沈惠平 周金波 尤晶晶 楊廷力

(1.常州大學現(xiàn)代機構學研究中心， 常州 213016； 2.南京林業(yè)大學機械電子工程學院， 南京 210037)

0 引言

三自由度的三維純平移和三維純轉動并聯(lián)機構已得到較多的研究與應用[1-4]。而具有轉動和移動混合輸出的三自由度并聯(lián)機構因驅動元件少、制造容易、結構緊湊等特點，在空間抓取、調姿、定位等實際操作中也具有較高的研究價值和應用前景[5-8]。

目前，對兩平移一轉動(2T1R)并聯(lián)機構研究相對較少，但這類機構可用于空間抓放定位操作或娛樂、調姿裝備等。WANG等[9]提出了一種Cylindrical型兩平移一轉動并聯(lián)機構；KONG等[10]、楊寧等[11]分別基于螺旋理論對2T1R型并聯(lián)機構的結構綜合進行了研究；REFAAT等[12]根據(jù)位移李群理論對三自由度運動并聯(lián)機構進行型綜合研究；張彥斌等[13]根據(jù)線性變換理論，對無奇異完全各向同性2T1R型空間并聯(lián)機構進行了結構綜合；楊廷力等[14-16]基于單開鏈單元理論對2T1R型并聯(lián)機構進行了型綜合，得到多種含有平面閉回路結構的新型機構；余順年等[17]提出了一種以兩平移一轉動并聯(lián)機構為主體的串并聯(lián)中醫(yī)推拿機器人機型。

上述大多數(shù)2T1R機構不具有解析式位置正解，給后續(xù)研究(誤差分析、動力學正解求解以及實時運動控制等)帶來了困難。因此，具有解析式位置正解的并聯(lián)機構的拓撲設計與分析，一直是機構學研究的方向之一，目前設計的具有解析式位置正解的并聯(lián)機構拓撲類型較少。沈惠平等[18]發(fā)現(xiàn)，機構耦合度κ=0時可容易地直接求解6-SPS并聯(lián)機構的解析正解，并提出按機構耦合度κ分類求解6-SPS并聯(lián)機構位置正解全部實數(shù)解的數(shù)值法;尤晶晶等[19]提出了一種12-6臺體型Stewart冗余并聯(lián)機構，并推導了適用于實時反饋控制的正向運動學全解析算法。

本文基于方位特征(POC)的并聯(lián)機構設計理論與方法[14-16]，提出兩種低耦合度(κ=1)的2T1R并聯(lián)機構，給出這兩種機構的4個主要拓撲特性(POC集、自由度、耦合度、運動耦合性)，并對其運動學(位置正逆解求解、工作空間、奇異位形以及速度、加速度)進行計算分析與比較。

1 機型設計與運動學建模

1.1 機型設計

根據(jù)基于方位特征(POC)方程的并聯(lián)機構拓撲結構設計理論[14-16]，提出了一類兩種2T1R三自由度并聯(lián)機構，如圖1所示。靜平臺0上的移動副P2與P3為沿Y軸方向的共軸線布置，移動副P1與P2平行。

機構1的拓撲結構設計如圖1a所示：

(1)右側兩滑塊(P2、P3)平面六桿機構(記作：2P4R)回路的中間構件9上，串聯(lián)兩個軸線相互平行的轉動副R1與R2，且R2副與動平臺1相連，得到第Ⅰ個混合支鏈(HSOC1)。

圖1 具有解析式位置正解的2T1R并聯(lián)機構Fig.1 2T1R PMs with analytic positive position solution

(2)左側支鏈由一個滑塊(P1)與一個4R平行四邊形機構(Ra1Rb1Rc1Rd1)及轉動副R3串聯(lián)而成，且R3副與動平臺1相連，得到第Ⅱ個混合支鏈(HSOC2)。

