廣東省廣州市玉巖中學(xué)

提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的實效性,關(guān)鍵在于提高中偏下水平學(xué)生的學(xué)習(xí)實效,讓他們在學(xué)習(xí)過程中主動構(gòu)建知識、發(fā)展能力、獲取直接經(jīng)驗和間接經(jīng)驗是必經(jīng)之路,尤其是解決綜合性較強的數(shù)學(xué)問題.教學(xué)中,筆者采取“復(fù)雜問題步驟化;困難問題模型化”的教學(xué)策略,讓學(xué)生感悟模型思想,積累解決實際問題的經(jīng)驗,取得了一定的效果.現(xiàn)筆者以高三第一輪復(fù)習(xí)“圓錐曲線的綜合問題”課例的設(shè)計與實施為例,談?wù)勛约旱囊恍┧伎?

1 教學(xué)實錄

1.1 考情分析,全局把握

教師:高考對圓錐曲線知識的考查,主要集中在中高檔綜合性問題,有一定難度.本節(jié)課,我們以一道高考真題為例,結(jié)合本知識點的高考命題規(guī)律,來探究一下它的基本解答策略.(屏幕投影“表1:命題規(guī)律表”、學(xué)習(xí)目標(biāo))

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學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與圓錐曲線綜合問題的解題思維模式;2.了解常見條件轉(zhuǎn)化模型的處理策略,提高處理解析幾何綜合問題的能力.

活動設(shè)計及意圖預(yù)留1分鐘時間,讓學(xué)生了解、梳理本專題內(nèi)容,讓學(xué)生在系統(tǒng)性、高視角的維度總覽全局,熟綱務(wù)本,點對點,明確本節(jié)課復(fù)習(xí)知識要點以及學(xué)習(xí)任務(wù).

1.2 真題探究 規(guī)律初探(2014年高考全國Ⅰ卷第20題滿分12分)

投影題目已知點A(0,2),橢圓b ＞0)的離心率為F是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為為坐標(biāo)原點.

(1)求E的方程;

(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點,當(dāng)ΔOPQ的面積最大時,求l的方程.

圖1 解答過程示意圖

教師:請同學(xué)們2分鐘之內(nèi)自己獨立完成第一問.

活動設(shè)計及意圖學(xué)生力所能及的,交給學(xué)生獨立解答,教師巡視,2分鐘后,教師將巡視過程中用手機拍攝的學(xué)生解答過程,直接傳屏電教平臺,投影答案:落實課堂教學(xué)“講在關(guān)鍵處,練在講之前”.

1.2.1 解題模型的回顧與構(gòu)建過程

教師:第1問一般是容易題,我們高考答題時務(wù)必拿下,剛才大多數(shù)同學(xué)都完成的很好.現(xiàn)在請同學(xué)們思考第2問:回答我接下來的幾個問題.(學(xué)生2分鐘的讀題、審題、思考時間)

教師:問題1:我們結(jié)合題意作出圖形(如“圖1解答程示意圖”),不難發(fā)現(xiàn)這是“直線+圓錐曲線型”(即:直線與圓錐曲線相交類的問題),還記得這種問題的常規(guī)處理“套路”嗎?

學(xué)生1:解題思維過程分三大環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)一:準(zhǔn)備工作(設(shè)—-聯(lián)—-消—-韋達定理);

環(huán)節(jié)二:翻譯轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化問題,轉(zhuǎn)化條件,把題目翻譯成我們熟悉的數(shù)學(xué)知識);

環(huán)節(jié)三:數(shù)學(xué)運算(算出結(jié)果).

教師:很好,同學(xué)們都已經(jīng)熟悉基本的思維流程!復(fù)雜問題步驟化、困難問題套路化,解題經(jīng)驗的積累會幫助我們順利切入每一個數(shù)學(xué)難題.大家能否就每個環(huán)節(jié)的具體步驟及注意事項做一個分享?

學(xué)生:(故有的解題經(jīng)驗,同學(xué)們基本能順利分享)

教師:(投影“圖2‘直線+圓錐曲線型’思維導(dǎo)圖”,配合學(xué)生的分享,逐步展示各個環(huán)節(jié)步驟和注意事項)

本節(jié)課我們將重點在“環(huán)節(jié)2”——“轉(zhuǎn)譯”的策略方面去總結(jié)常規(guī)轉(zhuǎn)化模型,積累轉(zhuǎn)化技巧和經(jīng)驗;在“環(huán)節(jié)3”—-“計算”方面積累計算技巧和經(jīng)驗.

問題2:現(xiàn)在,同學(xué)們能自己獨立完成“環(huán)節(jié)1”中的常規(guī)“動作”(設(shè),聯(lián),消)嗎?

