周振芳

摘要：數(shù)學教學中，若能選擇一些比較“特別”（非普通）的例子，或者通過夸大、變形等方式使一般的例子發(fā)生變化，則有利于突出相關學習內容的細節(jié)特征，幫助學生走到數(shù)學知識的本質之處、數(shù)學學習的更深更廣之處。以“認識長方體”“比較分數(shù)大小”“加法交換律”“認識乘法”“折線統(tǒng)計圖”“認識平均數(shù)”等的教學為例來說明。

關鍵詞：特例小學數(shù)學由特殊到一般

數(shù)學教學中，教師常常要通過一些例子幫助學生理解某些概念、原理和規(guī)律。但是，“普通”的例子只能一般化地說明問題，有時固化了的標準化的例子甚至還有可能使學生走入理解的誤區(qū)或形成理解的盲區(qū)。若能選擇一些比較“特別”的例子，或者通過夸大、變形等方式使一般的例子發(fā)生變化，則有利于突出相關學習內容的細節(jié)特征，幫助學生走到數(shù)學知識的本質之處、數(shù)學學習的更深更廣之處。而且，這樣的“特例”教學常常帶有游戲般的趣味性。下面試通過具體教學案例來說明。

一、“認識長方體”的教學：“玩雜技”的長方體

“認識長方體”的教學中，教師通常要畫一個長方體給學生看，還要讓學生動手畫一畫，從而幫助學生認識長方體的各個面、各條棱，以及面與面、棱與棱之間的關系。這時，所畫的長方體通常是這樣的：一個面朝前（向人），一個面朝上，一個面朝右，而且朝上（及朝下）的那個面比較大，看上去比較穩(wěn)當。無疑，利用這個長方體，可以引導學生認識長方體的各個面、各條棱，以及面與面、棱與棱之間的關系。但是，長方體只能是這個“標準”的樣子嗎？

一位教師在畫“標準形”的基礎上，讓學生畫一些特殊的長方體：讓“標準”的長方體翻轉90°，以一個側面作為底面;讓“標準”的長方體旋轉一定的角度;以一條棱作為支撐，讓“標準”的長方體“立”起來……種種變化了的位置增加了作圖的難度。學生頭腦中反復出現(xiàn)“對面兩兩相等”的作圖要求，還要結合繪畫方面的透視規(guī)律，爭取把長方體畫得“像”一點。在動手操作的過程中，強化了“六個面對面兩兩相等”的特征，理解了長方體的構造。

然后，教師加大難度：“以一個角作為支撐，讓‘標準的長方體‘立起來?！边@不是在“玩雜技”嗎！如何畫呢？一位學生說：“其實不用畫，把紙轉過來看就行了?！逼渌麑W生贊同?？墒牵鸭堔D過來后，怎么看也不像在“玩雜技”。是眼睛騙了自己，還是這個方法有問題？教師取出一塊長方體木塊，用釘子將其一個角固定在桌面上，說：“還是相信我們的眼睛，老老實實地把看到的長方體畫下來吧?！睂W生眼中看著，手上畫著，腦子里想著，然后交流和討論，有的還爭論著：“這像什么呢？”“你畫得不像?。　薄霸趺床幌衲?？應該這么看！”……這些有別于“標準形”的各種其他樣子，有助于學生全面、深入地認識長方體，把握長方體的特征和構造。

最后，教師畫了一個方框，問：“這是什么？”一位學生說：“是長方形。”另一位學生說：“是長方體。”又一位學生說：“可能是長方形，也可能是長方體?！睂W生的思路漸漸開闊，他們對長方體的認識不再限于眼前可見的范圍，而能神游于三維空間中全面、深入地觀察。這種空間想象能力正是數(shù)學教學需要著力培養(yǎng)的。

二、“比較分數(shù)大小”的教學：“大數(shù)據(jù)”的魅力

“比較分數(shù)大小”的教學后，學生學到了不少方法：分母相同時，分子大的就大;分子相同時，分母大的就小;分子、分母不同時，可以轉化成分子或分母相同;取一個中間數(shù)，分別與之相比，再確定大小……

正當大家沾沾自喜，利用學到的方法應對所有的題目時，教師給出一個有點特別的題目：分母為12345678910、分子為10987654321，比較這個分數(shù)與1013的大小。學生平時幾乎沒有見過這樣分子、分母數(shù)字特別多的分數(shù)，這時就像看到外星人一樣興奮起來?！靶?shù)據(jù)”比較大小相對容易，有的一眼就可以“看”出來，而不必通過計算。這樣的“大數(shù)據(jù)”如何去比？眼尖的學生還是有了發(fā)現(xiàn)：1013的分母、分子末位后添“0”至與“大數(shù)據(jù)”分母、分子數(shù)位相同，相比于“大數(shù)據(jù)”，分母擴大了一點，分子縮小了一點，所以分數(shù)縮小了一點。

