèi)星或空間站等，可以建立一個(gè)相對(duì)日地系統(tǒng)或地月系統(tǒng)穩(wěn)定的深空探測(cè)環(huán)境或通信節(jié)點(diǎn)。除此之外，中繼探測(cè)器、衛(wèi)星或空間站處在拉格朗日點(diǎn)上所消耗的燃料非常小。

人類從1978年第一顆拉格朗日點(diǎn)衛(wèi)星國(guó)際探測(cè)者三號(hào)發(fā)射成功開始，拉開了拉格朗日點(diǎn)開發(fā)利用的序幕。近年來，拉格朗日點(diǎn)的應(yīng)用已成為國(guó)際空間探測(cè)的熱點(diǎn)，多顆該類衛(wèi)星相繼發(fā)射成功。如1995年12月2日用“宇宙神”運(yùn)載火箭從卡拉維納爾角發(fā)射的太陽(yáng)與日光層觀測(cè)臺(tái)探測(cè)器，在拉格朗日點(diǎn)L1附近運(yùn)行，最初計(jì)劃運(yùn)行2年，實(shí)際上完成初始任務(wù)后繼續(xù)執(zhí)行擴(kuò)展任務(wù)，目前探測(cè)器仍在軌運(yùn)行中;2001年升空的威爾金森宇宙微波各向異性探測(cè)衛(wèi)星（WMAP）;2009年歐洲航天局兩顆科學(xué)探測(cè)衛(wèi)星“赫歇爾”和“普朗克”也被定位在日地系統(tǒng)的拉格朗日點(diǎn)L2附近。

眾所周知，哈勃望遠(yuǎn)鏡的接班者——詹姆斯·韋伯太空望遠(yuǎn)鏡，就將放置在太陽(yáng)和地球的拉格朗日點(diǎn)（L2）處。哈勃望遠(yuǎn)鏡與詹姆斯·韋伯太空望遠(yuǎn)鏡的最大區(qū)別就是哈勃望遠(yuǎn)鏡是圍繞地球轉(zhuǎn)，而詹姆斯·韋伯太空望遠(yuǎn)鏡處在日地系統(tǒng)的拉格朗日點(diǎn)L2上繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)。在距離我們150萬公里的深空，遠(yuǎn)比距離地表600公里的哈勃望遠(yuǎn)鏡遙遠(yuǎn)得多。該點(diǎn)永久背對(duì)著地球，引力場(chǎng)相對(duì)穩(wěn)定，也沒有近地軌道的塵埃和垃圾影響，具有超好的觀測(cè)位置和視野。美國(guó)國(guó)家航空航天局計(jì)劃于2021年發(fā)射哈勃望遠(yuǎn)鏡的接班者詹姆斯·韋伯太空望遠(yuǎn)鏡。

我國(guó)于2018年4月24日，成功將嫦娥四號(hào)月球探測(cè)器的中繼衛(wèi)星“鵲橋”號(hào)發(fā)射升空?！谤o橋”號(hào)并不是圍繞月球旋轉(zhuǎn)，而是圍繞著地月系統(tǒng)的拉格朗日點(diǎn)L2旋轉(zhuǎn)。為2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸提供了信息傳送，如圖3所示。

不論日地系統(tǒng)的拉格朗日點(diǎn)，還是地月系統(tǒng)的拉格朗日點(diǎn)，對(duì)于深空探測(cè)而言，都是稀缺資源。誰(shuí)先占領(lǐng)拉格朗日點(diǎn)，不僅反映這個(gè)國(guó)家的科技水平，更是搶占了未來深空探測(cè)的主動(dòng)權(quán)。拉格朗日點(diǎn)除了用于科學(xué)研究之外，還有極其重要的軍事戰(zhàn)略用途。它可以用于在軌備用衛(wèi)星的?？奎c(diǎn)，也可用來抵抗外層軌道發(fā)射的反衛(wèi)星空間武器，比如用于抵抗地球同步衛(wèi)星等。所以，在未來各國(guó)的太空計(jì)劃中，圍繞著拉格朗日點(diǎn)將會(huì)展開激烈的太空資源爭(zhēng)奪戰(zhàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]李廣俠，姜勇，孫玉華.拉格朗日點(diǎn)在深空通信中的應(yīng)用[J].數(shù)字通訊世界，2011（1）：84-87.

[2]翟麓.迷人的“拉格朗日點(diǎn)”[J].太空探究，2011（11）：20-21.

[3]秦德勝.關(guān)于拉格朗日點(diǎn)的一道高考題[J].物理教學(xué)，2011，33（4）：71-73.

（欄目編輯 ? ?陳 ?潔）