(江蘇省蘇州中學(xué) 215006)

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中將高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)確定為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，其中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)位列六大素養(yǎng)之首.不可置否,概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要內(nèi)容.但長期以來，受應(yīng)試教育模式下形成的“重結(jié)論、輕過程”的影響，許多教師認(rèn)為既沒必要也不值得花時間在概念的發(fā)現(xiàn)、形成和發(fā)展上，取而代之的是照本宣科，把形成概念的生動過程變?yōu)椤敖Y(jié)論+練習(xí)”，與新課標(biāo)所強(qiáng)調(diào)的“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程不僅是一個接受知識的過程，而且是一個發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程”理念背道而馳．

因此，摒棄舊的教學(xué)方法，重視概念的產(chǎn)生和發(fā)展的教學(xué)切合新課標(biāo)的精神．那么如何避免生搬硬套地強(qiáng)行代入，水到渠成地引出數(shù)學(xué)概念，如何在探究概念的過程中有效提高學(xué)生的思維層次，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是我們教學(xué)中亟待解決的問題．筆者觀摩了“2018年蘇州市區(qū)青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課評比活動”中劉煒老師執(zhí)教的蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(必修四)》中“平面向量的概念與表示”，結(jié)合近期閱讀的美國比茲堡大學(xué)關(guān)于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究成果中七條保持高思維水平的教學(xué)方法，即：(1)給思維和推理“搭腳手架”；(2)為學(xué)生提供元認(rèn)知方法；(3)示范高水平的操作行為；(4)維持對證明、解釋或意義的強(qiáng)調(diào)；(5)任務(wù)建立在已有知識基礎(chǔ)上；(6)在概念間建立聯(lián)系；(7)適當(dāng)?shù)奶剿鲿r間，真正體悟到了“思維行云流水，概念水到渠成”．下文將根據(jù)部分教學(xué)片斷，結(jié)合七條準(zhǔn)則(以下準(zhǔn)則內(nèi)容用數(shù)字表示)談?wù)剬Ω拍罱虒W(xué)的幾點(diǎn)拙見．

1 教學(xué)片斷

1.1 發(fā)現(xiàn)問題——向量概念的形成

問題1“從生活到數(shù)學(xué)”——圖象展示五個蘋果和手掌，引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)字5．

問題2“萬物皆數(shù)”——圖象文字展示畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，提問學(xué)生是否每個對象都能用一個數(shù)來表示？

問題3“成語故事講解”——圖象文字展示退避三舍，提問學(xué)生“直退三舍”的命令能否用一個數(shù)來表示？

問題4根據(jù)中央氣象臺天氣分析氣流圖，提問學(xué)生江蘇所在位置上的“刷子”形狀描述的是什么？

學(xué)生回答問題2、3不能用數(shù)表示，問題4表示風(fēng)力和風(fēng)向．

師：那么風(fēng)力和風(fēng)向所蘊(yùn)含的內(nèi)容能用一個數(shù)來表示嗎？

生：不能．

師：很好！我們發(fā)現(xiàn)不是所有的對象都能用一個數(shù)來表示．那么具有上述特點(diǎn)的對象我們以前碰到過嗎？比如在物理學(xué)上有類似的概念嗎？

生：位移、速度、加速度、力．

師：所以我們發(fā)現(xiàn)這些量的共同特點(diǎn)是——

生：既有大小又有方向．

師：這樣的量不能用一個數(shù)來表示，而我們從不同的對象中抽取出相同的特點(diǎn)時，我們就能夠抽象出新的數(shù)學(xué)對象.那么既有大小又有方向的量叫什么最合適呢？想想漢語的凝練，這些有方向的量可以稱為什么？

生：向量．

評析上述教學(xué)過程總共歷時4分鐘，做到了七條準(zhǔn)則中的第1,5,6,7條．從生活談起，抽象出“數(shù)”，從一般到特殊提出質(zhì)疑是否所有的對象都能用數(shù)表示，給“思維和推理搭腳手架”，再在問題串的設(shè)置下發(fā)現(xiàn)問題得到新的對象，這是建立任務(wù)在已有知識基礎(chǔ)上．教師只負(fù)責(zé)提問，問題內(nèi)容豐富涉及生活、歷史、數(shù)學(xué)文化等，且問題設(shè)置層層遞進(jìn)，水到渠成，通過教師的準(zhǔn)確引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立做到了對概念的高度概括和準(zhǔn)確表達(dá)，整個過程體現(xiàn)了學(xué)生高層次的思維水平．

1.2 概念探究——向量概念的外延和內(nèi)涵

師：中華文化源遠(yuǎn)流長是因?yàn)槲覀儌鞒辛宋淖?、有了表示，那么對于?shù)學(xué)的對象我們有沒有表示？

提出問題：如何在方格紙上表示從A到B的向量．

學(xué)生上黑板作圖,以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，畫帶箭頭的線段．

生1：兩點(diǎn)間的距離可以用絕對值．

師：很好！那么這個符號可以再借用一下嗎？(停頓約30秒，大部分學(xué)生點(diǎn)頭示意)借來以后怎么跟距離區(qū)別呢？

提出問題：向量能否比較大小，向量的模的取值范圍是多少？

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察不同方向不同大小的向量，學(xué)生熱烈討論，得出向量不能比較大小，向量的模的取值范圍是[0,+∞)．

提出問題：根據(jù)向量的模的取值范圍，我們把長度為0的向量稱為零向量，記為0，長度為1個單位長度的向量稱為單位向量．那么它們的方向有什么特點(diǎn)？

學(xué)生得出以A為起點(diǎn)的單位向量的終點(diǎn)在一個單位圓上，而學(xué)生對零向量的方向意見不一.教師歸納零向量的意義是起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，其方向是任意的．

