鄧凱，王小剛，朱立軍

（1. 北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏 銀川 750021；2. 寧夏科學(xué)計算與智能信息處理協(xié)同創(chuàng)新中心，寧夏 銀川 750021）

高等代數(shù)是大學(xué)一年級數(shù)學(xué)類相關(guān)專業(yè)的一門學(xué)科基礎(chǔ)課，對學(xué)生后續(xù)的課程學(xué)習(xí)和專業(yè)發(fā)展有著重要影響．高等代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容主要包括多項式理論與線性代數(shù)2部分，其中多項式的研究起源于一元多項式的求根問題，是早期代數(shù)學(xué)研究的主要對象．北方民族大學(xué)選用的教材是北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的《高等代數(shù)》（第4版）[1]，考慮到多項式在線性代數(shù)部分有諸多應(yīng)用，教學(xué)計劃安排先學(xué)習(xí)多項式理論，主要包括一元多項式的定義與運算、帶余除法、因式分解理論、多項式函數(shù)與根等內(nèi)容．中學(xué)時期多項式的學(xué)習(xí)主要涉及二次方程的求根和二次函數(shù)的分析性質(zhì)等方面，學(xué)習(xí)內(nèi)容具體，注重解題技巧的訓(xùn)練．高等代數(shù)中多項式理論是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)提高和升華，注重討論一般性的結(jié)果，內(nèi)容抽象，不僅要求掌握具體的解題技巧，具備一定的運算能力，更重要的是培養(yǎng)邏輯推理能力、抽象分析能力和創(chuàng)新能力，學(xué)習(xí)難度大、要求高．教師對剛?cè)雽W(xué)的新生沒有全面了解，教學(xué)方式和方法不容易把握，加之一年級新生缺乏學(xué)習(xí)經(jīng)驗，導(dǎo)致教學(xué)過程中學(xué)生反映難學(xué)、教師反映難教．這些實際問題促使我們對多項式理論的教學(xué)進(jìn)行研討，以教學(xué)實踐為基礎(chǔ)，探索普遍適用的教學(xué)方式與方法，以期提高教學(xué)質(zhì)量，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)和專業(yè)發(fā)展夯實基礎(chǔ)．本文從培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)習(xí)慣，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效率，加強數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練和信息技術(shù)輔助教學(xué)等5個方面展開討論．

1 培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)習(xí)慣

高等代數(shù)課程的突出特點是理論知識多、內(nèi)容抽象，除了課堂學(xué)習(xí)之外，還需要花費課余時間完成學(xué)習(xí)任務(wù)，這就要求學(xué)生要自主學(xué)習(xí)．高等代數(shù)教材每個章節(jié)的內(nèi)容信息量大，章節(jié)之間聯(lián)系緊密，知識抽象，具有一定難度，初學(xué)者往往容易產(chǎn)生挫敗感，課程初期就會有部分學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，影響后續(xù)知識的學(xué)習(xí)．因此，課程一開始就要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會自學(xué)，盡快地了解學(xué)習(xí)內(nèi)容，掌握學(xué)習(xí)方法．閱讀教材是自學(xué)的基本環(huán)節(jié)[2]，可以此為抓手，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力．