(3分鐘時間.學(xué)生獨立完成,教師巡視,提醒注意事項,如:直線的設(shè)法—-正設(shè)與反設(shè),斜率不存在的情況,消元、計算的基本策略等)

圖2 “直線+圓錐曲線型”思維導(dǎo)圖

教師:同學(xué)們“環(huán)節(jié)1”完成得不錯,我們來分享一下這個過程.(投影學(xué)生過程,如下)

解 (2)當(dāng)l⊥x軸時,不合題意.故設(shè)l:y = kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).聯(lián)立方程消去y 得:(1+4k2)x2-16kx+12=0 由韋達定理

活動設(shè)計及意圖綜合問題、復(fù)雜問題的處理,需要建立在豐富的解題經(jīng)驗的基礎(chǔ)上.本活動,旨在引導(dǎo)學(xué)生進一步熟悉“直線+圓錐曲線型”數(shù)學(xué)模型,為后續(xù)解題提供思維與行動的方向,按圖索驥.另外,有意識地采用“復(fù)雜問題步驟化、困難問題套路化”的解題策略,讓學(xué)生獨立完成“環(huán)節(jié)1”中的常規(guī)“動作”(設(shè),聯(lián),消),為后續(xù)師生共同重點探究“環(huán)節(jié)2”中“轉(zhuǎn)譯”的策略和“環(huán)節(jié)3”中“計算”技巧,作鋪墊.同時分解難點,突出重點,小步子前進,讓學(xué)生最大限度深入解題過程.

1.2.2 模型思想指導(dǎo)下的思維活動的深入與發(fā)散過程

教師:我們來看“環(huán)節(jié)2”——“轉(zhuǎn)譯”.我們知道,在此環(huán)節(jié),我們應(yīng)該從題目條件和問題兩個方面去轉(zhuǎn)化翻譯.問題3:本題中,你能夠轉(zhuǎn)化翻譯那些條件或者問題? 請大家先獨立思考、探究,然后小組分享3分鐘.(學(xué)生思考、探究5分鐘,個體分享,小組合作分享)

學(xué)生2:ΔOPQ的面積,這句話,應(yīng)該表示出面積的解析式.

教師:怎樣表示ΔOPQ面積呢?

學(xué)生4:我覺得用可以用分割法.可以將直線PQ 與x軸的交點M的坐標(biāo)表示出來,然后

學(xué)生5:根據(jù)“學(xué)生4”的想法,我覺得還可以采用先補成一個直角梯形—-分別過P,Q作y軸垂線形成一個直角梯形,然后再減去兩個直角三角形面積即可.

教師:非常好!大家肯動腦筋.面積的表示確實方法很多,剛才大家的思路我覺得都很棒!我們的視野更開闊了!但是哪一種更好呢? 我們不妨逐個試試.我們不妨按照“學(xué)生6”的方法.

問題4:有哪些需要進一步轉(zhuǎn)化? 如何轉(zhuǎn)化?

學(xué)生7:用弦長公式可求

用點到直線的距離公式即可求點O到直線PQ的距離所以,

教師:很好!至于上述其他方法,暫時留給同學(xué)們課后研究.我非常期待大家的研究成果!本環(huán)節(jié)已經(jīng)全部翻譯完畢,現(xiàn)在進入“環(huán)節(jié)3”.

問題5:根據(jù)題目問題目標(biāo),接下來應(yīng)該干什么?

學(xué)生8:我們應(yīng)該求此式的最大值.

學(xué)生10:此式有根號,求導(dǎo)會很復(fù)雜,我根據(jù)此式特點,覺得換元再來算可能會簡單一點.

教師:大家同意嗎? (全體同學(xué)一致認為很有道理)剛才兩位同學(xué)說的都非常到位.從題目的問題來看,我們不難發(fā)現(xiàn),這是高考命題熱點之一的“圓錐曲線求最值問題”,對于這類問題,我們處理的基本策略是目標(biāo)函數(shù)法,即:首先,建立目標(biāo)函數(shù)(求誰的最值,就建立誰的目標(biāo)函數(shù)),如然后,求函數(shù)最值.

圖3 解答過程得分點

但是,這里面需要積累一個很重要的解題經(jīng)驗和技巧:對于含有根號的,一般是采用換元法,換根號,在運用函數(shù)的方法,如求導(dǎo)等求最值.大家可動手試試.

教師:在換元后,大多數(shù)同學(xué),還是考慮利用導(dǎo)數(shù)求最值.有沒有不求導(dǎo)就可求最值的呢?

