侯致武， 喬克林， 陳 婷

(1.延安大學(xué) 西安創(chuàng)新學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院， 陜西 西安 710100；2.延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 延安 716000)

國內(nèi)外學(xué)者不同程度地推廣了經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型。蔡高玉等[1]討論了隨機(jī)保費(fèi)的Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型，但沒考慮利率；文獻(xiàn)[2-3]研究了考慮利率但保費(fèi)為常數(shù)的單險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型;楊善兵等[4]研究了常利率下的兩險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型,但保費(fèi)及其收取時(shí)刻都是固定的。而現(xiàn)實(shí)中保費(fèi)率和保費(fèi)收取都不再是固定的，考慮到單險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型的局限性，喬克林等[5-6]建立了常利率下保費(fèi)及保費(fèi)收取時(shí)間隨機(jī)且可能發(fā)生兩類索賠的特殊雙重保險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)模型，討論了破產(chǎn)赤字和破產(chǎn)概率上界等；侯致武等[7]進(jìn)一步在各隨機(jī)變量和隨機(jī)過程為具體分布時(shí)，得到了該模型下破產(chǎn)前瞬間盈余的具體表達(dá)式和所滿足的積分方程。GERBER H U等[8-9]給出的破產(chǎn)前瞬時(shí)盈余與破產(chǎn)赤字的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)(即Gerber-Shiu函數(shù))是風(fēng)險(xiǎn)理論研究的熱點(diǎn)問題，利用它可以得到一些具體精算量；文獻(xiàn)[10-11]討論了常利率下保費(fèi)固定且保費(fèi)收取為時(shí)間的線性函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)時(shí)刻罰金折現(xiàn)期望；王貴紅等[12]對常利率下保費(fèi)收入不再是時(shí)間的線性函數(shù)的雙復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行研究，得到了期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的積分-微分方程。本文在此基礎(chǔ)上繼續(xù)研究文獻(xiàn)[7]中風(fēng)險(xiǎn)模型的另一精算指標(biāo)即Gerber-Shiu函數(shù)，由全期望公式和累進(jìn)均值法則得到了Gerber-Shiu函數(shù)所滿足的積分方程；在特殊情形下，利用Gerber-Shiu函數(shù)得到了該模型的破產(chǎn)概率、破產(chǎn)時(shí)赤字以及文獻(xiàn)[7]中的破產(chǎn)前瞬間盈余等精算量的積分方程。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 當(dāng)t≥0時(shí)，常利率下可能發(fā)生兩類索賠的特殊雙重險(xiǎn)種復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型[7]為

定義2 破產(chǎn)前瞬間盈余Uδ(T-)和破產(chǎn)時(shí)赤字|Uδ(T)|的Gerber-Shiu期望折現(xiàn)罰金函數(shù)為

ψδ(u)=E[e-kTw(Uδ(T-),|Uδ(T)|)I(T<+∞)|Uδ(0)=u]，

其中k≥0，T=inf(t≥0;Uδ(t)<0)(當(dāng)集合為空集時(shí)，T=+∞)為破產(chǎn)時(shí)刻，e-kT為折現(xiàn)因子；I(A)為示性函數(shù)(當(dāng)A發(fā)生時(shí)，I(A)=1，否則I(A)=0)；破產(chǎn)時(shí)的罰金函數(shù)w(x,y)非負(fù)有界。

引理1[13]設(shè){M(t),t≥0}是泊松過程，已知在[0,t]內(nèi)事件A發(fā)生m次，則其到達(dá)時(shí)間K1

引理2[13]設(shè){N(t),t≥0}是參數(shù)為λ2的泊松分布，{Yj,j≥1}是對應(yīng)的時(shí)間間隔序列，則Yj(j=1,2,…,n)是獨(dú)立同分布且均值為1/λ2的指數(shù)分布。

2 結(jié)果與證明

定理該模型下Gerber-Shiu函數(shù)ψδ(u)滿足的積分方程為

證明由全期望公式、引理1、引理2及連續(xù)場合的累進(jìn)均值法則得

ψδ(u)=E[e-kTw(Uδ(T-),|Uδ(T)|)I(T<+∞)|Uδ(0)=u]=

E{E[e-kTw(Uδ(T-),|Uδ(T)|)I(T<+∞)|Uδ(0)=u|Y1]}=

|U(1)=t1,…,U(m)=tm,Ci=x,D=z]αe-αxdH(z)dt1…dtmdxdt=

|Uδ(T)|)I(T<+∞)]e-αxdH(z)dt1…dtmdxdt=

證畢。

在特殊情形下，利用定理中的Gerber-Shiu函數(shù)，可以得到一些具體的精算指標(biāo)。

(1)若k=0，w(x,y)=1，則破產(chǎn)概率φδ(u)滿足的積分方程為

φδ(u)=P[I(T<+∞)|Uδ(0)=u]=

(2)若w(x,y)=1，則破產(chǎn)時(shí)的Laplace變換φδ(u)滿足的積分方程為

φδ(u)=E[e-αTI(T<+∞)|Uδ(0)=u]=

(3)若k=0，w(x,y)=I(y≤v)，則破產(chǎn)時(shí)赤字φδ(u,v)滿足的積分方程為

φδ(u,v)=P[|Uδ(T)|≤v,T<+∞|Uδ(0)=u)=

(4)若k=0，w(x,y)=I(x≤v)，則破產(chǎn)前瞬間盈余φδ(u,v)滿足的積分方程為

φδ(u,v)=P(Uδ(T-)≤v,T<+∞|Uδ(0)=u)=

(5)若k=0，w(x,y)=I(x≤w)I(y≤v)，則破產(chǎn)前瞬間盈余和破產(chǎn)時(shí)赤字的聯(lián)合分布φδ(u,w,v)滿足的積分方程為

φδ(u,w,v)=P(Uδ(T-)≤w,|Uδ(T)|≤v,T<+∞|Uδ(0)=u)=

3 結(jié) 論

本文在特殊情形下，由Gerber-Shiu函數(shù)得出了文獻(xiàn)[7]中的破產(chǎn)前瞬間盈余所滿足的積分方程，以及一些描述保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)的常用精算指標(biāo)?？梢?，利用期望折現(xiàn)罰金函數(shù)得到風(fēng)險(xiǎn)模型精算量的方法較一般方法更為便捷。因此，Gerber-Shiu期望折現(xiàn)罰金函數(shù)在風(fēng)險(xiǎn)理論的研究中占有重要優(yōu)勢。