(3)機構運動時，兩滑塊平面六桿機構2P4R始終與平行四邊形機構的運動平面YOZ平行。

而機構2的拓撲結構設計，如圖1b所示：

(1)右側2P4R平面六桿機構的中間構件9通過串聯(lián)一個轉動副R1，直接與動平臺1相連，得到第Ⅰ個混合支鏈(HSOC1)。

(2)左側支鏈由一個滑塊(P1)、轉動副R3、4R平行四邊形機構及轉動副R2串聯(lián)而成，且R3‖R2，R2副與動平臺1相連，得到第Ⅱ個混合支鏈(HSOC2)。

可見，機構1和機構2的主要區(qū)別在于：3個平行軸線被動轉動副(R1、R2、R3)的位置發(fā)生了變換，其余沒變。

1.2 基于拓撲特征的運動學建模方法

基于拓撲特征的機構運動學建模方法基本思路：首先進行機構的拓撲分析，揭示其拓撲特征；再利用這些拓撲特征，進行運動學方程建模與求解；這種建模方法的優(yōu)點在于：拓撲特征的利用，等于增加了運動方程數(shù)目，從而使方程求解方便。

1.2.1機構的POC集計算

機構POC方程為[14]

(1)

(2)

式中MSj——當支鏈中第j個子SOC的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

MPa——機構動平臺的POC集

機構POC集確定如下：

(1)支鏈拓撲結構

混合支鏈Ⅰ中，2P4R平面六桿機構中間桿9的輸出運動顯然為兩平移一轉動(2T1R)，與R1‖R2串聯(lián)后，其末端的輸出為三平移兩轉動(3T2R)；混合支鏈Ⅱ中，P1副與一個4R平行四邊形機構及R3副串聯(lián)，顯然，其末端輸出運動為兩平移一轉動(2T1R)。故混合支鏈Ⅰ、Ⅱ的拓撲結構等效地記為

(2)選定動平臺1上的O′點作為基點。

(3)混合支鏈Ⅰ、Ⅱ末端構件的POC集確定

由式(1)可得

(4)動平臺POC集確定

由式(2)可得

(3)

由此可知，機構動平臺1產生YOZ平面內的兩維移動，以及繞轉動副R1軸線的一維轉動。而混合支鏈Ⅰ中的中間桿9在混合支鏈Ⅱ的作用下，只存在沿Y、Z軸方向的移動(即中間桿9的運動始終平行于靜平臺)，這個特殊的拓撲結構是求解本機構解析式位置正解的關鍵。

1.2.2機構的自由度分析

并聯(lián)機構全周性DOF公式[14-15]為

(4)

(5)

v=m-n+1

式中F——機構自由度

fi——第i個運動副的自由度

m——運動副數(shù)n——構件數(shù)

v——獨立回路數(shù)

ξj——第j個獨立回路的獨立位移方程數(shù)

Mb(j+1)——前j+1條支鏈末端構件的POC集

由混合支鏈HSOC2及子串R1‖R2構成第2個回路，記作Loop2{-P1(⊥P(4R))‖R3‖R2‖R1-}，其獨立位移方程數(shù)ξ2，由式(5)可得

由式(4)可得并聯(lián)機構自由度為

因此，該機構自由度為3，當取靜平臺0上的移動副P1、P2、P3為驅動副時，動平臺1可實現(xiàn)兩平移一轉動的運動輸出。

當3個移動副以相同的速度運動時，該機構可實現(xiàn)大范圍的操作移動；而當其取不同的速度時，可實現(xiàn)小范圍內的三平移精確作業(yè)。因此，該機構適合于長度方向較大尺寸工件的搬運、抓取、上下料等操作。

1.2.3機構耦合度計算

由基于單開鏈(SOC)的機構組成原理[20]可知，任一機構可分解為約束度為正、零、負的3種有序單開鏈(SOC)，第j個SOCj的約束度定義為

(6)

其中

式中mj——第j個SOCj的運動副數(shù)

Ij——第j個SOCj的驅動副數(shù)

一組有序的v個SOC可劃分為若干個最小的子運動鏈SKC(Sub-kinematics chain)，每個SKC僅含一個自由度為零的基本運動鏈(BKC)[16]，對一個SKC而言，須

(7)

因此，SKC耦合度κ定義為

(8)

