張明麗， 高 麗

(延安大學數(shù)學與計算機科學學院， 陜西 延安 716000)

對于任意的正整數(shù)n，Euler函數(shù)φ(n)定義為在序列1 ， 2 ， … ，n-1中與n互素的整數(shù)的個數(shù).Euler函數(shù)是數(shù)論中一個重要的函數(shù)，倍受學者們的關(guān)注.文獻[1]提出了關(guān)于它的一些重要性質(zhì)以及與它相關(guān)的不定方程的正整數(shù)解問題.在所有的數(shù)論函數(shù)中，歐拉函數(shù)是一類重要的積性函數(shù)，即對任意的正整數(shù)m，n，當m和n互素時，有φ(mn)=φ(m)φ(n).近期，文獻[1-10]分別討論了當k=2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ， 12時，歐拉方程φ(mn)=k(φ(m)+φ(n))的可解性問題；文獻[11-13]分別討論了當k=3 ， 4 ， 5時，三元歐拉函數(shù)方程φ(abc)=k(φ(a)+φ(b)+φ(c))的全部正整數(shù)解；對于二元變系數(shù)歐拉函數(shù)方程φ(ab)=mφ(a)+nφ(b)，張四保[14]討論了當m=5，n=7 時的可解性問題， 白繼文[15]討論了當m=7，n=9 時的可解性問題.本文基于楊張媛[16]的關(guān)于三元變系數(shù)歐拉函數(shù)方程φ(abc)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)的全部正整數(shù)解和袁和才[17]的關(guān)于三元變系數(shù)歐拉函數(shù)方程φ(abc)=2φ(a)+3φ(b)+4φ(c)的全部正整數(shù)解，以一組較為特殊的勾股數(shù)作為系數(shù)，研究三元變系歐拉函數(shù)方程φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)的可解性問題，利用初等方法給出了該方程的所有40組正整數(shù)解.

1 引理

引理2[17]對于任意的正整數(shù)m與n，有

其中d=(m，n)，表示m與n的最大公約數(shù)．

顯然，若(m，n)=1，則有

φ(mn)=φ(m)φ(n)．

引理3[17]當1≤n≤2時，有φ(n)=1；當n≥3時，有φ(n)

引理4[17]在歐拉函數(shù)方程φ(abc)=k+lφ(c)中，若

φ(ab)≥k+l+1，

則該方程無正整數(shù)解．

證明因為

(k+1)φ(c)≥k+1，

因此φ(abc)=k+lφ(c)不成立．

2 主要結(jié)論及其證明

定理1三元變系歐拉函數(shù)方程

φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)

共有下述40組正整數(shù)解：

(a，b，c)=(3，8，4)，(4，8，3)，(3，10，4)，(4，10，3)，(4，5，4)，(4，5，6)，(6，5，4)，(3，16，3)，(3，20，3)，(3，15，4)，(4，15，3)，(7，1，23)，(9，1，23)，(7，1，46)，(7，2，23)，(14，1，23)，(9，1，46)，(9，2，23)，(18，1，23)，(15，1，12)，(39，1，5)，(52，1，5)，(56，1，5)，(35，1，8)，(39，1，8)，(72，1，5)，(45，1，8)，(78，1，5)，(39，1，10)，(39，2，5)，(84，1，5)，(35，1，12)，(7，3，3)，(9，3，4)，(9，4，3)，(7，3，6)，(7，6，3)，(14，3，3)，(19，3，4)，(19，4，3)．

證明對于歐拉函數(shù)方程

φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c).

(1)

由引理2得

(2)

由引理3有

3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)=

φ(abc)≥φ(a)φ(b)φ(c)，

即

3φ(a)+4φ(b)≥(φ(a)φ(b)-5)φ(c)≥

φ(a)φ(b)-5.

對于上述不等式在φ(a)φ(b)-5<0時的情況進行討論：當φ(a)φ(b)-5<0時，即φ(a)φ(b)<5，有如下幾種情況：

1)當φ(a)=1時，φ(b)=1 ， 2 ， 4；

2)當φ(a)=2時，φ(b)=1 ， 2；

3)當φ(a)=4時，φ(b)=1；經(jīng)檢驗此情況不成立(由引理3和引理4可證)，故有

(φ(a)-4)(φ(b)-3)≤17.