以一般多項式的求根問題為主線，在課程伊始就結(jié)合教材對知識框架做一個完整的介紹，雖然一些概念和定義學(xué)生之前并不清楚，但是這樣做的主要目的是讓學(xué)生熟悉教材，了解要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，為閱讀教材打好基礎(chǔ)．在具體的學(xué)習(xí)實踐中，要求學(xué)生課前要預(yù)習(xí)，課中要提問，課后要總結(jié)，利用這種模式逐步地形成“學(xué)教材”到“用教材學(xué)”的轉(zhuǎn)變．高等代數(shù)知識高度抽象的特點，使得初學(xué)者難以在短時間內(nèi)理解和掌握所學(xué)知識，課前預(yù)習(xí)的目的是通過閱讀教材了解課程主要內(nèi)容，熟悉基本概念、定理和符號，記錄疑惑或問題，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備．根據(jù)實際教學(xué)情況，教師要制定預(yù)習(xí)提綱，為學(xué)生自學(xué)教材提供幫助和指導(dǎo)．如一開始就要求學(xué)生閱讀教材附錄二中關(guān)于整數(shù)的可除性理論的介紹，整數(shù)作為具體而熟悉的對象容易被學(xué)生掌握，為后面類比學(xué)習(xí)多項式環(huán)上的整除性理論做好了鋪墊，也使學(xué)生感受到了類比學(xué)習(xí)是一種有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法．鼓勵學(xué)生在課堂上隨時向教師提問，通過這種方式高效地解決問題，消除學(xué)生的疑惑，在課堂教學(xué)中起到以點帶面的作用，有利于形成良好的課堂氛圍，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性．課后要做好學(xué)習(xí)總結(jié)，總結(jié)不是教條地再看幾遍教材，而是要結(jié)合課堂學(xué)習(xí)成果，厘清概念和定理的來龍去脈，加深對相關(guān)內(nèi)容的理解，凝練知識，建立自己的認(rèn)知體系，養(yǎng)成主動學(xué)習(xí)的習(xí)慣．教師通過課堂表現(xiàn)、提問、小測驗、談話和學(xué)習(xí)小結(jié)等多種形式了解學(xué)生自學(xué)的情況，并將自學(xué)情況作為平時成績的觀測點，促進(jìn)學(xué)生自學(xué)習(xí)慣的養(yǎng)成．

2 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

興趣是對學(xué)習(xí)內(nèi)容的一種力求認(rèn)識的傾向，伴有積極的情感色彩，是學(xué)生獲得成功的關(guān)鍵[3]．如果說專業(yè)設(shè)置要求必修高等代數(shù)課程是學(xué)生學(xué)習(xí)的外因，那么興趣就是學(xué)習(xí)的內(nèi)因．教學(xué)實踐表明，許多一年級新生仍處于應(yīng)對考試的被動學(xué)習(xí)狀態(tài)，加之多項式的學(xué)習(xí)內(nèi)容抽象、計算繁冗，容易導(dǎo)致學(xué)生失去學(xué)習(xí)興趣．如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣一直是教學(xué)研究的熱點[4-5]，興趣的培養(yǎng)不是一蹴而就的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)是多個方面共同作用、動態(tài)發(fā)展的過程．

為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在教學(xué)實踐中應(yīng)注重以下幾點做法：（1）強調(diào)高等代數(shù)作為學(xué)科基礎(chǔ)課對后續(xù)學(xué)習(xí)及專業(yè)發(fā)展的重要影響，從客觀上要求學(xué)生重視高等代數(shù)的學(xué)習(xí)；（2）通過介紹學(xué)習(xí)經(jīng)驗和課程特點，指出自主學(xué)習(xí)是大學(xué)學(xué)習(xí)的有效方式，舉例說明高等代數(shù)是中學(xué)代數(shù)的拓展和抽象，有一定難度，需要經(jīng)過個人堅持不懈地努力才能理解和掌握，從主觀上促使學(xué)生端正學(xué)習(xí)態(tài)度；（3）教學(xué)實踐中教師要善于觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，及時做好思想教育工作，加強課堂管理，改善學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，自然就提升了學(xué)習(xí)興趣，在教學(xué)中往往會產(chǎn)生事半功倍的效果；（4）教學(xué)活動中要注意師生平等，教師應(yīng)該成為陪伴學(xué)生學(xué)習(xí)的朋友，通過對學(xué)生的關(guān)心和幫助建立融洽的師生關(guān)系，營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生積極的情感，有利于增強學(xué)習(xí)興趣；（5）通過做好新舊知識的銜接，闡述概念的來龍去脈，揭示概念、定理的本質(zhì)含義，穿插數(shù)學(xué)趣聞等方式吸引學(xué)生積極參與課堂教學(xué)；（6）通過舉例展示高等代數(shù)中特殊抽象為一般，再由一般解決特殊的實踐過程，讓學(xué)生感受到高等代數(shù)的抽象特征及其廣泛應(yīng)用，在升華認(rèn)知的同時激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；（7）在高等代數(shù)實驗課中利用數(shù)學(xué)軟件演示帶余除法、求解最大公因式和多項式近似求根等問題，增強課程的實踐性和趣味性．

