福建福州大學 張國平

在an+bn=cn中，當n＞2 時，若等式成立，則a，b，c，n不能同時為正整數(shù)。

證明：假設an+bn=cn中，當n＞2 時，若a，b，c，n同時為正整數(shù)時等式成立。

那么，在a+b=c中（a，b，c同時為正整數(shù)是成立的），由于當a，b為正整數(shù)時，總能夠找到一個正整數(shù)c使得等式成立。

在a+b=c中，規(guī)定a≤b＜c，

則 在 等 式 中， 假 設a÷a=[a，0]；b÷a=[a，k1](0 ≤k1＜a)；c÷a=[a，k2](0 ≤k2＜a)(k1，k2為整數(shù))（平余式運算知識），

等式可轉化為：[a，0]+[a，k1]=[a，k2]或[a，0]+[a，k1]=[a，k2-a]，

得：[a，0]=[a，k2-k1]或[a，0]=[a，k2-a-k1]，

即k1=k2或a+k1=k2(與0 ≤k2＜a矛盾，舍去)，也就是說，b和c關于a同余。

同理，在an+bn=cn（a≤b＜c）中，若a，b，c，n同時為正整數(shù)時等式是成立的，也就表示bn和cn關于a同余。

假設：an÷a=[a，0]n=[a，0]；

所以[a，0]+[a，k1n]=[a，k2n]或[a，0]+[a，k1n]=[a，(k2-a)n]，

即：k2n-k1n=0 或k1n=(k2-a)n。

（1）當n為奇數(shù)時，即n=2N+1，

當k1=k2時，b=[a，k1]=ax+k1；c=[a，k2]=a(x+t)+k2(x∈Z+)。

由于c＞b，故c最接近b的數(shù)為a(x+1)+k1（t=1 時）。

由k1=k2得：an+（ax+k1）n=[a(x+t)+k1]n（1 ≤t），

由于1 ≤t，故而[(ax+k1)+at]n=(ax+k1)n(at)0+n·(ax+k1)n-1·(at)1+…+(ax+k1)n-n(at)n中，要大于左式an+（ax+k1）n，即an+（ax+k1）n=[a(x+t)+k2]n等式不成立，所以bn和cn不能與a同余，故假設不成立。

即當n=2N+1 時，an+bn=cn(n＞2)中，若等式成立，則a，b，c，n不能同時為正整數(shù)。

（2）當n為偶數(shù)時，即n=2N（1 ≦N），

則k12N=k22Nk1=k2(同上面證不成立)，或k12N=(k2-a)2N，

所以，只有k12N= (k2-a)2N。

假若令N=1，n=2N=2，得k12= (k2-a)2k1=±(k2-a)，

即k1=k2-a＜0（舍去），或k1=-(k2-a)k1+k2=a。

且a2+b2=c2，所以[a，0]+[a，k12]=[a，k22]（k1≠k2） [a，0]=[a，k22-k12]，得k22-k12=a·n(表示a的整數(shù)倍)。

得：（k1+k2）（k2-k1）=an，由于k1+k2=a，所以k2-k1=n＜a，

得：k1=（a-n）÷2；k2=（a+n）÷2。

由a2+b2=c2a2+[(a-n)÷2+a·N]2=[(a+n)÷2+a·N]2a2=(a+2aN)·na=(1+2N)·n。

假設a為奇素數(shù)（其他奇數(shù)都可由奇素數(shù)合成）（a＞1），

所以得n=1，a=1+2NN=(a-1)÷2，k1=(a-1)÷2，k2=(a+1)÷2，

代入得：a2+[(a-1)÷2+a·(a-1)÷2]2=[(a-1)÷2+a·(a-1)÷2]2，

整理得：a2+[(a2-1)÷2]2=[(a2+1)÷2]2（a＞1，a為奇素數(shù)）。

由于奇數(shù)可由奇素數(shù)合成，故若奇素數(shù)可用時，奇數(shù)也同樣可用。故稱a2+[(a2-1)÷2]2=[(a2+1)÷2]2（a＞1，a為奇數(shù)）為奇數(shù)公式。

現(xiàn)令b=2a(由于a是奇數(shù)，故b為偶數(shù)，且a＞1，則b＞2)，

把a=b÷2 代 入 奇 數(shù) 公 式 得：(b÷2)2+[((b÷2)2-1)÷2]2=[((b÷2)2+1)÷2]2（b＞2），

整理得：b2+(b2÷4-1)2=(b2÷4+1)2（b＞2）稱為偶數(shù)公式。

綜上所述：當n=2 時，a2+b2=c2（a≤b＜c），其所有組解必可由奇偶公式求得。

a2+b2=c2（a≤b＜c，a，b，c同時為正整數(shù)），

奇數(shù)公式：a2+[(a2-1)÷2]2=[(a2+1)÷2]2（a＞1），

偶數(shù)公式：b2+(b2÷4-1)2=(b2÷4+1)2（b＞2）。

在奇數(shù)公式中：c-b=(a2+1)÷2-(a2-1)÷2=1；

在偶數(shù)公式中：c-b=b2÷4+1-(b2÷4-1)=2。

也就是說，在a2+b2=c2中，無論是奇數(shù)組解還是偶數(shù)組解，其不可約解的c與b的差值不大于2，即c-b≤2。

現(xiàn)假設：a2n+b2n=c2n中，n＞1 時，(an)2+(bn)2=(cn)2是有正整數(shù)組解的，那么，不論其是奇數(shù)組解還是偶數(shù)組解，其不可約解都將滿足在a2+b2=c2中，c-b≤2（n＞1，a，b，c同為正整數(shù)）。

即：cn-bn≤2（n＞1，b＜c；b，c同為正整數(shù)）。

現(xiàn)令n=2，則c2-b2=(c+b)(c-b)≤2，由于b＜c且是正整數(shù)，故1 ≤c-b；c+b＞2，得(c+b)(c-b)大于2，與c2-b2≤2 矛盾。

當n＞2 時，cn-bn=cn-2·c2-bn-2·b2=(cn-2÷bn-2)·c2-b2＞c2-b2＞2。

綜上所述，cn-bn＞2 與cn-bn≤2 矛盾，故假設不成立。

所以，a2n+b2n=c2n（a≤b＜c，2 ≤n）中，a，b，c，n同時為正整數(shù)時等式不成立。

綜合上述知，在an+bn=cn（a≤b＜c，n＞2）中，若等式成立，則a，b，c，n不能同時為正整數(shù)。（證畢）