學(xué)生11:因為當(dāng)且僅當(dāng)t= 2,即時,等號成立,且滿足Δ＞0.綜上:所求直線方程為或

活動設(shè)計及意圖通過思維導(dǎo)圖模型的引領(lǐng),將思維程序化,解題目標(biāo)清晰,思維不斷縱深推進.探究難點處,教師點撥釋疑.探究每一個分解的難點,引導(dǎo)學(xué)生進一步熟悉直線與圓錐曲線的綜合問題(一般步驟)——“三個環(huán)節(jié),步步為贏”的解題策略,并從中積累豐富的解題經(jīng)驗和技巧.掌握直線與圓錐曲線綜合問題的解題思維模式.

教師:如何求其最大值?

1.3 真題剖析 規(guī)律提煉

教師:通過此題,我們看看高考的重點和方向.本題考查了哪些知識點,我們又有哪些解題的收獲呢? (教師引導(dǎo),學(xué)生回答,教師補充,歸納)

考點1 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析);

考點2 圓錐曲線(橢圓)的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法;

考點3 圓錐曲線(橢圓)的簡單幾何性質(zhì)(離心率、弦長公式等);

考點4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(一般步驟)——“三個環(huán)節(jié),步步為贏”的解題策略.

通過本題的探究,我們發(fā)現(xiàn):面對綜合復(fù)雜問題,只要我們步步為營、每分必爭,其實我們也是可以大比例得分的.那么此題,按照高考評分標(biāo)準(zhǔn),我們會“踩點得分”多少呢? (投影“圖3解答過程得分點”).

活動設(shè)計及意圖高三第一輪復(fù)習(xí),有意識強化學(xué)生的答題規(guī)范性,讓學(xué)生明白得分點,掌握踩點得分的技巧.同時,進一步梳理學(xué)生在探究活動中積累的解題經(jīng)驗和技巧.

1.4 變式遷移 體驗感悟

教師:現(xiàn)在,請大家嘗試處理下列問題.(投影展示變式1、2、3、4)

變式1如圖4,原例中,設(shè)過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點,當(dāng)以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點時,求l的方程.若原點O位于以PQ為直徑的圓外時呢? (2018年沈陽市高三質(zhì)檢第20題改編題)

圖4 變式1

圖5 變式2

變式2如圖5,原例中設(shè)過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點,記C(0,1),當(dāng)||CP|=|CQ|時,求l的方程.

圖6 變式3

圖7 變式4

變式3如圖6,原例題中,設(shè)過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點,記M(4,0),當(dāng)∠OMP= ∠OMQ時,求直線l的方程.(2018年高考全國Ⅰ卷第19題改編)

變式4如圖7(拓展延伸)原例題中,設(shè)過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點,是否存在直線l滿足若存在,求出直線求l的方程;若不存在,說明理由.

教師:這些問題與原例題解答過程有什么異同嗎?

學(xué)生:解題環(huán)節(jié)1 相同,可以直接借用原例題相關(guān)步驟(設(shè),聯(lián),消,韋達定理);不同的是,環(huán)節(jié)2 與環(huán)節(jié)3.

教師:那好,下面請大家直接分享每一個變式解題過程中的“環(huán)節(jié)2”?

學(xué)生:(思考,小組分享)

學(xué)生12:變式1中,得到“以弦PQ為直徑的圓過點O”?OP⊥OQ ?kOP · kOQ=-1 (需討論k是否存 在)再 用 韋 達

學(xué)生13:變式2中,取弦PQ的中點M,則由題意可得然后坐標(biāo)化,再用韋達定理.

學(xué)生14:變式3中,由題意可得kMP+kMQ=0,然后坐標(biāo)化,再用韋達定理.

······

教師:分享都很精彩!上面轉(zhuǎn)化的角度都是常規(guī)視角,有很好的積累價值.其實,大多數(shù)問題只要忠實、準(zhǔn)確地將題目每個條件和要求表達出來,即可自然而然產(chǎn)生思路.當(dāng)然,上述問題的轉(zhuǎn)化翻譯有不同角度,請大家課外思考:是否還有其它轉(zhuǎn)化角度,并嘗試分別完成每題解答過程中“環(huán)節(jié)3”.

活動設(shè)計及意圖重點訓(xùn)練學(xué)生的化歸思想,將“條件轉(zhuǎn)化”常見模型及其處理策略加以探究,為學(xué)生積累解題經(jīng)驗.

1.5 課堂總結(jié) 提煉內(nèi)化 (略)

2 教學(xué)說明及反思

2.1 基于數(shù)學(xué)模型思想高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)活動設(shè)計思路

遵循數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課重復(fù)性、概括性、系統(tǒng)性、綜合性與反思性的顯著特點,理解學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的認知心理,把握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu),是設(shè)計并構(gòu)建高效數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂的必經(jīng)之路.