3 提高教學(xué)效率

多項式理論部分內(nèi)容豐富、計算繁冗、抽象性高，優(yōu)化課堂教學(xué)是提升教學(xué)效率的有效途徑，學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備和教師的教學(xué)準(zhǔn)備是優(yōu)化課堂的2個重要方面．學(xué)生應(yīng)按照教師要求的預(yù)習(xí)提綱做好課堂學(xué)習(xí)準(zhǔn)備，并將這一過程納入到課業(yè)評價中以保證完成質(zhì)量．教學(xué)過程是一個動態(tài)發(fā)展的過程，教師的教學(xué)設(shè)計要靈活，要能夠結(jié)合課堂實際優(yōu)化教學(xué)．在最大公因式概念的教學(xué)中，在學(xué)生自學(xué)的基礎(chǔ)上可以先直接提問什么是2個多項式的最大公因式，借以了解學(xué)生是否已經(jīng)熟悉概念，再根據(jù)實際情況引出定義．如果一上課就直接在黑板上寫出定義，不但缺失了師生互動，而且給學(xué)生一種刻板的印象，導(dǎo)致學(xué)生沒有興致參與課堂教學(xué)．中學(xué)階段學(xué)習(xí)過因式的概念，一般來說學(xué)生都能夠自學(xué)掌握最大公因式的基本定義，教師要察覺到這種課堂動態(tài)，不必要再花費時間咬文嚼字地去解釋定義，需要強調(diào)的是“最大”依賴于整除關(guān)系，是一種偏序．2個次數(shù)不小于1的多項式的情形學(xué)生也容易理解，難點在于對有零多項式和零次多項式這2種退化情形的認(rèn)識．可以分別討論0與f(x)，a（a≠0）與f(x)的情形，以加深對最大公因式的理解，特別是有意識地例舉2個整數(shù)的情況．如多數(shù)學(xué)生知道16與24的最大公因式是8，這個答案是正確的，但卻是基于整數(shù)環(huán)上的理解，而多項式環(huán)上最大公因式的討論是基于數(shù)域上的討論，這是本質(zhì)的差異，弄清楚這一點就容易理解任意一個非零數(shù)都是16與24的最大公因式，而且首1最大公因式（16，24）=1，這說明16與24是互素的．這樣的實例顛覆了學(xué)生之前在整數(shù)環(huán)上的認(rèn)識，強烈的反差能使學(xué)生留下深刻的印象，加深了對概念的理解．這樣的教學(xué)設(shè)計避免了重復(fù)講解，抓住了關(guān)鍵，能夠吸引學(xué)生，提高教學(xué)效率．

