陳良驥 王中州 睢英照 魏廣西

(天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300387)

0 引言

相對(duì)于三軸數(shù)控機(jī)床，五軸數(shù)控機(jī)床在3個(gè)平動(dòng)軸的基礎(chǔ)上增加了2個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，加工過程中可有效避免刀具干涉與碰撞等問題，并能獲得更好的零件表面加工精度，尤其在加工復(fù)雜自由曲面時(shí)更具有優(yōu)勢。線性插補(bǔ)作為數(shù)控系統(tǒng)最基本的軌跡控制方法，可在三軸加工中獲得較好的加工效果。與之不同的是，五軸加工時(shí)由于2個(gè)旋轉(zhuǎn)軸將與3個(gè)平動(dòng)軸共同實(shí)現(xiàn)線性軌跡的運(yùn)動(dòng)合成，刀具擺動(dòng)后將在空間中產(chǎn)生復(fù)雜的軌跡曲線，所獲得的刀觸點(diǎn)路徑也將會(huì)偏離預(yù)先設(shè)定的刀觸點(diǎn)線性軌跡，從而產(chǎn)生刀觸點(diǎn)路徑非線性誤差[1-5]。有效降低刀具擺動(dòng)引起的非線性誤差已逐漸成為五軸數(shù)控加工中急需解決的關(guān)鍵問題之一。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)五軸數(shù)控加工非線性誤差開展了相關(guān)的研究。文獻(xiàn)[6-9]分析由離散線性運(yùn)動(dòng)逼近理想刀具軌跡所引起的理論加工誤差，并給出滿足精度要求的走刀步長估計(jì)算法，從而控制加工誤差。文獻(xiàn)[10-12]在軌跡插補(bǔ)之后，對(duì)實(shí)時(shí)插補(bǔ)中相鄰插補(bǔ)點(diǎn)之間的非線性誤差進(jìn)行控制，并通過約束進(jìn)給速度對(duì)非線性誤差進(jìn)行控制。文獻(xiàn)[13-14]通過旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)將工件的實(shí)際姿態(tài)調(diào)整到與理想姿態(tài)相同，對(duì)旋轉(zhuǎn)軸引起的誤差進(jìn)行補(bǔ)償。文獻(xiàn)[15-17]通過控制刀軸矢量插補(bǔ)保證刀軸矢量始終位于首末向量所決定的平面，以減小非線性誤差。文獻(xiàn)[18-19]對(duì)刀軸矢量之間進(jìn)行平滑過渡，以避免局部角度變化較大引起的刀具擺動(dòng)誤差，從而減小由擺動(dòng)角度引起的非線性誤差。文獻(xiàn)[20-21]通過對(duì)刀具路徑和數(shù)據(jù)密化減小非線性誤差。BHUIYA等[22]通過理想關(guān)節(jié)軌跡確定加工插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)值，以此減小預(yù)期刀具路徑中加工誤差。ZHANG等[23]提出使用一種名為SSALI的方法來減小非線性誤差。以上方法對(duì)刀心位置處非線性誤差的補(bǔ)償和降低方面能起到較好作用，但仍然存在如下問題：對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行密化的同時(shí)，導(dǎo)致數(shù)控加工程序的數(shù)量增多，CNC數(shù)控系統(tǒng)的精度和數(shù)控機(jī)床的精度都會(huì)受到影響；在加工過程中存在不能將刀軸矢量控制在理想加工平面內(nèi)的情形；仍然不能有效地降低刀觸點(diǎn)線性路徑的非線性軌跡誤差。

本文提出一種基于刀觸點(diǎn)數(shù)據(jù)信息的五軸加工刀具軌跡控制方法。該方法通過計(jì)算刀心點(diǎn)、刀觸點(diǎn)、加工軌跡三者之間的位置關(guān)系，來確定誤差修復(fù)量，由此計(jì)算新的插補(bǔ)刀心點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)五軸加工時(shí)刀觸點(diǎn)線性路徑非線性誤差的有效控制，提高五軸線性插補(bǔ)時(shí)的刀觸點(diǎn)線性軌跡控制精度。

1 雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)分析

五軸數(shù)控加工需要通過CAD/CAM軟件按照工件不動(dòng)、刀具運(yùn)動(dòng)的編程形式得到一個(gè)不針對(duì)具體機(jī)床的前置刀位軌跡數(shù)據(jù)，然后將前置刀位軌跡數(shù)據(jù)按照具體的五軸數(shù)控機(jī)床結(jié)構(gòu)通過空間解析幾何、齊次坐標(biāo)變換為機(jī)床坐標(biāo)系下各運(yùn)動(dòng)軸的坐標(biāo)。

