石廣豐 霍明杰 王子濤

(長春理工大學 機電工程學院，吉林 長春 130022)

隨著社會工業(yè)的發(fā)展，廣為應用的光學變焦系統(tǒng)對高性能變焦透鏡的需求越來越大，液體變焦透鏡[1]可以很好地彌補傳統(tǒng)變焦系統(tǒng)的不足完成其難以實現的功能，它通過改變液體表面曲率、液體折射率、介質上電潤濕液體接觸角達到改變焦距的目的。其中,利用聲場激發(fā)液滴振動改變液滴表面曲率的方式,成為提高液體透鏡拍攝速度最具有前景的方法之一[2]。因此，研究液滴的共振頻率和共振振型具有至關重要的工程應用意義。然而，目前國內外對于流體模態(tài)分析的有限元仿真方法尚不成熟，對于流體模態(tài)分析仿真，大都采用將流體近似等效為彈性體的方法[3- 4]。這種傳統(tǒng)方法會導致以下問題：①液體本身沒有泊松比和彈性模量，強制賦予液體實驗的近似參數，由于液體工況環(huán)境的復雜性，材料參數的時變性，材料參數的近似會引起結果的巨大偏差；②將液體處理為彈性體，忽略了液體的表面張力，但表面張力在流體動態(tài)特性分析中起著至關重要的作用。

為此，文中利用有限元仿真分析軟件建立固著液滴的有限元模型，對固著液滴進行三維特性分析，通過固著液滴的模態(tài)分析得到其固有頻率及其對應的固有振型；最后對仿真模態(tài)下的特征振型與試驗特征模型圖[5]、固有頻率和質心最大改變量理論值與仿真值進行分析比較，以驗證本建模分析方法的準確性。

1 固著液滴理論建模方法

Rayleigh[6]在1879年推導出無束縛、無黏液滴在微小振幅振動時的固有頻率和振型，之后Lamb[7]推導出黏性自由液滴的振蕩模態(tài)。Trinh等[8]利用不混溶液滴實驗證明了Rayleigh的預測，Anilkumar等[9]在微重力下利用自由液滴證明了Rayleigh預測。Rayleigh對于自由振蕩液滴的預測，對不完全自由振蕩液滴的理論計算也具有極大的指導意義，如懸浮液滴、混溶液滴或者附著在固體上的液滴[10- 13]。Strani等[14]推導出一個描述固著液滴共振頻率的理論模型，并利用矩陣定義了接觸角的本征值。

在毫米級的液滴中，早期的理論研究主要考慮了表面張力和慣性力的影響，而忽略了流體黏性的影響?；赗ayleigh特征自由振蕩球形液滴的固有頻率為

(1)

式中，σ為表面張力，R為未變形球形液滴的半徑，ρ為液滴密度，n為階數(n=0,1,2,…)。

根據文獻[15]得到固著液滴的動態(tài)特征方程為

(2)

(3)

μ=h/Ref

(4)

式中，p0為液面處壓力，ρe為液滴表面外流體密度，ρi為液滴表面內液滴密度，Pk為勒讓德多項式，h為固著液滴的球冠高度，Ref為固著液滴與基面接觸的圓面的有效半徑。

由于解析求解過程復雜，不能準確、全面地反映求解結果，因此文中采用有限元建模仿真的方法研究固著液滴的動態(tài)特性問題。

2 有限元模態(tài)分析

2.1 固著液滴的有限元模型

固著液滴模型初始狀態(tài)的球冠為曲率較大的自由曲面，為了保證模型的連續(xù)性和完整性，文中直接在經典ANSYS中建立有限元模型，同時為了減少計算量，將液滴附著的基板簡化，基板厚1.00 mm，長和寬均為8.00 mm，半球液滴半徑為2.12 mm，如圖1所示。

2.2 單元類型及材料參數的選取

文中采用Solid185、Shell181、Fluid30三種不同類型的單元：選用Fluid30流體介質單元劃分液滴結構，用該單元模擬液體內部惰性和液體黏度；選用Shell181殼單元劃分薄膜結構，特別設置殼單元的勁度、積分項和本構參數，用于表征自由界面的表面張力；選取Solid185固體單元劃分基板結構，用該單元模擬液滴固著的板材。將Shell181殼單元的勁度設置為彎曲和薄膜屬性，積分項選擇縮減積分項，本模型中將殼單元設置為節(jié)點等厚度，殼單元厚度設置為整體球冠高度的4%(經多次對比分析擬定的殼單元厚度)；根據文獻[16]和建模的實際參數，在有限元建模過程中設置阻尼比為0.002。同時，將流體介質單元與殼單元結構進行節(jié)點流固耦合設置。有限元模型的材料參數見表1。