本節(jié)課面對的學(xué)生群體,屬于中偏下水平,對于圓錐曲線綜合性問題:知識上,基本掌握了單一知識點,缺乏綜合靈活運用能力;計算能力上,基本功不扎實,技巧不熟,對算理難度較大的缺乏運算經(jīng)驗;思維上,不會尋找切入點,不熟練轉(zhuǎn)化化歸,思維缺乏條理性;心理上,對綜合問題回避、放棄、有畏難情緒,缺乏挑戰(zhàn)精神.但學(xué)生樂學(xué),對圓錐曲線綜合問題有一定的認知基礎(chǔ),尤其基本解題步驟有一定的了解.

鑒于此,本節(jié)課的處理策略為“復(fù)雜問題步驟化;困難問題模型化”,將知識難點和思維難點分解,利用模型思想,小步快走.在“真題探究,規(guī)律初探”環(huán)節(jié),展示思維導(dǎo)圖,引導(dǎo)學(xué)生回顧模型,幫助中偏下學(xué)生構(gòu)建處理綜合問題的思維程序;利用5個問題系列,師生互動,引導(dǎo)學(xué)生尋求切入點,探求解決問題的方案,完成“解題模型的回顧與構(gòu)建過程”和“模型思想指導(dǎo)下的思維活動的深入與發(fā)散過程”.在“真題剖析,規(guī)律提煉”環(huán)節(jié),強化數(shù)學(xué)模型思想的提煉.在“變式探究體驗感悟”中,強化模型的應(yīng)用,側(cè)重思維的訓(xùn)練和提升.整個過程,不斷強化“回顧模型,建立模型,應(yīng)用模型”;以模型為指南引領(lǐng)思維方向;以問題為動力,推動思維向深度和廣度發(fā)展.

綜合上述要求,本節(jié)課的設(shè)計思路為(圖8):

圖8 設(shè)計思路

2.2 基于數(shù)學(xué)模型思想高三復(fù)習(xí)課的幾點思考

模型的建立是基于基本活動經(jīng)驗,所以要對經(jīng)常對活動反思和提煉,但模型解題是一把雙刃劍,要辯證施教,防止題型化固化學(xué)生思維.

首先,要重視讓學(xué)生經(jīng)歷教學(xué)活動的反思過程,特別是對活動過程中條件、步驟、方法等的反思,然后在此基礎(chǔ)上提煉數(shù)學(xué)模型,并積累基本活動經(jīng)驗.因為,數(shù)學(xué)的“基本活動經(jīng)驗”包括直接經(jīng)驗(自我摸索)和間接經(jīng)驗(依據(jù)或模仿),單純的講授與模仿不能幫助學(xué)生形成真正有效的基本活動經(jīng)驗,有效經(jīng)驗一定是在自主活動過程中(包括總結(jié)反思)才能夠獲得的.所以,一次數(shù)學(xué)活動結(jié)束之后的總結(jié)提升環(huán)節(jié)對于基本活動經(jīng)驗的形成非常必要.

其次,數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型思想下的高三復(fù)習(xí)課要重視建模過程的思維訓(xùn)練.數(shù)學(xué)建模的教學(xué)本質(zhì)也是思維教學(xué),模型思想教學(xué)滲透著讓學(xué)生學(xué)會聯(lián)系、類比、歸納和概括等邏輯思考的基本方法.讓近階段學(xué)習(xí)中積累的經(jīng)驗激活學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),建立新的相關(guān)數(shù)學(xué)模型.新模型的建立在關(guān)聯(lián)的舊模型的幫襯下,再加上教師適當(dāng)引導(dǎo),學(xué)生參與新模型的揭示與形成,學(xué)生選擇模型的能力才會得到得到充分磨練.“型”成于思,經(jīng)受住波折或挑戰(zhàn)的建模過程更能讓模型思想深入骨髓.

最后,辯證施教是預(yù)防模型思想滲透走偏的保障.防僵化的題型套用,在數(shù)學(xué)知識的生成和運用過程中,有必要進行適當(dāng)?shù)臍w納和概括,這有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)基本規(guī)律,獲取本質(zhì)特征,但又不能過分追求模型的精細化,這會讓學(xué)生迷失在形式化的結(jié)構(gòu)中.解決問題教學(xué),應(yīng)該強調(diào)對實際問題數(shù)量關(guān)系的分析,突出解決問題的策略,而不宜過度以題型精細化分類,去讓學(xué)生識記數(shù)學(xué)題型的各自特征,否則一旦學(xué)生遇到無題型可套的問題時便會束手無策,陣腳大亂.

總之,利用模型思想設(shè)計復(fù)習(xí)課,可以幫助學(xué)生深入積累活動經(jīng)驗,提高復(fù)習(xí)實效.但模型的教學(xué)滲透不能被過度程式化、技術(shù)化和功利化,應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識積累逐級遞進,教師充分分析、辯證施教,模型思想才可以真正提高教學(xué)實效,解題活動經(jīng)驗才可以在學(xué)生的大腦中慢慢積淀和浸潤！