(3)

下面根據(jù)φ(a)，φ(b)的不同取值分19種情況進行討論．

情形1：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)<0時，則有φ(a)=1 ， 2，φ(b)≥4或者φ(a)≥6，φ(b)=1 ， 2．

Ⅰ 當φ(a)=1，φ(b)≥4時，此時φ(abc)=3+4φ(b)+5φ(c)，又由引理3可知，當φ(c)≥2時，φ(abc)為奇數(shù)，所以只考慮φ(c)=1的情況，即φ(abc)=8+4φ(b)≥φ(b)，此時由不等式推得φ(b)任意，與φ(b)≥4矛盾，故此時式(1)無解．

Ⅱ 當φ(a)=2，φ(b)≥4時，有

6+4φ(b)+5φ(c)=φ(abc)≥φ(b)φ(c)，

即(φ(b)-5)(φ(c)-4)≤26．

1) 當φ(a)=2，φ(b)=4時，φ(c)任意取值，此時式(1)為：

此時φ(c)-2≤5，即φ(c)=1 ， 2 ， 4 ， 6．

當φ(c)=1時，不存在這樣的a，b，c可使得φ(abc)=27，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=32，即abc=51，64，68，80，96，102，120，又a=c=3，4，6，b=5，8，10，12，經(jīng)檢驗此時式(1)的解為(a，b，c)=(3，8，4)，(4，8，3)，(3，10，4)，(4，10，3)，(4，5，4)，(4，5，6)，(6，5，4)．

當φ(c)=4時，φ(abc)=42，即abc=43，49，86，98，又a=3，4，6，b=c=5，8，10，12，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=6時，φ(abc)=52，即abc=53，106，又a=3，4，6，b=5，8，10，12，c=7，9，14，18，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

2)當φ(a)=2，φ(b)=6時，此時φ(c)-2≤2，即φ(c)=1，2，4．

當φ(c)=1時，不存在這樣的a，b，c可使得φ(abc)=35，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=40，即abc=41，55，75，82，88，100，110，132，150，又a=c=3，4，6，b=7，9，14，18，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，不存在這樣的a，b，c可使得φ(abc)=50，故此時式(1)無解．

3)當φ(a)=2，φ(b)=8時，此時φ(c)-2≤1，即φ(c)=1，2．

當φ(c)=1時，不存在這樣的a，b，c可使得φ(abc)=43，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=48，即abc=65，104，105，112，130，140，144，156，168，180，210，又a=c=3，4，6，b=15，16，20，24，30，經(jīng)檢驗此時式(1)的解為(a，b，c)=(3，16，3)，(3，20，3)，(3，15，4)，(4，15，3)．

4)當φ(a)=2，φ(b)=10時，此時φ(c)-2≤1，即φ(c)=1，2．

當φ(c)=1時，不存在這樣的a，b，c可使得φ(abc)=51，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=56，即abc=87，116，174，又a=c=3，4，6，b=11，22，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

5)當φ(a)=2，φ(b)≥12時，此時φ(c)-2≤0，即φ(c)=1，2．

當φ(a)=2，φ(c)=1時，代入式(1)有φ(abc)=11+4φ(b)，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(a)=2，φ(c)=2時，φ(abc)=16+4φ(b)≥4φ(b)，此時可得φ(b)任意，與φ(b)≥12的前提條件矛盾，故此時式(1)無解．

Ⅲ 當φ(b)=1，φ(a)≥6時，有

4+3φ(a)+5φ(c)=φ(abc)≥φ(a)φ(c)，

即(φ(a)-5)(φ(c)-3)≤19．

1)當φ(b)=1，φ(a)=6時，有22+5φ(c)=φ(abc)≥6φ(c)，即φ(c)-3≤19．

當φ(c)=1時，φ(abc)=27，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=32，即abc=51，64，68，80，96，102，120，又a=7，9，14，18，b=1，2，c=3，4，6，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=42，即abc=43，49，86，98，又a=7，9，14，18，b=1，2，c=5，8，10，12，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=6時，φ(abc)=52，即abc=53，106，又a=7，9，14，18，b=1，2，c=7，9，14，18，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=8時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=62，故此時式(1)無解．

當φ(c)=10時，φ(abc)=72，即abc=73，91，95，111，117，135，146，148，152，182，190，216，222，228，234，252，270，又a=7，9，14，18，b=1，2，c=11，22，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=12時，φ(abc)=82，即abc=83，166，a=7，9，14，18，b=1，2，c=13，21，26，28，36，42，故此時式(1)無解．

當φ(c)=16時，φ(abc)=102，即abc=103，206，a=7，9，14，18，b=1，2，c=17，32，34，40，48，60，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=18時，φ(abc)=112，即abc=113，145，226，232，290，348，a=7，9，14，18，b=1，2，c=19，27，38，54，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=20時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=122，故此時式(1)無解．