在對(duì)五軸數(shù)控機(jī)床非線性誤差分析前，首先建立五軸數(shù)控機(jī)床模型，不同結(jié)構(gòu)形式的五軸數(shù)控機(jī)床對(duì)非線性誤差的影響也各有差異，本文采用A-C雙轉(zhuǎn)臺(tái)式五軸數(shù)控機(jī)床進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，其中A軸和C軸分別為五軸機(jī)床的2個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，其結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。

圖1 A-C雙轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)五軸機(jī)床Fig.1 Five-axis machine tool with A-C rotary tables

建立該雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸數(shù)控機(jī)床的各坐標(biāo)系，如圖2所示OTXTYTZT為與刀具固連的刀具坐標(biāo)系，原點(diǎn)設(shè)在刀具中心點(diǎn)；OWXWYWZW為與工件固連的工件坐標(biāo)系；OMXMYMZM、OAXAYAZA、OCXCYCZC分別為機(jī)床坐標(biāo)系、定軸A轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系及動(dòng)軸C轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系，lOCOA=d、lOTOW=m。

圖2 雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸機(jī)床各坐標(biāo)系及變換關(guān)系Fig.2 Coordinate systems and conversion relationship of five-axis machine tool

五軸數(shù)控機(jī)床切削加工運(yùn)動(dòng)關(guān)系為刀具坐標(biāo)系相對(duì)于工件坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換。在工件坐標(biāo)系中，刀心點(diǎn)和刀軸單位矢量分別為PW=(x,y,z)′、VW=(I,J,K)′。在刀具坐標(biāo)系中，刀心點(diǎn)和刀軸單位矢量分別為PT=(0,0,0)′、VT=(0,0,1)′。機(jī)床平動(dòng)軸初始位置在機(jī)床坐標(biāo)系原點(diǎn)OM，A、C旋轉(zhuǎn)軸的初始位置為-θA、-θC。(xW,yW,0,uW,vW,0)為工件坐標(biāo)系中選取的對(duì)刀點(diǎn)位置坐標(biāo)。

利用齊次坐標(biāo)變換矩陣，可得在工件坐標(biāo)系下的坐標(biāo)變換公式為

(1)

(2)

式中 (u,v,w)——工件坐標(biāo)系下刀觸點(diǎn)位置坐標(biāo)

(x,y,z)——工件坐標(biāo)系下刀心點(diǎn)位置坐標(biāo)

(θA,θC)——機(jī)床坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)軸角位移

(X,Y,Z)——機(jī)床坐標(biāo)系下刀心點(diǎn)位置坐標(biāo)

(U,V,W)——機(jī)床坐標(biāo)系下刀觸點(diǎn)位置坐標(biāo)

根據(jù)式(1)可計(jì)算出旋轉(zhuǎn)軸的角位移為

(3)

當(dāng)K=±1時(shí)，取C軸的角位移θC與上一個(gè)加工位置的角位移相等。根據(jù)式(2)則可計(jì)算刀心點(diǎn)和刀觸點(diǎn)的位置坐標(biāo)分別為

(4)

2 非線性誤差分析及控制

在雙轉(zhuǎn)臺(tái)式五軸數(shù)控機(jī)床的加工過程中，刀具沿平動(dòng)軸進(jìn)行平行移動(dòng)，2個(gè)工作臺(tái)會(huì)圍繞平動(dòng)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。在實(shí)際加工過程中，工作臺(tái)加工的位姿轉(zhuǎn)動(dòng)是一個(gè)空間姿態(tài)，空間狀態(tài)難以想象。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，可運(yùn)用雙擺頭式五軸數(shù)控機(jī)床加工過程對(duì)五軸數(shù)控機(jī)床刀觸點(diǎn)非線性運(yùn)動(dòng)誤差的產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行描述。

2.1 刀觸點(diǎn)非線性誤差的產(chǎn)生

在機(jī)床坐標(biāo)系下，刀觸點(diǎn)處非線性誤差的產(chǎn)生機(jī)理如圖3所示。一般而言，數(shù)控系統(tǒng)將控制刀心點(diǎn)O沿著從Os到Oe的直線軌跡做插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)。使用這種方法的最大弊端是忽略了刀觸點(diǎn)C從Cs到Ce的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡。由于刀具的擺動(dòng)，從Cs到Ce的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡將逐漸偏離預(yù)設(shè)的刀觸點(diǎn)線性路徑(圖3中綠色實(shí)線)，呈現(xiàn)較復(fù)雜的非線性運(yùn)動(dòng)軌跡(圖3中藍(lán)色虛線)，兩條路徑之間的偏差ε即為刀觸點(diǎn)非線性誤差。由于刀觸點(diǎn)是切削刀具與加工表面的接觸點(diǎn)，因此，對(duì)于切削表面成形精度粗糙度而言，提高刀觸點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)軌跡控制精度更具有意義。

