蘇曉海

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

長期以來，圖論的研究中關(guān)于分子拓?fù)渲笜?biāo)研究始終是一個熱點問題[1-5]。圖的邊平均Wiener指標(biāo)就是一個重要的分子拓?fù)渲笜?biāo)。圖的邊平均Wiener指標(biāo)在計算機(jī)系統(tǒng)、物理學(xué)領(lǐng)域、信息系統(tǒng)、交通系統(tǒng)等方面都有比較廣泛的應(yīng)用。它與化學(xué)分子的許多物理性質(zhì)和化學(xué)性質(zhì)密切相關(guān)，比如分子的熔點、沸點等。近些年來圖的邊平均Wiener指標(biāo)引起了許多研究者的注意，人們對它進(jìn)行了廣泛深入的研究，且得到了一些較好的重要結(jié)果[5-9]。

本文涉及的圖都是無向的簡單連通圖。用V(G)和E(G)分別表示圖G的頂點集和邊集，|V(G)|表示圖G的頂點數(shù)(階數(shù))，|E(G)|表示圖G的邊數(shù)。對于一個圖G，把|E(G)|-|V(G)|+1稱為圖G的圈數(shù)，記為λ=|E(G)|-|V(G)|+1。當(dāng)λ=1時圖G稱為單圈圖。圖G中度為1的頂點稱為懸掛點，與懸掛點關(guān)聯(lián)的邊稱為懸掛邊。n階樹如果只有兩個懸掛點則稱為路；n階樹如果有n-1條懸掛邊則稱為星，其中所有懸掛邊的公共頂點稱為星的中心。設(shè)u和v是圖G的任意兩個頂點，把連接u和v的最短路的邊的數(shù)目稱為這兩個頂點u和v之間的距離，記為d(u,v)。圖G中所有無序頂點對的距離的總和稱為圖G的Wiener指標(biāo)，即

設(shè)f=uv、g=xy是圖G的兩條邊，把邊f(xié)和g的四對不同頂點對u與x、u與y、v與x、v與y之間的距離之和的1/4稱為邊f(xié)和g的平均距離，記作D′(f，g)，即

(a) C3(Sn-3,1) (b) Sn-3,1 圖1 C3(Sn-3,1)和Sn-3,1

本文研究單圈圖的具有第三小邊平均Wiener指標(biāo)的圖的特征，并給出第三小邊平均Wiener指標(biāo)的計算公式。為此先介紹下面的幾個引理。

1 引 理

其中|Si|=|Ti|=|Pi|，且Si、Ti、Pi的根均為ui，i=1,2,…,k。

2 主要結(jié)果

證明(ⅰ) 按定義直接計算得到

從而

所以

分兩種情形來證明。

所以

所以

情形二當(dāng)k≥1時，由引理1和引理2可知，

由于n>8，m=3，故k取值只可能是1、2或3。

按定義直接計算，得

因為

所以

圖和

綜上討論，可得，當(dāng)n>8時，

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)G?C3(Sn-3,1)。所以當(dāng)n>8時具有第三小邊平均Wiener指標(biāo)的單圈圖是C3(Sn-3,1)。定理得證。

3 結(jié) 論