教師再出一題：第一個分數(shù)的分母為672873643345、分子為29384769862，第二個分數(shù)的分母為683837264737、分子為2989283746。也是“大數(shù)據(jù)”，而且后一個分數(shù)比前一個分數(shù)看上去分母、分子都大了一點，如何去比呢？有學生細細一數(shù)，就發(fā)現(xiàn)問題了：后一個分數(shù)比前一個分數(shù)分子少了一位，這就不是一點點的差別了，結論是后者比前者小。

教師又出了一題：第一個分數(shù)的分母為82736463、分子為42839483，第二個分數(shù)的分母為48574636938、分子為23483736253。還是“大數(shù)據(jù)”，而且兩個分數(shù)分母、分子位數(shù)都不相同，這帶來了比較上的困難。有學生提議用計算器算一下，馬上遭到否定：老師不可能出這種“笨”題目。經(jīng)過觀察思考，果然有“聰明”的辦法：找中間數(shù)12，前者比它大，后者比它小，所以前者比后者大。這里不只是在比較，而且有“推理”的思想。

……

因為數(shù)字大，所以有很大的出題空間。最后，教師讓學生自己出一些類似的題目，同桌互相考一考，并且回去考一考爸爸媽媽。學生來勁了，出了不少題目：3928740001與3298744444、3300330087654321與4400440081234567、555555666666與555554666665……學生互相考了起來，還延伸到課外，像游戲一樣玩了起來。這些題目，有的藏著一定的技巧，有的則純粹是數(shù)字大。但是，無論是出題，還是解答題目，都需要綜合各種能力，全面運用分數(shù)及分數(shù)大小比較的各種知識。這樣的教學可以說是分數(shù)大小比較很好的“綜合與實踐”活動了。

三、“加法交換律”的教學：神秘的“布袋”

“加法交換律”的教學中，對于“5+6”與“6+5”的結果是一樣的，教師通常這樣解釋：先數(shù)5再數(shù)6與先數(shù)6再數(shù)5，結果是一樣的;無論哪個數(shù)在前，把另一個數(shù)接上去，并起來，總數(shù)都是11。這樣一講，學生通常也能明白“5+6”與“6+5”是一回事的道理。那除了“說”給學生聽，還有其他方法嗎？

一位教師用“布袋”代替算式，跟學生玩了起來。在一個小布袋里放5顆玻璃球，在另一個小布袋里放6顆玻璃球，再把兩個小布袋放進一個大布袋，問道：“里面有幾顆球？”學生回答：“11顆?！卑巡即瓌訋紫?，問道：“現(xiàn)在里面有幾顆球？”學生回答：“11顆?！痹俜瓌右幌?，問道：“現(xiàn)在呢？”“還是11顆?！庇謩恿艘粍樱骸艾F(xiàn)在5顆在前面??！”“11顆?！崩^續(xù)動了一動：“現(xiàn)在6在前面啊！”“11顆。”……“為什么一直是11顆呢？”學生笑了：“怎么可能不是11顆！又沒有哪一顆跑出布袋?！苯處熣f道：“對！不管我如何翻來動去，不管5與6處于哪個位置，它們合在一起的結果是不變的。這就是加法交換律?！边@里，教師用“布袋”這個特殊事物代替算式，在不斷翻動的過程中，強化學生的認知：兩數(shù)相加，不管位置誰先誰后，總數(shù)永遠不變。

事情還沒有結束，教師又往大布袋里塞進幾個小布袋（各個小布袋里的玻璃球數(shù)分別為2、7、8、10）后問道：“現(xiàn)在里面一共有幾顆球？”學生回答：“38?！苯處煛肮始贾厥保粩嗟胤瓌硬即?，讓6個“數(shù)”的位置不斷變化，邊翻邊問學生里面有幾顆球。學生成了“問不倒”：“這6個數(shù)隨便怎么排序，總數(shù)38不變。”在這樣的活動中，學生理解了加法交換律的本質：只要是加法運算，無論幾個數(shù)相加，不管數(shù)的位置誰先誰后，總數(shù)不變。而且，學生對加法的認識沒有停留于兩數(shù)合并，而是提升到整體與部分的關系——加數(shù)就是部分，和就是整體。以后遇到加法交換律，學生的眼前就會出現(xiàn)老師翻動布袋的形象。這一形象無疑是美好的，會伴隨學生很長時間，甚至是一生。

四、“認識乘法”的教學：“紙”的邊界

“認識乘法”的教學中，教師給每一位學生發(fā)一張邊長為4厘米的正方形紙。

課上，教師課件出示3串葡萄，每串有6顆，讓學生把加法算式寫在預先發(fā)的正方形紙上。這難不倒學生，學生一會兒就列出了算式6+6+6，有的還算出了結果18。

接著，教師課件出示的葡萄不再是幾串，而是一片。學生1、2、3、4……數(shù)了起來，發(fā)現(xiàn)一共有48串。教師讓學生還把加法算式寫在剛才那張正方形紙上。學生普遍感到有困難，覺得這小小的紙寫不下那長長的算式。教師說道：“能寫多少就寫多少，看誰寫得最多。”學生開始寫加法算式，盡量寫得小一些，以便能多寫幾個數(shù)字，但是，誰也無法把48個6全部寫出來。