圖3 刀觸點(diǎn)非線性誤差分析示意圖Fig.3 Schematic of nonlinear error analysis of CC point

2.2 刀觸點(diǎn)非線性誤差的計(jì)算

首先由數(shù)控系統(tǒng)讀取數(shù)控加工文件中兩個(gè)相鄰的待加工程序段：其描述的刀心點(diǎn)位置坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)軸角位移(Xs,Ys,Zs,θAs,θCs)和(Xe,Ye,Ze,θAe,θCe)分別作為加工路徑段起點(diǎn)和終點(diǎn)的刀位數(shù)據(jù)信息；其描述的刀觸點(diǎn)位置坐標(biāo)(Us,Vs,Ws)和(Ue,Ve,We)分別作為加工路徑段起點(diǎn)和終點(diǎn)的刀觸點(diǎn)數(shù)據(jù)信息。

其次數(shù)控系統(tǒng)讀取加工路徑段的切削進(jìn)給速度，根據(jù)起點(diǎn)和終點(diǎn)刀心點(diǎn)位置坐標(biāo)(Xs,Ys,Zs)和(Xe,Ye,Ze)并結(jié)合數(shù)控系統(tǒng)的插補(bǔ)周期，可分別求出加工路徑段的長度和完成該路徑段所需的插補(bǔ)刀心點(diǎn)數(shù)量為

n=[D/(Ft)]

(5)

(6)

式中D——加工路徑段的長度

n——插補(bǔ)刀心點(diǎn)數(shù)量

F——切削進(jìn)給速度

t——數(shù)控系統(tǒng)的插補(bǔ)周期

算子[·]表示取整運(yùn)算，插補(bǔ)過程中的第i個(gè)插補(bǔ)刀心點(diǎn)Oi的位置坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)軸角位移為

(7)

式中 (Xi,Yi,Zi)——第i個(gè)插補(bǔ)刀心點(diǎn)Oi的位置坐標(biāo)

在插補(bǔ)過程中，刀具在第i個(gè)插補(bǔ)刀心點(diǎn)繞X軸旋轉(zhuǎn)-θAi，繞Z軸旋轉(zhuǎn)-θCi，則刀具在第i個(gè)插補(bǔ)刀心點(diǎn)處刀軸單位矢量的坐標(biāo)變換矩陣可表示為

MT=R(Z，-θCi)R(X，-θAi)=

(8)

式中MT——第i個(gè)插補(bǔ)刀心點(diǎn)處刀軸單位矢量坐標(biāo)變換矩陣

將圖3在第i個(gè)插補(bǔ)刀心點(diǎn)位置Oi處進(jìn)行局部放大后見圖4。圖4中Ci為與Oi相對(duì)應(yīng)的實(shí)際刀觸點(diǎn)位置、Ei為實(shí)際刀觸點(diǎn)路徑曲線在第i個(gè)插補(bǔ)刀觸點(diǎn)處的切線方向矢量、Pc為Oi到預(yù)設(shè)的刀觸點(diǎn)線性路徑lCsCe的垂足位置矢量。

圖4 插補(bǔ)刀心點(diǎn)處的局部放大示意圖Fig.4 Local schematic of interpolation cutter’s center

由于初始狀態(tài)下的刀軸單位矢量為(0,0,1)′，則實(shí)際加工過程中刀具處于第i個(gè)插補(bǔ)刀心點(diǎn)時(shí)的刀軸單位矢量和Ci指向Oi方向上的單位矢量分別為

Tn=(Txi,Tyi,Tzi)′=MT(0,0,1)′

(9)

(10)

其中Ei=(Us-Ui-1,Vs-Vi-1,Ws-Wi-1)′

式中Tn——第i個(gè)插補(bǔ)刀心點(diǎn)時(shí)的刀軸單位矢量

Vb——Ci指向Oi方向上的單位矢量

第i個(gè)插補(bǔ)刀心點(diǎn)Oi對(duì)應(yīng)的刀觸點(diǎn)Ci的位置坐標(biāo)為

(11)

式中 (Ui,Vi,Wi)——刀觸點(diǎn)Ci的位置坐標(biāo)