4 加強數(shù)學(xué)思維方式訓(xùn)練

高等代數(shù)課程的基礎(chǔ)性也表現(xiàn)在它是訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維方式很好的載體，通過學(xué)習(xí)可以提升邏輯推理能力、抽象分析能力和創(chuàng)新能力等基本素質(zhì)，不僅對專業(yè)學(xué)習(xí)有幫助，而且對個人的發(fā)展十分有益．?dāng)?shù)學(xué)的思維方式是一個全過程：抓住客觀現(xiàn)象主要特征，抽象出概念；提出要研究的問題，運用舉例、直覺、歸納、類比、聯(lián)想和邏輯推理等進(jìn)行探索，猜測可能有的規(guī)律；經(jīng)過深入分析，只使用公理、定義和已經(jīng)證明了的結(jié)論進(jìn)行邏輯推理來嚴(yán)密論證，揭示出事物的內(nèi)在規(guī)律，從而使紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象變得井然有序[6]．從二次多項式和三次多項式抽象引出一般多項式的定義是常用的教學(xué)方法，但是要注意2個方面，一是多項式系數(shù)抽象到數(shù)域上討論，二是多項式是一種抽象的形式定義，包括運算也是如此．這樣學(xué)生不僅能體會到數(shù)學(xué)從具體到抽象的發(fā)展過程，而且從較高層次對中學(xué)的知識有了新的理解．由此學(xué)生自然也容易通過類比和聯(lián)想等方式將具體的問題推廣到一般情形，如一般多項式求根問題，基本的解決辦法是以帶余除法為基礎(chǔ)的代數(shù)方法和以余數(shù)定理為基礎(chǔ)的函數(shù)方法．教學(xué)過程中要用板書的形式嚴(yán)格證明帶余除法定理和余數(shù)定理，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，加深其對基礎(chǔ)知識的理解．在掌握了帶余除法定理和余數(shù)定理之后，繼而討論因式分解問題，通過分析、推理和論證揭示出復(fù)系數(shù)多項式和實系數(shù)多項式的標(biāo)準(zhǔn)分解形式．有理系數(shù)多項式作為具體情形，既與復(fù)系數(shù)和實系數(shù)多項式的處理方式有聯(lián)系，又因其不可約多項式的復(fù)雜性需要新的思考，教學(xué)中要抓住本原多項式這個關(guān)鍵[7]，建立有理系數(shù)多項式與整系數(shù)多項式之間的聯(lián)系，從而引出求根定理．

雖然多項式求根問題是一條教學(xué)主線，但是高等代數(shù)課程并沒有過多涉及多項式求根方法．教學(xué)中應(yīng)指出多項式求根的問題還遠(yuǎn)沒有解決，但是伽羅瓦徹底解決了一元n次方程是否可用根式求解的問題，由此創(chuàng)立了伽羅瓦理論，引領(lǐng)代數(shù)學(xué)由研究方程的根為中心轉(zhuǎn)變?yōu)橐匝芯扛鞣N代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射為中心，開辟了新的代數(shù)學(xué)科．這樣的說明有承前啟后的作用，既解決了學(xué)生的疑惑，又為后續(xù)的代數(shù)學(xué)習(xí)做了鋪墊．另外，習(xí)題課上要注重解題思路分析，引導(dǎo)學(xué)生使用公理、定義和已經(jīng)證明了的結(jié)論進(jìn)行邏輯推理來嚴(yán)密論證，最終揭示規(guī)律或答案，以此達(dá)到訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的目的．

5 利用信息技術(shù)輔助教學(xué)

現(xiàn)代教育信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教育的有機融合產(chǎn)生了“互聯(lián)網(wǎng)+數(shù)學(xué)教育”[8]，利用網(wǎng)絡(luò)和多媒體技術(shù)輔助高等代數(shù)教學(xué)也是大勢所趨[9-10]．多項式的內(nèi)容抽象，注重理論分析和邏輯推理，學(xué)習(xí)難度大，以講授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式在課時限制和大班教學(xué)的現(xiàn)實情況下不利于因材施教和拓展學(xué)習(xí)，應(yīng)該積極探索以網(wǎng)絡(luò)和多媒體技術(shù)為基礎(chǔ)的現(xiàn)代化教學(xué)手段輔助教學(xué)，加強個性化教學(xué)，提升學(xué)習(xí)層次．