當φ(c)=22時，φ(abc)=132，即abc=161，201，207，268，322，402，414，又a=7，9，14，18，b=1，2，c=23，46，經(jīng)檢驗此時式(1)有解為(a，b，c)=(7，1，23)，(9，1，23)，(7，1，46)，(7，2，23)，(14，1，23)，(9，1，46)，(9，2，23)，(18，1，23)．

2)當φ(b)=1，φ(a)=8時，有28+5φ(c)=φ(abc)≥8φ(c)，即φ(c)-3≤6．

當φ(c)=1時，φ(abc)=33，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=38，故此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=48，即abc=65，104，105，112，130，140，144，156，168，180，210，又a=15，16，20，24，30，b=1，2，c=5，8，10，12，經(jīng)檢驗此時式(1)有解為(a，b，c)=(15，1，12)．

當φ(c)=6時，φ(abc)=58，即abc=59，118，又a=15，16，20，24，30，b=1，2，c=7，9，14，18，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=8時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=68，故此時式(1)無解．

3)當φ(b)=1，φ(a)=10時，有34+5φ(c)=φ(abc)≥10φ(c)，即φ(c)-3≤3．

當φ(c)=1時，φ(abc)=39，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=44，即abc=69，92，138，又a=11，22，b=1，2，c=3，4，6，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=54，即abc=81，162，又a=11，22，b=1，2，c=5，8，10，12，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=6時，φ(abc)=64，即abc=85，128，136，160，170，192，204，240，又a=11，22，b=1，2，c=7，9，14，18，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

4)當φ(b)=1，φ(a)=12時，有40+5φ(c)=φ(abc)≥12φ(c)，即φ(c)-3≤2．

當φ(c)=1時，φ(abc)=45，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=50，故此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=60，即abc=61，77，93，99，122，124，154，186，198，又a=13，21，26，28，36，42，b=1，2，c=5，8，10，12，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

5)當φ(b)=1，φ(a)=16時，有52+5φ(c)=φ(abc)≥16φ(c)，即φ(c)-3≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=57，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，不存在在這樣的a，b，c使得φ(abc)=62，故此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=72，即abc=73，91，95，111，117，135，146，148，152，182，190，216，222，228，234，252，270，又a=17，32，34，40，48，60，b=1，2，c=5，8，10，12，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

6)當φ(b)=1，φ(a)=18時，有58+5φ(c)=φ(abc)≥18φ(c)，即φ(c)-3≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=63，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=68，故此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=78，即abc=79，158，又a=19，27，38，54，b=1，2，c=5，8，10，12，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

7)當φ(b)=1，φ(a)=20時，有64+5φ(c)=φ(abc)≥20φ(c)，即φ(c)-3≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=69，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=74，故此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=84，即abc=129，147，172，196，258，294，又a=25，33，44，50，66，b=1，2，c=5，8，10，12，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

8)當φ(b)=1，φ(a)=22時，有70+5φ(c)=φ(abc)≥22φ(c)，即φ(c)-3≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=75，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=80，即abc=123，164，165，176，200，220，246，264，300，330，又a=23，46，b=1，2，c=3，4，6，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=90，故此時式(1)無解．

9)當φ(b)=1，φ(a)=24時，有76+5φ(c)=φ(abc)≥24φ(c)，即φ(c)-3≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=81，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，不存在這樣的a，b，c使得φ(abc)=86，故此時式(1)無解．

當φ(c)=4時，φ(abc)=96，即abc=97，119，153，194，195，208，224，238，260，280，288，306，312，336，360，390，420，又a=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90，b=1，2，c=5，8，10，12，經(jīng)檢驗此時式(1)的解為(a，b，c)=(39，1，5)，(52，1，5)，(56，1，5)，(35，1，8)，(39，1，8)，(72，1，5)，(45，1，8)，(78，1，5)，(39，1，10)，(39，2，5)，(84，1，5)，(35，1，12)．

10)當φ(b)=1，φ(a)≥26時，則φ(c)-3≤0．

當φ(c)=1時，φ(abc)=9+3φ(a)，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=14+3φ(a)≥2φ(a)，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

