彭世剛, 劉海鵬, 高世橋，金 磊，李澤章

(北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081)

0 引言

微機(jī)械陀螺以其體積小，質(zhì)量輕，成本低，功耗小及可批量生產(chǎn)等優(yōu)點(diǎn)，在航空航天、汽車(chē)工業(yè)、醫(yī)療儀器等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[1]。當(dāng)前，基于科氏力的電容檢測(cè)式微機(jī)械陀螺是研究的熱點(diǎn)和應(yīng)用的主流。隨著研究不斷深入，精度不斷提升，已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了戰(zhàn)術(shù)級(jí)商業(yè)應(yīng)用[2-3]。隨著對(duì)精度要求的不斷提升，采用靜電剛度調(diào)諧實(shí)現(xiàn)模態(tài)匹配和采用正交靜電解耦實(shí)現(xiàn)正交解耦已成為高精度微機(jī)械陀螺的普遍措施[4]，但通過(guò)文獻(xiàn)[5-6]發(fā)現(xiàn)，由于與中心質(zhì)量塊相連的靜電調(diào)諧梳齒和正交解耦梳齒在檢測(cè)方向均為壓膜阻尼，遠(yuǎn)大于檢測(cè)框的阻尼，致使檢測(cè)品質(zhì)因子會(huì)嚴(yán)重降低，檢測(cè)位移也更微弱[5-6]。近年來(lái)，杠桿放大機(jī)構(gòu)在微機(jī)械傳感器中已獲得應(yīng)用，主要用于放大驅(qū)動(dòng)力，以提升微機(jī)械傳感器的機(jī)械靈敏度。I.Zeimpekis等在2011年固態(tài)傳感器、執(zhí)行器與微系統(tǒng)國(guó)際會(huì)議上提出了一種用于電容式微加速度的杠桿放大機(jī)構(gòu)[7]；李小卿提出了一種適用于驅(qū)動(dòng)模態(tài)的微機(jī)械陀螺杠桿機(jī)構(gòu)，將驅(qū)動(dòng)梳齒的驅(qū)動(dòng)力放大傳遞到中心質(zhì)量塊上，最終使機(jī)械靈敏度提升了5.9倍[8]。然而以上的應(yīng)用主要是在加速度計(jì)和微機(jī)械陀螺中進(jìn)行力的放大，應(yīng)用于檢測(cè)模態(tài)微機(jī)械杠桿對(duì)微機(jī)械陀螺性能的影響需要進(jìn)行分析。

1 杠桿位移放大結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

微機(jī)械陀螺儀由中心質(zhì)量塊、驅(qū)動(dòng)模塊、檢測(cè)模塊和彈性梁等構(gòu)成。當(dāng)驅(qū)動(dòng)梳齒施加交變電壓，中心質(zhì)量塊受靜電力在驅(qū)動(dòng)方向產(chǎn)生簡(jiǎn)諧振動(dòng)，當(dāng)z軸有角速度輸入時(shí)，中心質(zhì)量塊受科氏力作用發(fā)生檢測(cè)方向的位移，通過(guò)檢測(cè)差分電容的變化敏感外界角速度的大小。

傳統(tǒng)微機(jī)械陀螺檢測(cè)模塊與中心質(zhì)量塊通過(guò)解耦弓形梁直接耦合，然而當(dāng)前電容式微機(jī)械陀螺受限于工藝條件和能力的制約，不能得到較高的精度。同時(shí)為提升硅微機(jī)械陀螺的精度，靜電調(diào)諧與靜電正交解耦已成為提升微機(jī)械陀螺性能的普遍方式，雖然其提升了檢測(cè)準(zhǔn)確度，但通過(guò)相關(guān)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，檢測(cè)品質(zhì)因子會(huì)嚴(yán)重降低，檢測(cè)位移也更微弱。曹惠亮研究發(fā)現(xiàn)，全對(duì)稱結(jié)構(gòu)陀螺品質(zhì)因數(shù)在采用靜電調(diào)諧和正交解耦電極后。其品質(zhì)因數(shù)由均近似的5 000[5]，變?yōu)轵?qū)動(dòng)模態(tài)品質(zhì)因數(shù)為3 820,而檢測(cè)模態(tài)品質(zhì)因數(shù)僅為388[6]。其主要原因是由于與中心質(zhì)量塊相連的調(diào)諧電極與正交解耦電極在檢測(cè)方向?yàn)閴耗ぷ枘?，遠(yuǎn)大于檢測(cè)梳齒的滑膜阻尼。基于此矛盾，本文創(chuàng)新性的提出了一種將檢測(cè)模塊與中心質(zhì)量塊通過(guò)杠桿耦合的新型結(jié)構(gòu)。圖1為采用杠桿耦合結(jié)構(gòu)的微機(jī)械陀螺結(jié)構(gòu)示意圖，圖2為傳統(tǒng)直接耦合微機(jī)械陀螺結(jié)構(gòu)示意圖，兩者除杠桿結(jié)構(gòu)的區(qū)別外，其余所有機(jī)械參數(shù)均相等，以對(duì)兩者的機(jī)械性能進(jìn)行對(duì)比研究。