多項式的定義與運算雖然教學(xué)內(nèi)容多，但難度不大．高等代數(shù)精品課共享資源、視頻公開課、慕課等豐富的網(wǎng)絡(luò)資源提供了優(yōu)質(zhì)的課程素材，教師通過QQ群等網(wǎng)絡(luò)交流平臺將整理好的學(xué)習(xí)資料發(fā)送給學(xué)生，以問題為導(dǎo)向，要求學(xué)生預(yù)先自學(xué)．課堂上利用翻轉(zhuǎn)課堂的形式分組討論，教師作為組織者和引導(dǎo)者，注意補充和糾錯，引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識多項式抽象的形式定義，理解變量符號的廣泛代表性，通過乘法結(jié)合律的證明反饋運算性質(zhì)的學(xué)習(xí)情況，特別是對連加符號的掌握情況．最后，指出多項式及其運算構(gòu)成了一個抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)多項式環(huán)，結(jié)合整數(shù)環(huán)和多項式環(huán)這2個具體實例，進(jìn)一步抽象提出環(huán)的概念，課后可以發(fā)布一些有關(guān)環(huán)的基礎(chǔ)代數(shù)知識供學(xué)生參考學(xué)習(xí)，既加深了學(xué)生對多項式環(huán)的理解又提升了其對抽象代數(shù)的認(rèn)識．還有一個自然的問題就是多項式環(huán)上為什么沒有定義除法，引發(fā)學(xué)生討論，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊．為了將教學(xué)環(huán)節(jié)有效地拓展到課外，學(xué)生參與網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)和討論的情況應(yīng)該納入到課程評價考核體系中，督促全體學(xué)生積極參與．教學(xué)實踐表明，這種以學(xué)生為主體的個性化學(xué)習(xí)方式確實有一定的效果，提高了教學(xué)效率．

理論性較強的部分不適合網(wǎng)絡(luò)自學(xué)，如帶余除法定理、最大公因式的存在性及組合表示、因式分解理論等．這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)通常需要通過板書一步一步地講解，引導(dǎo)學(xué)生同步進(jìn)入抽象分析和邏輯推導(dǎo)的情境，體會數(shù)學(xué)思維的全過程，最終形成自己的認(rèn)知和理解．但是這種教學(xué)模式也有局限性，為了提高課堂效率，教學(xué)設(shè)計常常是為了引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)后續(xù)的一些結(jié)果或者是一些正確的結(jié)論，學(xué)生在課堂上總是順利地獲得知識．這樣的過程實際上是回避了學(xué)習(xí)探索中的失敗體驗，是由教師主導(dǎo)的總是向著正確結(jié)果發(fā)展的學(xué)習(xí)過程，這對學(xué)生獨立解決問題十分不利．因此，經(jīng)常會出現(xiàn)學(xué)生課堂聽得懂，卻不會做習(xí)題，尤其是證明題，不會解決問題往往導(dǎo)致學(xué)生失去信心，從而喪失學(xué)習(xí)興趣．為解決此類教學(xué)問題，課后可以通過網(wǎng)絡(luò)發(fā)布一些與課程內(nèi)容緊密相關(guān)的問題，提供必要的參考資料，由學(xué)生通過自我探索解決問題．如帶余除法中商式和余式是唯一的，那么2個多項式的首1最大公因式的組合是否唯一問題；多項式的整除關(guān)系不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變，但是數(shù)域的變化卻影響因子分解，分析思考，提出哪些多項式的性質(zhì)是基于數(shù)域不變的．教材中沒有討論這些問題，限于課時課堂教學(xué)中往往也不涉及這些問題，可利用網(wǎng)絡(luò)引導(dǎo)學(xué)生討論，以課外實踐性作業(yè)的形式，由學(xué)生自己去探索答案．通過鉆研這些問題，不僅開闊了學(xué)生的視野，加深了對知識的理解，而且對培養(yǎng)科研創(chuàng)新能力十分有益，提升了學(xué)習(xí)層次．

6 結(jié)語

本文結(jié)合教學(xué)實踐，對高等代數(shù)課程中多項式理論的教學(xué)展開研討，探索有效的教學(xué)方式，提升教學(xué)質(zhì)量．從培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)習(xí)慣入手，采用多種方式激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，在此基礎(chǔ)上通過優(yōu)化教學(xué)設(shè)計提高教學(xué)效率，遵循數(shù)學(xué)學(xué)科一般規(guī)律，注重數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，利用信息技術(shù)加強個性化教學(xué)，提高學(xué)習(xí)層次．實踐表明，這種教學(xué)方式是有效的，在一定程度上提升了教學(xué)質(zhì)量，也可以推廣到其它基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中．