褚華

摘 ? 要：2019年全國高考數(shù)學II卷的一道以天體運動素材做背景的數(shù)學試題，通過物理之問，進行了物理方面的分析，讓大家了解拉格朗日點的由來，以及它對未來深度空間探測的意義;介紹了中繼星“鵲橋”在登月過程中的作用。

關鍵詞：拉格朗日點;深度空間;高考試題

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2020）1-0043-3

2019年全國高考數(shù)學I卷的“斷臂維納斯”和數(shù)學III卷的“一朵云”瞬間成為網(wǎng)紅高考試題，成為人們熱議的高考話題。其實，在全國數(shù)學II卷中，還有一道讓物理老師拍手叫絕的好題，就是全國高考數(shù)學II卷中的第4題，是以天體運動為背景的空間幾何體的基本運算數(shù)學考題。試題以我國最新的空間技術成就“2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸”為背景，融合數(shù)學上的拉格朗日點概念，巧妙地設置了一道空間幾何關系的運算數(shù)學高考試題，讓人耳目一新。按理說，像這樣的最新航天技術的素材，作為高考物理試題的背景材料是最好不過的了，但沒想到被今年的高考數(shù)學試題捷足先登。

1 ? ?高考數(shù)學原題

2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系。為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點L2的軌道運行。L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上。設地球質量為M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：

正確選項：D選項。

此題看似像物理題，卻并沒有考查物理方面的知識內容，僅僅從運算的角度，考查學生在物理情境下的數(shù)學運算能力。這種運算過程與難度在高考數(shù)學試題中應屬于中等難度，其實在很多高考物理試題中也是常見的。

3 ? ?物理之問

3.1 ? ?第一問——數(shù)學試題中給出的+=（R+r）關系式是如何得到的

如圖1所示，嫦娥四號中繼星“鵲橋”繞地球運動的向心力來源于地球和月球對它的萬有引力，且運動的角速度與月球繞地球運動的角速度相同，設為ω，分別對“鵲橋”和月球列方程如下：

3.2 ? ?第二問——拉格朗日點的由來

1687年，牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力，并提出萬有引力公式。人們應用萬有引力定律很容易算出宇宙中兩個天體在引力作用下的運動情況，得到天體的運動軌道。但是，有第三個天體存在的話，情況就會變得異常復雜，不可求解。這便是著名的三體問題。

針對復雜的三體問題，數(shù)學家先著手進行簡化，比如其中一個天體的質量非常小，變成了限制性三體問題，求解也變得簡單很多。1767年數(shù)學家歐拉根據(jù)旋轉的二體引力場推算出其中三個點（特解）為L1、L2、L3。1772年數(shù)學家拉格朗日把“限制性三體問題”進一步簡化為“平面圓形限制三體問題”，并推算出了另外兩個點（特解）為L4、L5，如圖2所示。人們把L1、L2、L3、L4、L5叫做拉格朗日點。其中，物體在L1、L2、L3三個點的位置上是不穩(wěn)定的，受稍微的擾動就離去而不再復位;在L4、L5兩個點上是穩(wěn)定的，受到擾動后不會離去，而是在這個點附近往復運動。

1906年，天文學家沃爾夫，發(fā)現(xiàn)了一顆行為怪異的小行星，它的繞日軌道與木星完全相同，在木星前方運行?？瓷先ィ⌒行?、木星、太陽三者總是呈等邊三角形，這顆小行星被命名為“阿基里斯”。科學家很快意識到，這或許就是拉格朗日點存在的證據(jù)。很快，天文學家又在相反的位置上，也發(fā)現(xiàn)了小行星，后來還發(fā)現(xiàn)了大量的小行星，存在于這兩個點上。這也是科學史上先在理論上預言，然后又在實際觀察中發(fā)現(xiàn)得到證實的生動事例。

拉格朗日點的物理意義：在由兩個質量較大的天體M1、M2構成的系統(tǒng)中，都存在5個拉格朗日點。在這些點處，放入第三個物體（質量忽略不計），它在天體M1、M2的引力作用下，相對于M1、M2基本上保持相對靜止（即運轉角速度和周期相同）。

3.3 ? ?第三問——題根在哪里

其實，今年的全國數(shù)學II卷中的這道以“拉格朗日點”為素材的數(shù)學試題，也并非是一道創(chuàng)新之作，它源于高中物理競賽試題，是對第32屆（2015年）全國中學生物理競賽預賽試卷中一道試題的改編。