圖1 杠桿耦合式微機(jī)械陀螺結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 直接耦合式微機(jī)械陀螺結(jié)構(gòu)示意圖

2 杠桿耦合式微機(jī)械陀螺機(jī)理分析

2.1 杠桿耦合式微機(jī)械陀螺動(dòng)力學(xué)分析

根據(jù)杠桿耦合式微機(jī)械陀螺結(jié)構(gòu)示意圖，建立其兩自由度振動(dòng)模型，如圖3所示。圖中,mc為中心質(zhì)量塊質(zhì)量，mx2為驅(qū)動(dòng)模塊質(zhì)量，cx1為中心質(zhì)量塊在驅(qū)動(dòng)方向上的阻尼，cx2為驅(qū)動(dòng)模塊阻尼，kx1為中心質(zhì)量塊在驅(qū)動(dòng)方向上的剛度，kx2為驅(qū)動(dòng)模塊在驅(qū)動(dòng)方向上的剛度，ms2為檢測(cè)模塊質(zhì)量，cy1為中心質(zhì)量塊在檢測(cè)方向上的阻尼，cy2為檢測(cè)模塊在檢測(cè)方向上的阻尼，ky1為中心質(zhì)量塊在檢測(cè)方向上的剛度，ky2為檢測(cè)模塊在檢測(cè)方向上的剛度，fl11為杠桿對(duì)檢測(cè)框的動(dòng)力,fl12為質(zhì)量塊對(duì)杠桿提供的力。

圖3 杠桿耦合式微機(jī)械陀螺振動(dòng)模型

杠桿耦合式微機(jī)械陀螺動(dòng)力學(xué)方程為

1) 驅(qū)動(dòng)方向：

(1)

式中：mx為x方向的運(yùn)動(dòng)總質(zhì)量；kx為彈性梁在x方向上的總剛度；fd為主動(dòng)驅(qū)動(dòng)力，即靜電力的幅值。施加杠桿前后，各分量的值不發(fā)生變化。

2) 檢測(cè)方向：

(2)

式中：B為杠桿放大倍數(shù)；y1,y2分別為中心質(zhì)量塊和檢測(cè)框的檢測(cè)位移。

(3)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

(4)

其中

(5)

式中my,cy,ky分別為檢測(cè)方向的等效質(zhì)量、等效阻尼系數(shù)及等效剛度。

將式(4)化簡(jiǎn)為二階振蕩形式：

(6)

其中

(7)

(8)

式中:ωy為檢測(cè)系統(tǒng)的固有頻率;ξy為檢測(cè)系統(tǒng)的等效阻尼比。

對(duì)式(6)求解，當(dāng)諧振時(shí)，即ω=ωy=ωx，檢測(cè)框的穩(wěn)定位移解為

(9)

其中

(10)

式中Qy為檢測(cè)系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)。

2.2 杠桿結(jié)構(gòu)對(duì)微機(jī)械陀螺固有頻率的影響

根據(jù)式(7)可得，有杠桿結(jié)構(gòu)的微機(jī)械陀螺檢測(cè)模態(tài)的固有頻率為

(11)

無(wú)杠桿結(jié)構(gòu)的微機(jī)械陀螺檢測(cè)模態(tài)固有頻率為

(12)

令ηw為檢測(cè)模態(tài)固有頻率比，則有

(13)

由式(13)可得，M與K為對(duì)稱反比，當(dāng)M>K時(shí)，位移放大杠桿可降低陀螺檢測(cè)模態(tài)固有頻率;當(dāng)M

2.3 杠桿結(jié)構(gòu)對(duì)陀螺檢測(cè)模態(tài)諧響應(yīng)的影響

對(duì)比有、無(wú)杠桿檢測(cè)結(jié)構(gòu)的位移解。

無(wú)杠桿檢測(cè)微機(jī)械陀螺的位移為

(14)

