黃 達(dá)，魏 亞，郭為強(qiáng)，汪林兵

(1.清華大學(xué) 土木工程系，土木工程安全與耐久教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084；2.北京科技大學(xué) 國(guó)家材料服役安全科學(xué)中心，北京 100083)

0 引言

道路結(jié)構(gòu)持續(xù)受到車(chē)輛的振動(dòng)、沖擊荷載作用，這些機(jī)械能若不能被利用將直接使道路受迫振動(dòng)與變形，甚至是疲勞破壞，并最終以?xún)?nèi)能的形式散失。因此，利用能量收集技術(shù)吸收機(jī)械能并轉(zhuǎn)化為交通附屬設(shè)施可利用的電能[1]，是實(shí)現(xiàn)廢棄能量向高效潔凈、可利用的能量轉(zhuǎn)化的有效途徑。由壓電換能器、能量收集電路等電路元件組合形成的路面振動(dòng)能量收集系統(tǒng)，可有效地將環(huán)境中的振動(dòng)機(jī)械能轉(zhuǎn)換成可供低能耗電子器件利用的電能[2]。

介質(zhì)損耗指絕緣材料在電場(chǎng)作用下，由于介質(zhì)電導(dǎo)和介質(zhì)極化的滯后效應(yīng)，在其內(nèi)部引起的能量損耗，普遍存在于各類(lèi)壓電材料。目前對(duì)于壓電材料的理論分析大多采用的是不考慮介質(zhì)損耗的理想模型[3-5]，利用該理想模型推導(dǎo)的開(kāi)路輸出電壓公式與荷載頻率無(wú)關(guān)[6]，而已有的試驗(yàn)結(jié)論分析表明，實(shí)際壓電陶瓷的開(kāi)路電壓隨荷載頻率變化明顯。黃斌等[7]、楊海露[8]發(fā)現(xiàn)壓電換能器在不同頻率下開(kāi)路輸出電壓與加載頻率有明顯正相關(guān)關(guān)系。Yang等[9]依托云南麻昭高速公路的實(shí)地試驗(yàn)也表明：預(yù)埋置于路面的壓電換能器在承受相同車(chē)輛軸載的條件下，隨車(chē)輛行駛速度的增加，示波器收集到的電壓信號(hào)明顯增大。

為修正理想模型的開(kāi)路輸出電壓值與實(shí)際輸出值的差異，本文推導(dǎo)考慮介質(zhì)損耗影響的開(kāi)路輸出電壓與荷載頻率的關(guān)系式，并設(shè)計(jì)了驗(yàn)證性試驗(yàn)及采用有限元模擬方法，分別在不同換能器結(jié)構(gòu)、不同荷載幅值及不同加載頻率下驗(yàn)證公式預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值的吻合性。研究壓電陶瓷的實(shí)際開(kāi)路輸出電壓，對(duì)于將路面壓電能量收集系統(tǒng)應(yīng)用于多場(chǎng)景、復(fù)雜道路環(huán)境具有重要的意義。

1 壓電換能器的等效電路圖

1.1 問(wèn)題描述

在機(jī)械約束、電學(xué)短路的條件下，采用第一類(lèi)壓電方程可推導(dǎo)理想條件下壓電材料開(kāi)路輸出電壓[10]：

(1)

式中：i,j=1,2,…,6;m,k=1,2,3;S為應(yīng)變張量；T為應(yīng)力張量；sE為恒定電場(chǎng)條件下壓電材料柔度系數(shù)張量；E為外電場(chǎng)張量；D為電位移張量；d為壓電應(yīng)變常數(shù)張量；εT為恒定應(yīng)力條件下節(jié)點(diǎn)常數(shù)張量。鋯鈦酸鉛(PZT)類(lèi)壓電陶瓷由于制作方便、電學(xué)性能參數(shù)優(yōu)越，是使用最廣泛的壓電陶瓷材料[6]。由此可推導(dǎo)以PZT-5H壓電陶瓷為典型的d33型理想條件下，壓電換能器開(kāi)路輸出電壓公式[11]：

(2)