學生書寫完畢，教師說道：“這48串還不算多呢！如果是480串、4800串、48000串，那要多大的紙才能寫下相應的加法算式？而且，紙再大也是有邊界的，加法算式則可能沒有邊界。不過，是否可以讓加法算式做一下改變呢？”學生稍加思考，教師切入正題：“今天我們來解決這‘寫不下的問題。”板書“乘法”，接著說道：“上述48個6相加，可以寫成6×48?！睂W生明白了：6×48表示48個6相加。同時，切身感受到乘法的優(yōu)越性。

這里，教師通過48個6相加這個“特別長”的加法算式，帶來了“寫不下”的問題，引發(fā)了學生的困惑，讓學生在“解決問題”的過程中認識到：乘法原來是在加法的基礎上產(chǎn)生的，是因為需要而產(chǎn)生的。

之后，教師進一步引發(fā)學生下一階段學習的期待：“乘法不僅能解決加法‘寫不下的問題，還能解決加法算起來的麻煩呢！”

五、“折線統(tǒng)計圖”的教學：無限風景在“線”中

“折線統(tǒng)計圖”的教學中，教師課件出示當?shù)貧鉁氐恼劬€統(tǒng)計圖，其中橫軸表示一年12個月，縱軸表示每個月的平均氣溫，但圖線是處于縱軸零刻度附近沒有高低變化的“直線”。這讓學生十分疑惑，因為這與他們的生活經(jīng)驗明顯不符。

這到底是怎么回事呢？教師揭秘：“是刻度單位搗的鬼?？v軸上每一格（1厘米）為1000度，一年中每月平均氣溫最低與最高約50度的溫差，在1000度的刻度單位中就顯得比較小了。如何之‘小呢？同學們可以算一算50度占1000度的多少?！薄?01000相當于5100?！薄?000度相當于1厘米，那么50度相當于0.05厘米，即0.5毫米?！薄半y怪看上去是一根‘直線了?！?/p>

“其實，這根‘直線里包含著上下50度的氣溫變化，只是刻度單位太大，導致50度的氣溫變化無法‘曲折地表示出來?！爆F(xiàn)代信息技術給教學幫了大忙，教師每點一下鼠標，縱軸的刻度單位就減少50度，學生看到“直線”慢慢變成折線，折線起伏變化越來越大?？v軸的刻度單位減少到50度后，教師繼續(xù)點擊鼠標，縱軸的刻度單位在1度1度地變小，學生看到折線起伏變化慢慢大到有些夸張的程度，似乎超出了自己的生活經(jīng)驗。于是，教師又點擊鼠標，縱軸的刻度單位開始1度1度地變大，直到學生覺得折線的起伏變化看起來比較舒服了。

這是一根特殊的“線”，里面藏著無窮的奧秘;在縮小和放大的變化中，學生感受到折線統(tǒng)計圖的魅力，享受到數(shù)學學習的樂趣。這是一張“活”的折線統(tǒng)計圖，學生可以微觀地看它，也可以宏觀地看它，還可以看到它由“小”到“大”、由“大”到“小”的種種變化，從中認識到：折線統(tǒng)計圖是服務于人的，人們可以根據(jù)觀察、研究、生產(chǎn)、生活的需要，對其“曲折度”做適宜（審美）的調整;數(shù)學來自生活，用于生活，又具有不同于生活的抽象性，正因為抽象，才更為自由，才可以“走得更遠”。

六、“認識平均數(shù)”的教學：一碗糖和一滴水

“認識平均數(shù)”的教學中，有學生總是搞不懂“一班的平均分是80，二班的平均分是84，為什么兩班的總平均分不是82”。

教師不講“什么是平均數(shù)”“平均數(shù)怎么求”等抽象的知識，而是做了一個夸張的假設：“一班1人，二班100人。想一想：這101人的平均分會是82嗎？大概是多少？為什么？”這一“特例”帶來的環(huán)環(huán)相扣的“三問”把學生的思維引向了深處：“顯然不是82，而是非常靠近84的一個數(shù)。因為100人把1人的分數(shù)拉上去了。其求法是（80×1+84×100）÷101，而不是（80+84）÷2?！?/p>

為了鞏固提升學生的理解，教師又舉了一個生活化的例子：“在一碗甜度是100的糖水里加一滴甜度為0的水，甜度改變了多少？”學生憑借生活經(jīng)驗知道，一滴水對一碗糖水的影響是微乎其微的，合起來的甜度幾乎還是100。這與前一例的原理一樣的，或者說是前一例的“糖水版”。教師又問：“如何使甜度變?yōu)?0？”由結論反推條件，常常會使一些問題看得更加清楚、明白。這時，問題已經(jīng)難不倒學生了，他們認為：加同樣的一碗水，平均甜度除以2，就變?yōu)?0了。

教師繼續(xù)往前回溯：“一班的平均分是80，二班的平均分是84，在什么情況下，兩個班的平均分是82呢？”同樣的道理，答案是“兩個班人數(shù)相等”。這樣，學生在條件與結論之間不斷來回，對平均數(shù)的“理論”不再感到疑惑。