R——刀具半徑

第i個(gè)插補(bǔ)刀心點(diǎn)對(duì)應(yīng)的刀觸點(diǎn)Ci到預(yù)設(shè)的刀觸點(diǎn)線性路徑lCsCe的垂直距離即該刀觸點(diǎn)處的非線性誤差計(jì)算式為

(12)

式中 (Us,Vs,Ws)——刀觸點(diǎn)線性路徑的起始刀觸點(diǎn)位置坐標(biāo)

l、m、n——刀觸點(diǎn)線性路徑lCsCe的方向矢量

i、j、k——單位矢量

‖·‖——對(duì)矢量求模運(yùn)算

2.3 刀觸點(diǎn)非線性誤差的補(bǔ)償與修復(fù)

將[ε]=10 μm作為非線性誤差的修復(fù)標(biāo)準(zhǔn)，若式(12)計(jì)算的ε>[ε]則需要對(duì)該插補(bǔ)刀心點(diǎn)進(jìn)行位置補(bǔ)償與修復(fù)。修復(fù)的基本原則為：刀軸矢量方向不改變，同時(shí)利用ε作為位置補(bǔ)償量對(duì)當(dāng)前插補(bǔ)刀心點(diǎn)進(jìn)行誤差的修復(fù)。

如圖4所示，假設(shè)Oi在刀觸點(diǎn)線性路徑lCsCe上的垂足為Pc=(Uc,Vc,Wc)，根據(jù)刀觸點(diǎn)線性路徑lCsCe的方程為

(13)

可得過點(diǎn)Oi且與直線lCsCe垂直的平面方程為

(Ue-Us)(Uc-Xi)+(Ve-Vs)(Vc-Yi)+
(We-Ws)(Wc-Zi)=0

(14)

聯(lián)立式(13)、(14)可求得垂足。

設(shè)誤差修復(fù)的方向單位矢量為

(15)

式中Txf——誤差修復(fù)的方向單位矢量

根據(jù)式(12)和式(15)，可計(jì)算出修復(fù)后的新插補(bǔ)刀心點(diǎn)坐標(biāo)為

On=Oi+εTxf

(16)

式中On——修復(fù)后的新插補(bǔ)刀心點(diǎn)坐標(biāo)

上述刀觸點(diǎn)非線性誤差計(jì)算與插補(bǔ)刀心點(diǎn)修復(fù)的軌跡控制過程如圖5所示。

圖5 非線性誤差補(bǔ)償方法流程Fig.5 Flow chart of nonlinear error compensation method

3 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

通過UG/NX對(duì)葉輪葉片進(jìn)行建模和加工，葉輪葉片是自由曲面數(shù)控加工的典型加工模型，根據(jù)本文所提出的刀觸點(diǎn)非線性誤差的修復(fù)方法對(duì)葉輪葉片加工程序段進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。表1為葉片NC加工程序中選取的相鄰2個(gè)程序段的數(shù)據(jù)。將這兩組數(shù)據(jù)分別作為刀心點(diǎn)路徑、旋轉(zhuǎn)軸角位移和刀觸點(diǎn)線性路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)。采用數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)原理在起點(diǎn)和終點(diǎn)之間作線性插補(bǔ)運(yùn)算(插補(bǔ)周期t=2 ms)，分別得到插補(bǔ)刀心點(diǎn)、轉(zhuǎn)角和插補(bǔ)刀觸點(diǎn)。同時(shí)結(jié)合刀觸點(diǎn)非線性誤差的計(jì)算公式及誤差補(bǔ)償與修復(fù)公式，分別計(jì)算線性插補(bǔ)時(shí)刀觸點(diǎn)非線性誤差和修復(fù)后的非線性誤差，并利用Matlab繪制數(shù)據(jù)曲線。

表1 NC加工數(shù)據(jù)Tab.1 NC machining data

3.1 補(bǔ)償與修復(fù)前后刀觸點(diǎn)路徑對(duì)比

針對(duì)以上葉片NC加工程序中選取的兩個(gè)相鄰加工程序段的數(shù)據(jù)，采用本文提出的刀觸點(diǎn)路徑非線性誤差修復(fù)與補(bǔ)償方法對(duì)加工過程中的刀觸點(diǎn)誤差進(jìn)行補(bǔ)償與修復(fù)，并繪制補(bǔ)償與修復(fù)前后的刀觸點(diǎn)路徑曲線，如圖6所示。圖6中理想刀觸點(diǎn)線性路徑從起點(diǎn)到終點(diǎn)的長度為1.411 mm。可以看出補(bǔ)償后的刀觸點(diǎn)路徑比補(bǔ)償前的刀觸點(diǎn)軌跡更貼合理想的刀觸點(diǎn)線性路徑，能達(dá)到對(duì)實(shí)際刀觸點(diǎn)路徑趨近于理想刀觸點(diǎn)路徑的預(yù)期控制效果。對(duì)圖6中的區(qū)域Ⅰ進(jìn)行局部放大后如圖7所示。