式中：h為壓電陶瓷片厚度；A為壓電陶瓷片的受壓面積；F0為壓電陶瓷片表面所受力；Cp為理想條件下壓電陶瓷片電容。

式(2)不含荷載頻率參數(shù)，這表明理想壓電陶瓷的開(kāi)路輸出電壓與荷載頻率無(wú)關(guān)，這顯然與黃斌等[7]、楊海露[8]、Yang等[9]的試驗(yàn)結(jié)果不符。這說(shuō)明存在某種因素使實(shí)際開(kāi)路輸出電壓并不符合理想條件下壓電陶瓷開(kāi)路輸出電壓與頻率無(wú)關(guān)的特征。因此，研究者分析了介質(zhì)損耗對(duì)壓電陶瓷輸出電能的影響[10-11]。如KIM等[12]在研究中引入效率指標(biāo)綜合考慮介質(zhì)損耗與其他各種因素對(duì)壓電陶瓷輸出電能的損失，但該方法僅利用一個(gè)參數(shù)描述輸出電能損失，物理意義不明確。

本文將建立考慮介質(zhì)損耗影響的實(shí)際壓電換能器的等效電路圖，并基于該電路圖定量推導(dǎo)實(shí)際壓電換能器開(kāi)路輸出電壓理論公式。

1.2 考慮介質(zhì)損耗的實(shí)際壓電陶瓷等效電路圖

Ottman等[13]對(duì)能量收集電路進(jìn)行研究時(shí)采用壓電陶瓷單元的簡(jiǎn)化模型：將壓電陶瓷等效為一個(gè)電流源與電容器并聯(lián)，并由該系統(tǒng)向外供電(見(jiàn)圖1(a))。Ottman模型不考慮介質(zhì)損耗，為理想條件的壓電陶瓷等效電路圖。然而，電介質(zhì)在電壓或電場(chǎng)的作用下都會(huì)產(chǎn)生介質(zhì)損耗，主要是由極化弛豫和漏電引起的。通過(guò)電介質(zhì)的電流由3部分組成：

1) 無(wú)損極化電流，即電容電流IC0。

2) 有損極化電流，即吸收電流Ia。

3) 電介質(zhì)電導(dǎo)電流，即泄漏電流Ig[14]，可表示為

I=IC0+Ia+Ig

(3)

由此可將實(shí)際電容器等效為3支路并聯(lián)等效電路(見(jiàn)圖1(b))。其中通過(guò)C支路的為IC0，通過(guò)電阻R1及電容ΔC支路的為Ia，通過(guò)電阻R支路的為Ig。根據(jù)進(jìn)一步變換，該電容器可等效為RC并聯(lián)等效電路(見(jiàn)圖1(c))。該電路由等效電阻支路Rp與電容支路Cp構(gòu)成，圖中U為壓電陶瓷的開(kāi)路輸出電壓。

圖1 等效電路圖

根據(jù)RC并聯(lián)等效電路模型，定義介質(zhì)損耗角的正切值來(lái)表示介質(zhì)損耗的大小，稱(chēng)為介質(zhì)損耗因子或介質(zhì)損耗角正切，其定義式為

(4)

式中：IR為RC并聯(lián)等效電路通過(guò)Rp的電流；IC為通過(guò)Cp的電流(見(jiàn)圖1(c))。

將 Ottman模型中的理想電容器替換為RC并聯(lián)等效電路可得到考慮介質(zhì)損耗的實(shí)際壓電換能器的等效電路圖(見(jiàn)圖1(d))。

2 考慮介質(zhì)損耗的PZT-5H壓電陶瓷實(shí)際開(kāi)路輸出電壓公式推導(dǎo)

采用1.2節(jié)定義的實(shí)際壓電換能器等效電路圖，推導(dǎo)不同加載頻率下開(kāi)路輸出電壓。設(shè)加載過(guò)程壓電陶瓷所受正弦荷載F(t)=F0sin(ωt+φ)，其中F0為荷載峰值，ω為荷載頻率，φ為荷載初相位。由于路面交通荷載頻率一般為1～20 Hz且遠(yuǎn)低于壓電陶瓷共振點(diǎn)，加載過(guò)程可視為準(zhǔn)靜態(tài)加載。

壓電陶瓷的輸出電流由材料受到機(jī)械荷載作用時(shí)內(nèi)部電荷定向移動(dòng)產(chǎn)生：

(5)

由于加載過(guò)程中不存在外電場(chǎng)，載荷方向極化轉(zhuǎn)移的電荷量可由下式確定：

Q=?Ad33T3(t)dA=d33F(t)

(6)

式中T3(t)為3方向壓電陶瓷表面所受應(yīng)力。

(7)

由圖1(d)可知，由于實(shí)際壓電換能器的等效電路圖存在電阻支路及電容支路，根據(jù)基爾霍夫定理：

(8)

可得

(9)

設(shè)φ=0，并進(jìn)一步化簡(jiǎn)得

(10)

由式(2)、(10)得出開(kāi)路輸出電壓的幅值為

(11)