有杠桿檢測(cè)微機(jī)械陀螺儀的位移為

(15)

引入位移比ηy：

(16)

(17)

由式(17)可得,位移放大效率由C,K,M,B4個(gè)參數(shù)決定，其中M和K由機(jī)械參數(shù)設(shè)計(jì)決定，C由機(jī)械結(jié)構(gòu)和封裝等共同決定，而與M、K并無(wú)直接聯(lián)系，因此對(duì)式(17)分為兩部分分析。

ηy(C,K,M,B)=ηy(B,C)·ηy(M,K)=

(18)

1) 對(duì)ηy(B,C)求B的偏導(dǎo)，并令其為0， 則

(19)

(20)

對(duì)式(20)求C的偏導(dǎo)：

(21)

可得C=1時(shí)取得極小值。

2) 對(duì)ηy(M,K)在cy1?cy2，B>1情況下進(jìn)行研究：

(22)

對(duì)ηy(M,K)B>1求M的偏導(dǎo),并令其為0，可得

(23)

由式(23)可得,當(dāng)B>1時(shí)，ηy(M,K)B>1隨M的增加而增加。

對(duì)ηy(M,K)求K的偏導(dǎo),并令其為0，可得

(24)

由式(24)可得，當(dāng)B>1時(shí)，ηy(M,K)B>1隨K的增加而減小。

通過(guò)式(22)分析可知，M與K成倒數(shù)關(guān)系。當(dāng)M=K時(shí)，ηy(M,K)B>1=1；當(dāng)M>K時(shí)，ηy(M,K)B>1>1；當(dāng)M1<1。其中ky2為與檢測(cè)框相連的支撐弓形梁檢測(cè)剛度與部分杠桿的非理想情況下的等效剛度，其值一般很小。因此，一般情況下M>K時(shí)，ηy(M,K)B>1>1。

通過(guò)對(duì)ηy(B,C)和ηy(M,K)的分析可得，位移放大效果主要與C和K有關(guān)，在普遍情況下，由于調(diào)諧電極和解耦電極的阻尼遠(yuǎn)大于檢測(cè)梳齒的滑膜阻尼，且M>K。ηy(B,C)和ηy(M,K)的值均大于1，故杠桿能實(shí)現(xiàn)位移放大。

3 仿真分析

3.1 杠桿結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與仿真

杠桿結(jié)構(gòu)是該設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，理想杠桿應(yīng)具有無(wú)窮小的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和無(wú)窮大的拉壓剛度，以此實(shí)現(xiàn)有較大的力傳遞效率。本文設(shè)計(jì)了一種柔性鉸鏈杠桿結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)盡量小的力傳遞損耗，在符合加工工藝要求和杠桿設(shè)計(jì)原則的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)的杠桿檢測(cè)模塊結(jié)構(gòu)如圖4所示，其中B=2.125，整體厚為80 μm,杠桿檢測(cè)模塊結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)如表1所示。

圖4 杠桿模塊結(jié)構(gòu)示意圖

表1 杠桿檢測(cè)模塊各段尺寸

通過(guò)有限元軟件ANSYS對(duì)杠桿檢測(cè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真分析，由靜剛度法獲得ky2=154.75 N/m。

3.2 微機(jī)械陀螺模態(tài)分析

根據(jù)微機(jī)械陀螺的結(jié)構(gòu)參數(shù)可得各部分質(zhì)量， 即ms2=330×10-9kg，mc=1 169×10-9kg，由my=mc+B2ms2=2 659.15×10-9(kg)；驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)總質(zhì)量為mx=1 425.1×10-9kg。

同理，計(jì)算微機(jī)械陀螺各部分結(jié)構(gòu)剛度，其中ky1=840 N/m，ky2=154.75 N/m，由ky=ky1+B2ky2=1 539.78(N/m)，驅(qū)動(dòng)模態(tài)總剛度kx=807.1 N/m；

根據(jù)檢測(cè)系統(tǒng)各模塊的剛度與質(zhì)量，由式(11)可得ωLy=3 829.76 Hz，驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率為3 790 Hz。

采用有限元仿真軟件對(duì)微機(jī)械陀螺進(jìn)行模態(tài)仿真，驗(yàn)證上述理論。微機(jī)械陀螺前6階模態(tài)和振型如圖5所示。