競賽試題：2011年8月中國發(fā)射的宇宙飛船“嫦娥二號”在完成探月任務后，首次從繞月軌道飛向日地延長線上的拉格朗日點，在該點，“嫦娥二號”和地球一起同步繞太陽做圓周運動。已知太陽和地球的質量分別為MS和ME， 日地距離為R。該拉格朗日點離地球的距離x滿足的方程為? ? ? ? ，由此解得

顯然，物理競賽題的第二填空對學生的數(shù)學運算能力的要求，高于2019年全國高考數(shù)學II卷第4題對學生數(shù)學運算能力的要求。

競賽試題是以日地拉格朗日點為背景材料，高考數(shù)學題是以地月為背景材料，如出一轍，本質上是同一個物理模型。數(shù)學題中的月球到L2的距離與物理競賽試題中的地球到L2的距離數(shù)學表達形式完全相同。

3.4 ? ?第四問——拉格朗日點在深空探測技術上的意義

拉格朗日點又稱平動點，日地系統(tǒng)、地月系統(tǒng)均存在五個拉格朗日點。如果在這些點上放置信息中繼探測器、衛(wèi)星或空間站等，可以建立一個相對日地系統(tǒng)或地月系統(tǒng)穩(wěn)定的深空探測環(huán)境或通信節(jié)點。除此之外，中繼探測器、衛(wèi)星或空間站處在拉格朗日點上所消耗的燃料非常小。

人類從1978年第一顆拉格朗日點衛(wèi)星國際探測者三號發(fā)射成功開始，拉開了拉格朗日點開發(fā)利用的序幕。近年來，拉格朗日點的應用已成為國際空間探測的熱點，多顆該類衛(wèi)星相繼發(fā)射成功。如1995年12月2日用“宇宙神”運載火箭從卡拉維納爾角發(fā)射的太陽與日光層觀測臺探測器，在拉格朗日點L1附近運行，最初計劃運行2年，實際上完成初始任務后繼續(xù)執(zhí)行擴展任務，目前探測器仍在軌運行中;2001年升空的威爾金森宇宙微波各向異性探測衛(wèi)星（WMAP）;2009年歐洲航天局兩顆科學探測衛(wèi)星“赫歇爾”和“普朗克”也被定位在日地系統(tǒng)的拉格朗日點L2附近。

眾所周知，哈勃望遠鏡的接班者——詹姆斯·韋伯太空望遠鏡，就將放置在太陽和地球的拉格朗日點（L2）處。哈勃望遠鏡與詹姆斯·韋伯太空望遠鏡的最大區(qū)別就是哈勃望遠鏡是圍繞地球轉，而詹姆斯·韋伯太空望遠鏡處在日地系統(tǒng)的拉格朗日點L2上繞太陽轉。在距離我們150萬公里的深空，遠比距離地表600公里的哈勃望遠鏡遙遠得多。該點永久背對著地球，引力場相對穩(wěn)定，也沒有近地軌道的塵埃和垃圾影響，具有超好的觀測位置和視野。美國國家航空航天局計劃于2021年發(fā)射哈勃望遠鏡的接班者詹姆斯·韋伯太空望遠鏡。

我國于2018年4月24日，成功將嫦娥四號月球探測器的中繼衛(wèi)星“鵲橋”號發(fā)射升空。“鵲橋”號并不是圍繞月球旋轉，而是圍繞著地月系統(tǒng)的拉格朗日點L2旋轉。為2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸提供了信息傳送，如圖3所示。

不論日地系統(tǒng)的拉格朗日點，還是地月系統(tǒng)的拉格朗日點，對于深空探測而言，都是稀缺資源。誰先占領拉格朗日點，不僅反映這個國家的科技水平，更是搶占了未來深空探測的主動權。拉格朗日點除了用于科學研究之外，還有極其重要的軍事戰(zhàn)略用途。它可以用于在軌備用衛(wèi)星的?？奎c，也可用來抵抗外層軌道發(fā)射的反衛(wèi)星空間武器，比如用于抵抗地球同步衛(wèi)星等。所以，在未來各國的太空計劃中，圍繞著拉格朗日點將會展開激烈的太空資源爭奪戰(zhàn)。

參考文獻：

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[2]翟麓.迷人的“拉格朗日點”[J].太空探究，2011（11）：20-21.

[3]秦德勝.關于拉格朗日點的一道高考題[J].物理教學，2011，33（4）：71-73.

（欄目編輯 ? ?陳 ?潔）