式中：R為RC并聯(lián)等效電路中的等效電阻；C為RC并聯(lián)等效電路中的等效電容。

含有介質(zhì)損耗的實(shí)際壓電陶瓷片的開(kāi)路輸出電壓與ω存在關(guān)系式(11)。對(duì)比式(2)可知，由于實(shí)際壓電陶瓷片介質(zhì)損耗的存在，極化電荷通過(guò)極化弛豫與漏電部分耗散，導(dǎo)致壓電陶瓷片實(shí)際開(kāi)路輸出電壓低于理想值，且當(dāng)電流頻率，即加載頻率增大時(shí)，這種漏電現(xiàn)象被抑制，有利于極化電荷累積于等效電容器，從而產(chǎn)生更高的開(kāi)路電壓，這也是實(shí)際壓電陶瓷片開(kāi)路輸出電壓隨外荷載頻率增大而增大的根本原因。

3 實(shí)際開(kāi)路輸出電壓測(cè)試

3.1 材料與加載試驗(yàn)

本試驗(yàn)采用INSTRON8874高精度萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī)作為加載設(shè)備，并采用示波器采集電壓信號(hào)。萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī)的最大加載荷載為5 kN，荷載控制精度為0.05 kN，頻率控制精度為0.1 Hz。試驗(yàn)中加載頻率為1～20 Hz，考慮到壓電陶瓷的脆性，實(shí)際加載荷載為300～1 000 N。

本試驗(yàn)采用PZT-5H壓電陶瓷片的材料參數(shù)如表1所示。

表1 PZT-5H材料參數(shù)表

圖2 試驗(yàn)材料

本試驗(yàn)在單片及多片堆棧(見(jiàn)圖2(a))兩種換能器結(jié)構(gòu)條件下分別對(duì)實(shí)際輸出電壓公式進(jìn)行驗(yàn)證。單片試驗(yàn)材料采用環(huán)形PZT-5H壓電陶瓷片，其外徑為34 mm，內(nèi)徑為10 mm，h=5 mm(見(jiàn)圖2(b))；堆棧式多片并聯(lián)試驗(yàn)材料采用圓形PZT-5H壓電陶瓷片，其沿軸向極化，直徑為20 mm，h=7.5 mm(見(jiàn)圖2(c))。多片試驗(yàn)由3片壓電陶瓷堆疊成堆棧式壓電發(fā)電結(jié)構(gòu)，由于并聯(lián)結(jié)構(gòu)需要引出中間電極，為保證導(dǎo)電性，將導(dǎo)電銀漆均勻涂抹于電極片和壓電陶瓷片表面，按同極并聯(lián)的方式將陶瓷片和電極片粘結(jié)。

3.2 基于試驗(yàn)結(jié)果求解試驗(yàn)材料的RC參數(shù)

為確定式(11)中的參數(shù)RC，本文選用部分荷載頻率下的試驗(yàn)值作為開(kāi)路輸出電壓值結(jié)果，進(jìn)而反算出參數(shù)RC，并用于預(yù)測(cè)其他荷載頻率下實(shí)際壓電換能器的開(kāi)路輸出電壓。

將單片試驗(yàn)的荷載頻率為5 Hz時(shí)得到的實(shí)測(cè)值U5 Hz=18 V作為電壓輸出結(jié)果，代入式(11)，可得單片試驗(yàn)材料的參數(shù)R2C2=0.024 0 s2，并由此得到300 N、500 N、1 000 N荷載條件下的單片材料開(kāi)路輸出電壓分別為

(12)

(13)

(14)

將堆棧式多片并聯(lián)試驗(yàn)中采用荷載為15 Hz和1 Hz條件下的實(shí)測(cè)值分別為U15 Hz=721.1 V及U1 Hz=505.4 V作為電壓輸出結(jié)果，代入式(11)可得堆棧式結(jié)構(gòu)參數(shù)U0=722.77 V及R2C2=0.956 8 s2，并得出堆棧式并聯(lián)結(jié)構(gòu)在1 500 N時(shí)的開(kāi)路輸出電壓為

(15)

4 有限元模擬預(yù)測(cè)

4.1 有限元分析模型

為輔助驗(yàn)證試驗(yàn)結(jié)果，采用有限元分析軟件ANSYS對(duì)理想條件下壓電換能器開(kāi)路輸出電壓進(jìn)行模擬。該模型包括實(shí)驗(yàn)用單片環(huán)形壓電陶瓷片，采用SOLID5三維耦合場(chǎng)體單元。由于實(shí)際加載中壓電陶瓷上表面為加載面，因此，在該環(huán)形壓電陶瓷片的底面設(shè)置了位移邊界條件。輸入尺寸參數(shù)和受力情況與試驗(yàn)相同，PZT-5H壓電陶瓷片材料特性輸入?yún)?shù)為

