◇ 山東 郝云靜

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一,不等式具有變通靈活、應(yīng)用廣泛、知識綜合等特點,它可以滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)很多章節(jié)的內(nèi)容中,又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和重要工具,所以它一直是各級各類考試中考查的重點和熱點.下面就結(jié)合實例剖析利用不等式知識來處理的幾類常見的函數(shù)問題.

1 求解函數(shù)的定義域與值域

在求解函數(shù)的定義域與值域時,往往需結(jié)合函數(shù)中相應(yīng)式子所滿足的條件,建立對應(yīng)的不等式(組)來分析與求解.

分析定義域的實質(zhì)是使函數(shù)有意義的x 的取值范圍,而求值域要在定義域的前提下考慮函數(shù)式的取值情況.

解要使函數(shù)有意義,則5＋4x－x2≥0,即(x＋1)(x－5)≤0,解得－1≤x≤5,故函數(shù)的定義域為[－1,5].

2 求解函數(shù)的最值問題

函數(shù)的最值是函數(shù)在定義域內(nèi)對應(yīng)的函數(shù)值中的最大值和最小值.在求解函數(shù)的最值問題時,往往通過基本不等式來達到求解最值的目的.

分析從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來看,它與基本不等式結(jié)構(gòu)相差太大,直接利用基本不等式求最值不易求得答案.事實上,我們可以把分母視作一個整體,用它來表示分子,原式即可展開.

解令t＝x2＋1,則t≥1,且x2＝t－1,因為而t≥1,所以,當(dāng)且僅當(dāng)t＝, 即t＝1時,等號成立.

綜上,當(dāng)x＝0時,函數(shù)取得最小值3.

3 求解函數(shù)的參數(shù)范圍

在求解函數(shù)的參數(shù)范圍時,往往根據(jù)題目條件,通過函數(shù)的根與系數(shù)的關(guān)系、判別式等建立相應(yīng)的不等式(組)來求解相應(yīng)的參數(shù)問題.

分析題中沒有說明給定函數(shù)為二次函數(shù),故應(yīng)分別討論函數(shù)為“一次函數(shù)”或“二次函數(shù)”這兩種情況,再根據(jù)函數(shù)與不等式、方程的關(guān)系等,求解不等式(組).

解當(dāng)k2＋4k－5＝0時,解得k＝－5或1,若k＝－5,則y＝24x＋3,對任意實數(shù)x,函數(shù)值不恒大于0；若k＝1,則y＝3,對任意實數(shù)x,函數(shù)值恒大于0.

當(dāng)k2＋4k－5≠0時,由于y＝(k2＋4k－5)x2＋4(1－k)x＋3對于任意的實數(shù)x 函數(shù)值恒大于0,則有即

解得1＜k＜19.

綜上,實數(shù)k 的取值范圍為[1,19).