圖1 固著液滴建模示意圖Fig.1 Schematic diagram of sessile droplet modeling

表1 固著液滴有限元模型的材料參數

Table 1 Material parameters of the finite element model of sessile droplet

結構彈性模量/GPa泊松比密度/(kg·m-3)材料基板1.50000.501000液滴1000水液膜 0.00360.49963

2.3 網格劃分

由于液滴和薄膜的形狀復雜，曲率變化大，節(jié)點梯度變化劇烈，四面體非結構化網格比六面體結構網格具有更好的適應性和收斂性，更適合固著液滴的網格劃分，因此文中采用四面體非結構化網格劃分固著液滴。同時，為了保證流體和固體兩相接觸邊界的節(jié)點數一致，兩相交界面上力-位移的相互傳遞，模態(tài)分析的收斂性和準確性，基板同樣采用四面體非結構化網格進行劃分，始終保持流固邊界在一個時間步長內的移動距離小于一個網格尺寸，即

(5)

式中，時間步長Δt取為0.1 ms，Δtint是流體和固體兩相邊界移動一個最小網格尺寸所需的理論時間，v是邊界移動速度，c是最小的網格尺寸。確定的最小網格尺寸如表2所示。

考慮到基板的粘附作用對液滴產生的固著影響，在基板網格和固著液滴網格之間設置流固耦合邊界條件，完成流體域和固體域之間力與位移的相互傳遞。選取固著液滴的球形液冠表面，利用已有網格屬性和材料設置生成一層類薄膜Shell單元，模擬液滴的表面張力。

表2 流體域、固體域的網格劃分參數Table 2 Meshing parameters of fluid and solid areas

圖2 基板、液滴及完整模型的有限元網格模型

Fig.2 Finite element meshing of base,plate droplet and whole model

2.4 計算求解與對比分析

通過模態(tài)分析，可以確定模型的頻率響應和固有振型。由于本模型涉及流體，故選用非對稱法提取六階模態(tài)，頻率可用范圍為5～200 Hz。所得到的六階模態(tài)頻率見表3。

表3 模態(tài)分析得到的固有頻率Table 3 Natural frequencies obtained from the modal analysis

為了驗證仿真方法的準確性，采集固著液滴前幾階特征振型對應的固有頻率，與采用Rayleigh模型計算得到的固有振型進行比較。在Rayleigh模型中，n=0和n=1時的共振頻率是分別根據體積守恒原理和平移不變原理得出，因此固著液滴的共振頻率為0。文中將固著液滴2～5階Rayleigh理論固有頻率與仿真固有頻率進行擬合分析，結果如圖3所示。由于固著液滴受到基面的粘附力作用，不是完全理想的Rayleigh模型;Bostwick等[17]證明了受束縛液滴的固有頻率比無束縛液滴的固有頻率大。因此，固著液滴的固有頻率應該高于根據Rayleigh理論計算得出的固有頻率。

圖3 Rayleigh理論固有頻率與仿真固有頻率的比較

Fig.3 Comparison of natural frequency between Rayleigh theoretical values and simulated values

從圖3可知：利用文中的固著液滴建模仿真方法提取到的2～5階固有頻率都大于根據Rayleigh理論計算得到的固有頻率，與 Bostwick等[17]的理論計算結果相符；在n=2，3和μ>0的情況下，固有頻率在接近μ=0.5時會出現峰值；當n=4，μ>0時，有兩個明顯的峰值點，分別在μ=0.4和μ=0.7附近；當n=5，μ>0時，其峰值達到270 Hz左右。

3 仿真與實驗結果的對比分析

3.1 特征振型比對

在Chang等[5]應用正弦波諧振固著液滴的實驗中，所取液滴為純水，體積為20 μL，基板為化學功能化玻璃(表面涂有APTES)，主要是為了保證液滴與附著板材之間的接觸角始終保持在60°～70°，在仿真中利用約束接觸線來控制接觸角的范圍；利用信號發(fā)生器和功率放大器通過機械振蕩器生成正弦波激勵固著液滴，用一臺高速攝像機捕獲固著液滴的立體圖像，搭建一個能夠捕獲上視圖和左右視圖的觀測臺，如圖4所示。為每一個圖像設定一個條件環(huán)境，并且記錄200個連續(xù)幀。在該實驗模型的透明玻璃下面貼著網格大小為50 μm的金屬網，金屬網格是通過上視圖能夠分辨網格變形的關鍵，如圖4所示。