(16)

(C/m2)

(17)

(18)

式中:εS為機(jī)械約束條件下介電常數(shù)矩陣；e為壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣；CE為剛度矩陣。

圖3為有限元分析結(jié)果電勢(shì)分布圖。由圖可知，荷載幅值為300 N時(shí)，單片環(huán)形壓電陶瓷片受壓面最大電勢(shì)為29.4 V；荷載幅值為500 N時(shí)，單片環(huán)形壓電陶瓷片受壓面最大電勢(shì)為49.9 V；荷載幅值為1 000 N時(shí)，單片環(huán)形壓電陶瓷片受壓面最大電勢(shì)為97.9 V。

圖3 單片環(huán)形壓電陶瓷片電勢(shì)分布圖

4.2 單片壓電陶瓷片試驗(yàn)值、理論預(yù)測(cè)值與有限元模擬值比較

對(duì)比3組數(shù)據(jù),即

1) 示波器電壓信號(hào)實(shí)測(cè)值。

2) 壓電換能器開(kāi)路輸出電壓預(yù)測(cè)值。

3) 通過(guò)有限元分析理想條件下的開(kāi)路輸出電壓模擬值。由于有限元分析不涉及介質(zhì)損耗，符合理想式(2)。

圖4為3組數(shù)據(jù)對(duì)比。當(dāng)ω<10 Hz，壓電換能器開(kāi)路輸出電壓隨著ω的增加而顯著增加，但仍遠(yuǎn)低于其在高頻加載時(shí)的開(kāi)路輸出電壓。

圖4 單片結(jié)構(gòu)在不同荷載下的試驗(yàn)值、預(yù)測(cè)值及有限元模擬值對(duì)比

當(dāng)ω>10 Hz，開(kāi)路輸出電壓隨ω增加逐漸趨近于理想壓電換能器開(kāi)路輸出電壓。這說(shuō)明理想模型不適用于低頻加載的情況，只有在ω較高時(shí)，壓電陶瓷開(kāi)路輸出電壓才接近于理想開(kāi)路輸出電壓。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，車(chē)速越快，開(kāi)路輸出電壓越高，因此，將路面能量收集系統(tǒng)應(yīng)用于高速公路，發(fā)電效果將得到提升。

4.3 堆棧式多片并聯(lián)壓電陶瓷片試驗(yàn)值、理論預(yù)測(cè)值比較

圖5為堆棧式多片并聯(lián)試驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值對(duì)比。多片壓電陶瓷片開(kāi)路輸出電壓特性與單片相似，當(dāng)ω<5 Hz，開(kāi)路輸出電壓隨著ω的增加而增加。當(dāng)ω>5 Hz，開(kāi)路輸出電壓逐漸趨近于理想壓電換能器開(kāi)路輸出電壓。

圖5 堆棧式多片并聯(lián)試驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值的對(duì)比

5 結(jié)論

本文通過(guò)加載試驗(yàn)表明低頻荷載條件下壓電陶瓷開(kāi)路輸出電壓與荷載頻率間具有正相關(guān)關(guān)系，不能采用理想開(kāi)路電壓輸出公式計(jì)算。針對(duì)該問(wèn)題，推導(dǎo)了可考慮介質(zhì)損耗的實(shí)際壓電換能器開(kāi)路輸出電壓公式。主要結(jié)論如下：

1) 與理想條件下的壓電換能器相比，介質(zhì)損耗引起的漏電現(xiàn)象使壓電陶瓷受壓極化電荷產(chǎn)生損失，從而導(dǎo)致其開(kāi)路輸出電壓降低。隨著荷載頻率增大，通過(guò)漏電耗散的極化電荷量降低，這是開(kāi)路輸出電壓隨荷載頻率增大而上升的根本原因。

2) 基于等效電路模型，理論推導(dǎo)了考慮介質(zhì)損耗的實(shí)際壓電換能器開(kāi)路輸出電壓公式，其與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合良好。

3) 采用萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī)模擬了實(shí)際道路交通條件下壓電換能器的受荷載情況。結(jié)果表明,在某些特定場(chǎng)景低頻荷載條件下，如城市主干道行駛速度不超過(guò)60～80 km/h，對(duì)應(yīng)荷載頻率約為5 Hz，此時(shí)壓電陶瓷開(kāi)路輸出電壓約為最大開(kāi)路輸出電壓的61%。