師：非常好，那么從平面直角坐標(biāo)系來看，還可以描述為——

生3：向上4個單位，向右3個單位．

操作：教師請學(xué)生上黑板作圖，師生共同討論得到相等向量、共線向量(平行向量)、相反向量的概念及意義(表1)．

表1

評析在向量的概念探究部分，教師運(yùn)用到了七條準(zhǔn)則中除第4條外的六條．通過“搭腳手架”，為學(xué)生提供元認(rèn)知方法，使學(xué)生自然而然得到了向量的幾何表示，并沿用箭頭的記號獲得向量的符號表示；通過示范高水平的操作行為幫助學(xué)生定義向量的模的概念，并探究了模的特點(diǎn)．講解向量的方向時，教師總結(jié)了單獨(dú)的描述方法并引導(dǎo)學(xué)生概括出系統(tǒng)的描述方法，有了對大小和方向的充分理解后，將任務(wù)建立在已有知識的基礎(chǔ)上；通過上黑板作圖、師生討論，進(jìn)一步研究了相等向量、共線向量(平行向量)和相反向量，使學(xué)生在此過程中理解向量概念的外延和內(nèi)涵．

1.3 數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)——概念辨析及典型例題

·概念辨析

辨析1判斷下列說法是否正確：

(1)溫度是向量；(2)0是向量；(3)零向量的長度是零，方向可以是任意的；(4)|a|與|b|是否相等與a,b的方向無關(guān)．

辨析2判斷下列說法是否正確：

(1)若兩個向量模相等，則兩個向量相等；(2)模相等的兩個平行向量是相等向量；(3)若a=b，b=c，則a=c；(4)任意向量都與其相反向量不等．

辨析3判斷下列說法是否正確：

辨析4判斷下列說法是否正確：

(1)模為零的向量是零向量；(2)兩個向量不能比較大?。?3)向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；(4)有相同起點(diǎn)的兩個非零向量不平行．

·典型例題

例1已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖1中所標(biāo)出的向量中：

圖1 圖2

評析第一部分概念辨析中，教師以游戲的形式將班級分成四組，讓學(xué)生選擇題組回答，四組試題分別是對向量的概念、相等(相反)向量、共線向量和零向量的辨析．第二部分典型例題，教師請學(xué)生上黑板作圖,讓學(xué)生在向量的幾何表示中理解相等向量和共線向量．此環(huán)節(jié)運(yùn)用到了七條準(zhǔn)則中的第4,7條，教師在學(xué)生遇到困難時，不主動給出答案，而是運(yùn)用課堂已研究的問題，多次強(qiáng)調(diào)向量的基本概念，給予學(xué)生充分的思考時間，引導(dǎo)學(xué)生作出正確的回答．

表2

2 課堂分析

表2從橫向看，概念探究環(huán)節(jié)有6個高思維水平的教學(xué)方法，發(fā)現(xiàn)問題是4個，數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)是2個，即向量的外延和內(nèi)涵>向量概念的引出>向量概念的辨析．通過多個保持高思維水平的方法讓學(xué)生對向量概念的理解達(dá)到最大化，對向量概念的獲得自然流暢，最終在數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)部分收獲了良好的課堂效果．從縱向看，適當(dāng)?shù)奶剿鲿r間在各個環(huán)節(jié)中都有，而為學(xué)生提供元認(rèn)知方法,示范高水平的操作行為和維持對證明、解釋或意義的強(qiáng)調(diào)只出現(xiàn)了一次，這說明給學(xué)生留足時間是較有效且便捷的手段，而其余三種較高難度的教學(xué)方法是由教學(xué)內(nèi)容本身和教師的水平所決定的．

綜上，教師在三個環(huán)節(jié)中對七條準(zhǔn)則都有應(yīng)用，很好地保持了學(xué)生高層次的思維水平，并收獲了高效的課堂，堪稱典范．

3 思考與總結(jié)

概念教學(xué)應(yīng)該是過程教學(xué)，而不是平鋪直敘式的結(jié)論教學(xué)．在教學(xué)中教師可以使用問題串為載體，不要急于表白和自說自話，給學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會，用梯度設(shè)問推動學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，追求順理成章、水到渠成，努力揭示建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的思維過程和數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，鼓勵學(xué)生發(fā)表不同意見，在討論中再次探究，升華理解．這些措施符合七條準(zhǔn)則中的第1～4條，是教師高水平的示范也是學(xué)生高層次思維的保持．另外，在概念教學(xué)中可以多在已有概念間建立聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生提煉信息，抽象數(shù)學(xué)概念，給予學(xué)生充分的探索和思考時間，挖掘概念的內(nèi)涵與外延并通過一定的變式訓(xùn)練強(qiáng)化和鞏固概念．這些措施符合七條準(zhǔn)則中的第5～7條，是比較容易實(shí)現(xiàn)但又常被忽視的問題．

概念教學(xué)是中學(xué)課堂的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的主要途徑，筆者相信這些先進(jìn)的課堂研究成果必能在數(shù)學(xué)教學(xué)中為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更優(yōu)、更好的學(xué)習(xí)平臺．

編者按：本刊第1期刊出了蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心引入大數(shù)據(jù)和互聯(lián)網(wǎng)+技術(shù)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐，從本期開始，本刊將分三期刊出蘇州高新區(qū)教育發(fā)展中心與中科院地理所合作開發(fā)的初中數(shù)學(xué)“學(xué)科地圖”，以饗讀者．