文中通過ANSYS APDL有限元分析軟件,應用上述方法進行固著液滴的三維建模及有限元模態(tài)分析仿真，得到固著液滴的各階固有振型譜圖，如圖5所示，同時給出了文獻[5]中實驗得到的固著液滴振型譜圖。從圖中可知，有限元模態(tài)分析得到的固有振型譜圖與文獻[5]得到的實驗振型譜圖吻合度較高。

圖4 文獻[5]應用正弦波諧振固著液滴的實驗裝置Fig.4 Experimental device of applying sine wave to resonant sessile droplet in reference[5]

圖5 提取特征模態(tài)振型的實驗數據與有限元仿真結果對比Fig.5 Comparison of extracting characteristic mode shapes between experimental data and finite element simulation results

由單個振動周期內的等值線云圖可知，固著液滴在一定激勵下，該階模態(tài)中各個部分的位移情況(這里顯示的只代表相對大小，不是實際位移值)，可以由仿真軟件三維動態(tài)圖觀察整體振型。觀察網格變形圖，能夠發(fā)現各階振型的特征以及液滴表面各處的曲率變化，從而直觀地對比仿真網格與實驗中金屬網格變化規(guī)律的異同點。利用速度矢量圖，能夠觀察到固著液滴振動周期內液體的流動方向和運動趨勢。

3.2 質心振動最大改變量的比較

因固著液滴與基面接觸的有效半徑Ref遠遠小于聲源直徑，故可以將聲波看成平面波。在忽略重力作用及其他能量損失的條件下，聲源發(fā)出的能量(Eb)應等于液滴表面張力所做的功(Eσ)，即Eb=Eσ。給予系統(tǒng)的驅動聲波為平面波[15]。液體透鏡中液體質心的改變量為

(6)

式中，Rb為底部球缺半徑。

固著液滴的共振會引起其質心的變化。換而言之，質心的變化規(guī)律在一定程度上反映了固著液滴的振動頻率和振幅的規(guī)律。文中取μ=1時2～5階固著液滴的質心振動最大位移的理論計算值與仿真提取值進行比較，結果如表4所示。

表4 質心振動最大改變量的理論計算值與仿真提取值對比

Table 4 Comparison of the maximum change of centroid vibration between the theoretical calculation values and the simulation extraction values

階數質心振動最大位移/mm理論值仿真值20.080.1030.150.1740.270.3350.810.89

由表4可知，固著液滴質心振動最大改變量的仿真值略大于理論計算值，相對誤差不超過25%,并且它們的增長趨勢基本相同。隨著階數的增大，固著液滴的質心最大改變量上移，導致固著液滴的振幅不斷增大。

以上對特征振型、固有頻率和質心最大改變量理論計算值和仿真值的分析比較，說明了應用文中提出的有限元模擬仿真方法研究流體模態(tài)是一種非常有效的方法，文中提到的流固耦合分離建模方法和類薄膜結構材料參數設置對于固著流體的模態(tài)求解具有很重要的應用價值。

4 結論

文中利用流固耦合分離建模方法對固著液滴進行有限元建模及分析，將流體的表面張力等效成類薄膜結構，并利用ANSYS APDL中的節(jié)點流固耦合方式模擬液滴與基面的粘結作用。模擬實際的工況條件，給定結構約束和耦合約束，得到固有頻率、特征振型和質心最大改變量的仿真數值，然后比較仿真數值與理論數值，結果表明：液滴2～5階的仿真固有頻率均大于根據Rayleigh理論計算得到的結果，符合現有文獻的理論證明結果；有限元仿真得到的固著液滴四階振型譜圖與現有文獻得到的實驗振型譜吻合；質心振動最大位移仿真值與理論計算值的相對誤差不超過25%。今后可以通過研究聲學激勵后液滴形態(tài)的變化規(guī)律，優(yōu)化液滴搭載平臺，制作體積小、成本低、可靠性高的高速變焦液體透鏡。