Ⅳ 當φ(b)=2，φ(a)≥6時，此時8+3φ(a)+5φ(c)=φ(abc)≥2φ(a)φ(c)．

1)當φ(b)=2，φ(a)=6時，有φ(abc)=26+5φ(c)≥12φ(c)，即φ(c)-1≤2．

當φ(c)=1時，φ(abc)=31，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=36，即abc=37，57，63，74，76，108，114，126，又a=7，9，14，18，b=3，4，6，c=3，4，6，經(jīng)檢驗此時式(1)的解為(a，b，c)=(7，3，3)，(9，3，4)，(9，4，3)，(7，3，6)，(7，6，3)，(14，3，3)．

2)當φ(b)=2，φ(a)=8時，φ(abc)=32+5φ(c)≥16φ(c)，即φ(c)-1≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=37，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=42，即abc=43，49，86，98，又a=15，16，20，24，30，b=c=3，4，6，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

3)當φ(b)=2，φ(a)=10時，φ(abc)=38+5φ(c)≥20φ(c)，即φ(c)-1≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=43，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=48，即abc=65，104，105，112，130，140，144，156，168，180，210，又a=11，22，b=c=3，4，6，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

4)當φ(b)=2，φ(a)=12時，φ(abc)=44+5φ(c)≥24φ(c)，即φ(c)-1≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=49，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=54，即abc=81，162，又a=13，21，26，28，36，42，b=c=3，4，6，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

5)當φ(b)=2，φ(a)=16時，φ(abc)=56+5φ(c)≥32φ(c)，即φ(c)-1≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=61，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=66，即abc=67，134，又a=17，32，34，40，48，60，b=c=3，4，6，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

6)當φ(b)=2，φ(a)=18時，φ(abc)=62+5φ(c)≥36φ(c)，即φ(c)-1≤1．

當φ(c)=1時，φ(abc)=67，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=72，即abc=73，91，95，111，117，135，146，148，152，182，190，216，222，228，234，252，270，又a=19，27，38，54，b=c=3，4，6，經(jīng)檢驗此時式(1)有解為(a，b，c)=(19，3，4)，(19，4，3)．

7)當φ(b)=2，φ(a)≥20時，有φ(c)-1≤0．

當φ(c)=1時，φ(abc)=13+3φ(a)，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

情形2：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=0時，則有φ(b)=3，φ(a)任意取值，或者φ(a)=4，φ(b)任意取值．

Ⅰ由于φ(b)=3(不存在)，故此時式(1)無解．

Ⅱ當φ(a)=4，φ(b)任意取值時，有φ(abc)=12+4φ(b)+5φ(c)≥4φ(b)φ(c)．

當φ(c)=1時，φ(abc)=17+4φ(b)，即φ(abc)為奇數(shù)，此時式(1)無解．

當φ(c)=2時，φ(abc)=22+4φ(b)≥8φ(b)，即φ(b)=1，2，4．

1)當φ(b)=1時，不存在這樣的a，b，c可使得φ(abc)=26，故此時式(1)無解．

2)當φ(b)=2時，φ(abc)=30，即abc=31，62，又a=5，8，10，12，b=3，4，6，c=3，4，6，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

3)當φ(b)=4時，不存在這樣的a，b，c可使得φ(abc)=38，故此時式(1)無解．

4)當φ(b)≥6時，不等式φ(abc)=22+4φ(b)≥8φ(b)推出φ(b)≤4，不存在這樣的a，b，c可使得φ(b)≤4與φ(b)≥6同時成立，故此時式(1)無解．

情形3：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=1時，則有φ(a)=5，φ(b)=4；或者φ(a)=3，φ(b)=2，由于φ(a)=3與φ(a)=5(由引理3，上述三種情況均無解，舍去)，故此時式(1)無解．

情形4：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=2時，則有φ(a)=6，φ(b)=4；或者φ(a)=5，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=3，φ(b)=1(同上，舍去)；或者φ(a)=2，φ(b)=2．

現(xiàn)考慮φ(a)=6，φ(b)=4的情況，則有φ(abc)=34+5φ(c)≥24φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=39，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(a)=2，φ(b)=2時，則有φ(abc)=14+5φ(c)≥4φ(c)，即φ(c)任意，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

情形5：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=3時，則有φ(a)=7，φ(b)=4(同上，舍去)；或者φ(a)=5，φ(b)=6(同上，舍去)；或者φ(a)=1，φ(b)=2．

當φ(a)=1，φ(b)=2時，φ(abc)=11+5φ(c)，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

情形6：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=4時，則有φ(a)=8，φ(b)=4；或者φ(a)=6，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=5，φ(b)=7(同上，舍去)；或者φ(a)=2，φ(b)=1．