圖6 修復(fù)前后刀觸點(diǎn)路徑對(duì)比Fig.6 Contrast of uncorrected and corrected CC paths

圖7 區(qū)域Ⅰ的局部放大圖Fig.7 Local zoom out of area Ⅰ

3.2 補(bǔ)償與修復(fù)前后非線性誤差對(duì)比

五軸線性插補(bǔ)時(shí)，對(duì)每個(gè)插補(bǔ)刀心點(diǎn)都計(jì)算出相應(yīng)的刀觸點(diǎn)非線性誤差，如該誤差超出允許誤差，計(jì)算誤差補(bǔ)償距離和補(bǔ)償方向矢量，對(duì)插補(bǔ)刀心點(diǎn)的位置進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償以降低插補(bǔ)刀觸點(diǎn)處的非線性誤差。圖8為修復(fù)前后刀觸點(diǎn)非線性誤差的對(duì)比示意圖，可以看出本文提出的方法可以有效降低五軸線性插補(bǔ)過程中刀觸點(diǎn)路徑的非線性誤差。

圖8 修復(fù)前后刀觸點(diǎn)非線性誤差對(duì)比Fig.8 Contrast of uncorrected and corrected nonlinear errors of CC points

本文所提出的方法可在不增加插補(bǔ)刀心點(diǎn)的基礎(chǔ)上對(duì)誤差進(jìn)行補(bǔ)償與修復(fù)，對(duì)降低刀觸點(diǎn)線性軌跡的非線性誤差具有顯著效果,在保證加工精度的同時(shí)也提高了加工效率，同時(shí)也可減少編程工作量、提高編程效率。

為驗(yàn)證本文所提出方法的有效性，在DMG DMU 80T型五軸加工中心上進(jìn)行了一張自由曲面的五軸切削加工實(shí)驗(yàn)，五軸切削加工過程如圖9所示。

圖9 自由曲面的五軸切削加工過程Fig.9 Five-axis cutting process of a freeform surface

圖10a為未采用刀觸點(diǎn)路徑非線性誤差補(bǔ)償與修復(fù)方法時(shí)獲得的曲面加工件，經(jīng)檢測該工件表面粗糙度為3.4 μm。采用本文提出的刀觸點(diǎn)路徑非線性誤差補(bǔ)償與修復(fù)方法獲得的曲面加工件如圖10b所示，其表面粗糙度為1.3 μm。而且通過對(duì)比還可以發(fā)現(xiàn)，圖10a表面粗糙度分布一致性相對(duì)圖10b較差，表明本文提出的刀觸點(diǎn)路徑非線性誤差補(bǔ)償與修復(fù)方法能獲得更好的自由曲面加工效果和質(zhì)量。

4 結(jié)論

(1)針對(duì)非線性誤差的補(bǔ)償與修復(fù)問題，首先建立了A-C雙轉(zhuǎn)臺(tái)式五軸數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)變換數(shù)學(xué)模型，在分析刀觸點(diǎn)處非線性誤差產(chǎn)生機(jī)理的基礎(chǔ)上，提出了刀觸點(diǎn)線性軌跡非線性誤差補(bǔ)償與修復(fù)算法。

(2)所提出的方法中，對(duì)當(dāng)前插補(bǔ)刀心點(diǎn)求出相應(yīng)的刀觸點(diǎn)，對(duì)刀觸點(diǎn)進(jìn)行誤差判斷，利用刀觸點(diǎn)誤差修復(fù)刀心點(diǎn)的位置，將求出的新刀心點(diǎn)輸送給機(jī)床的插補(bǔ)器進(jìn)行加工，以此降低刀觸點(diǎn)處的非線性誤差。

圖10 刀觸點(diǎn)非線性誤差補(bǔ)償與修復(fù)前后加工結(jié)果Fig.10 Machining results of uncorrected and corrected nonlinear errors of CC points

(3)本文方法對(duì)降低刀觸點(diǎn)路徑的非線性誤差具有顯著的效果，可為解決五軸線性插補(bǔ)過程中存在的刀觸點(diǎn)路徑非線性誤差控制提供借鑒。