圖5 杠桿耦合式微機(jī)械陀螺模態(tài)仿真圖

通過(guò)模態(tài)仿真結(jié)果可知，其一階模態(tài)為驅(qū)動(dòng)模態(tài)，固有頻率為3 810.7 Hz，二階模態(tài)為檢測(cè)模態(tài)，固有頻率為3 810.8 Hz，與式(11)計(jì)算結(jié)果基本相等，檢測(cè)模態(tài)準(zhǔn)確率為94%，驗(yàn)證了關(guān)于剛度和固有頻率的理論計(jì)算正確性。其差值原因可能是未考慮杠桿阻礙剛度和質(zhì)量，導(dǎo)致計(jì)算頻率高于仿真頻率。驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)的固有頻率基本相等，可實(shí)現(xiàn)模態(tài)匹配，且工作模態(tài)的固有頻率遠(yuǎn)高于其他模態(tài)的固有頻率，符合設(shè)計(jì)要求。

3.3 微機(jī)械陀螺諧響應(yīng)分析

為驗(yàn)證微機(jī)械杠桿對(duì)陀螺檢測(cè)位移的放大效果，本文采用有限元仿真軟件ANSYS對(duì)兩個(gè)陀螺的動(dòng)態(tài)諧響應(yīng)進(jìn)行仿真，其中一個(gè)在檢測(cè)方向施加杠桿結(jié)構(gòu)，另一個(gè)無(wú)杠桿結(jié)構(gòu)，其余各部分的結(jié)構(gòu)參數(shù)均相等。對(duì)兩個(gè)陀螺施加幅值均為1 μN(yùn)的科氏力，其頻率為各自的諧振頻率。由于兩者結(jié)構(gòu)參數(shù)均相等，兩者的檢測(cè)框阻尼系數(shù)和中間部分(包括調(diào)諧和正交解耦梳齒)阻尼均相等，且根據(jù)文獻(xiàn)[5-6]分析，后者起主要部分,據(jù)此計(jì)算仿真阻尼比。最終檢測(cè)梳齒和中心質(zhì)量塊的諧響應(yīng)仿真結(jié)果如圖6所示，仿真參數(shù)如表2所示。

圖6 微機(jī)械陀螺諧響應(yīng)仿真值

表2 結(jié)構(gòu)仿真參數(shù)

杠桿耦合陀螺直接耦合陀螺施力幅值/μN(yùn)1 1施力頻率/Hz3 805～3 8174 262～4 279中間部分阻尼88×10-9檢測(cè)梳齒阻尼 11×10-9

由圖6可知，杠桿耦合陀螺在諧振下的最大位移為0.67 μm，帶寬為8 Hz。而直接耦合陀螺在諧振下最大位移為0.418 μm，帶寬為11 Hz，其檢測(cè)梳齒位移放大比為1.601。根據(jù)式(18)理論計(jì)算值1.744，準(zhǔn)確率為91.9%，驗(yàn)證了杠桿檢測(cè)位移放大理論的準(zhǔn)確性。同時(shí)可看出檢測(cè)梳齒與中心質(zhì)量塊位移比為2.22，大于B，這可能是在該頻率下檢測(cè)框形成局部共振引起的，但其具體機(jī)理需進(jìn)一步分析。

4 結(jié)束語(yǔ)

設(shè)計(jì)了一種基于柔性杠桿的位移放大微機(jī)械陀螺。通過(guò)二階振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型分析了杠桿結(jié)構(gòu)對(duì)微機(jī)械陀螺特性的影響機(jī)理。分析表明，杠桿結(jié)構(gòu)通過(guò)改變陀螺的結(jié)構(gòu)靜剛度與等效質(zhì)量，從而改變陀螺的固有頻率值。進(jìn)一步分析了陀螺檢測(cè)位移的諧響應(yīng)值，即放大效率與杠桿放大倍數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系。通過(guò)仿真實(shí)例驗(yàn)證，杠桿結(jié)構(gòu)能改善結(jié)構(gòu)的固有諧振頻率，在由于靜電調(diào)諧電極等結(jié)構(gòu)導(dǎo)致檢測(cè)梳齒的阻尼小于其余部分阻尼的情況下，能顯著提升檢測(cè)位移，進(jìn)而提升檢測(cè)精度，對(duì)今后微機(jī)械陀螺的設(shè)計(jì)與制作具有較好的指導(dǎo)意義。