現(xiàn)考慮φ(a)=8，φ(b)=4的情況，則有φ(abc)=40+5φ(c)≥32φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=45，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(a)=2，φ(b)=1時，φ(abc)=10+5φ(c)≥2φ(c)，即φ(c)任意，經(jīng)檢驗此時式(1)無解．

情形7：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=5時，則有φ(a)=9，φ(b)=4(同上，舍去)；或者φ(a)=5，φ(b)=8(同上，舍去)，故此時式(1)無解．

情形8：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=6時，則有φ(a)=5，φ(b)=9(同上，舍去)；或者φ(a)=6，φ(b)=6；或者φ(a)=7，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=10，φ(b)=4；或者φ(a)=1，φ(b)=1．

當φ(a)=6，φ(b)=6時，則有φ(abc)=42+5φ(c)≥36φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=47，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(a)=10，φ(b)=4時，則有φ(abc)=46+5φ(c)≥40φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=51，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(a)=1，φ(b)=1時，φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

情形9：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=7時，則有φ(a)=11，φ(b)=4(同上，舍去)；或者φ(a)=5，φ(b)=10(同上，舍去)，故此時式(1)無解．

情形10：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=8時，則有φ(a)=5，φ(b)=11(同上，舍去)；或者φ(a)=6，φ(b)=7(同上，舍去)；或者φ(a)=8，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=12，φ(b)=4．

當φ(a)=12，φ(b)=4時，則有φ(abc)=52+5φ(c)≥48φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=57，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

情形11：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=9時，則有φ(a)=5，φ(b)=12(同上，舍去)；或者φ(a)=7，φ(b)=6(同上，舍去)；或者φ(a)=13，φ(b)=4(同上，舍去)，故此時式(1)無解．

情形12：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=10時，則有φ(a)=5，φ(b)=13(同上，舍去)；或者φ(a)=6，φ(b)=8；或者φ(a)=9，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=14，φ(b)=4(由于不存在這樣的a使得φ(a)=14，舍去)．

當φ(a)=6，φ(b)=8時，則有φ(abc)=50+5φ(c)≥48φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=55，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

情形13：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=11時，則有φ(a)=15，φ(b)=4(同上，舍去)；或者φ(a)=5，φ(b)=14(由于不存在這樣的b使得φ(b)=14，舍去)，故此時式(1)無解．

情形14：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=12時，則有φ(a)=5，φ(b)=15(同上，舍去)；或者φ(a)=6，φ(b)=9(同上，舍去)；或者φ(a)=7，φ(b)=7(同上，舍去)；或者φ(a)=8，φ(b)=6；或者φ(a)=10，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=16，φ(b)=4．

當φ(a)=8，φ(b)=6時，則有φ(abc)=48+5φ(c)≥48φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=53，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(a)=16，φ(b)=4時，則有φ(abc)=64+5φ(c)≥64φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=69，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

情形15：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=13時，則有φ(a)=5，φ(b)=16(同上，舍去)；或者φ(a)=17，φ(b)=4(同上，舍去)，故此時式(1)無解．

情形16：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=14時，則有φ(a)=5，φ(b)=17(同上，舍去)；或者φ(a)=6，φ(b)=10；或者φ(a)=11，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=18，φ(b)=4．

當φ(a)=6，φ(b)=10時，則有φ(abc)=58+5φ(c)≥60φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=63，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

當φ(a)=18，φ(b)=4時，則有φ(abc)=70+5φ(c)≥72φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=75，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

情形17：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=15時，則有φ(a)=5，φ(b)=18(同上，舍去)；或者φ(a)=7，φ(b)=8(同上，舍去)；或者φ(a)=9，φ(b)=6(同上，舍去)；或者φ(a)=19，φ(b)=4(同上，舍去)，故此時式(1)無解．

情形18：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=16時，則有φ(a)=5，φ(b)=19(同上，舍去)；或者φ(a)=6，φ(b)=11(同上，舍去)；或者φ(a)=8，φ(b)=7(同上，舍去)；或者φ(a)=12，φ(b)=5(同上，舍去)；或者φ(a)=20，φ(b)=4．

當φ(a)=20，φ(b)=4時，則有φ(abc)=76+5φ(c)≥80φ(c)，即φ(c)=1.而當φ(c)=1時，φ(abc)=81，即φ(abc)為奇數(shù)，故此時式(1)無解．

情形19：當(φ(a)-4)(φ(b)-3)=17時，則有φ(a)=5，φ(b)=20(同上，舍去)；或者φ(a)=21，φ(b)=4(同上，舍去)，故此時式(1)無解.對以上解進行歸納即得本文結(jié)論．