耦合度κ的物理意義：①κ反映了SKC內各回路變量之間的關聯(lián)、依賴程度，且已證明：κ越大，機構運動學、動力學問題求解的復雜度越高。②機構的位置正解求解可轉換為其各個SKC的位置求解。③對于κ=0的SKC，其每個回路的運動量解析解都能獨立求出；若κ>0，表明SKC的運動量需多個回路方程聯(lián)立求解，可用數(shù)值法或代數(shù)法求得其位置正解。

1.2.2節(jié)已分別求得該機構兩個回路的ξ值，即ξ1=3、ξ2=5，由式(6)可得約束度分別為

于是，由式(8)可得

該機構只含有一個SKC，且該SKC耦合度κ=1。因此，該機構位置正解時，僅需在約束度為正值(Δj>0)的回路Loop1上設定一個虛擬變量；然后，在約束度為負值(Δj<0)的回路Loop2上建立一個含這個虛擬變量的位置約束方程，從而求得該機構的位置正解。

但由于此機構具有特殊的拓撲約束，可直接通過約束度為負值(Δj<0)的回路Loop2作用于約束度為正值(Δj>0)的回路Loop1的幾何約束(即桿9的運動始終平行于靜平臺)，可直接從Loop1中求出該虛擬變量，從而直接求得其解析式位置正解。

2 位置分析

2.1 坐標系建立與參數(shù)標注

如圖2a所示，設機構靜平臺0為寬度2l1的矩形，靜平臺0上3個移動副的位置分別為A1、A2、A3。在靜平臺0建立OXYZ坐標系，O為靜平臺的幾何中心，X軸與lA2A3連線垂直，Y軸與lA2A3連線平行；在動平臺1建立O′X′Y′Z′坐標系，O′為動平臺1的中心，X′軸與lE1D1共線，Y′軸與lE1D1垂直，Z、Z′軸由右手笛卡爾坐標系法則確定。設lB3C3與Y軸正方向的夾角為虛擬角δ。

機構XOZ投影圖如圖2b所示，lD2E1、lE1D1與X軸正方向的夾角分別為α、β。

該機構結構參數(shù)為：動平臺上lE1D1=l8，lAiBi=li(i=1,2,3)；第1條混合支鏈中l(wèi)B2C2=lB3C3=l5，lC2D2=lD2C3=l6，lD2E1=l7；第2條混合支鏈中l(wèi)B1C1=l4，lC1D1=l9=0。

圖2 機構1運動學建模Fig.2 Kinematics modeling of PM1

在靜坐標系OXYZ下，易知Ai、Bi(i=1,2,3)點的坐標分別為A1=(l1,yA1,0)、A2=(-l1,yA2,0)、A3=(-l1,yA3,0)；B1=(l1,yA1,l3)、B2=(-l1,yA2,l3)、B3=(-l1,yA3,l3)。

2.2 位置正解求解

已知：靜平臺0上Ai(i=1,2,3)的位置yA1、yA2、yA3，求：動平臺1上O′的坐標(x0,y0,z0)和姿態(tài)角β。

(1)約束度為正的第1回路(Loop1)的求解

由1.2.1節(jié)可知，機構運動過程中，由機構特殊的拓撲約束，即2P4R平面機構的中間構件9始終平行于靜平臺0，即lC2C3‖lA2A3，則有

zC2=zC3

(9)

因此，點C2、C3及D2的坐標分別為

由幾何約束條件lB2C2=l5，建立機構位置方程，整理并化簡得

Acosδ+B=0

令tan(δ/2)=p，則有

(10)

其中

A=2l5B=yA3-2l6-yA2

這樣，約束度為正的第1回路Loop1上的特殊幾何約束(zC2=zC3)可以直接應用于約束度為負的第2回路Loop2，這是直接求出虛擬角δ解析解的關鍵。

(2)約束度為負的第2回路(Loop2)的求解

在第2回路A1-B1-C1-D1-E1-D2中，由點D2可求出點E1的坐標為(-l1+l7cosα，yA3+l5cosδ-l6，l3+l5sinδ+l7sinα)，C1、D1坐標為(-l1+l7cosα+l8cosβ，yA3+l5cosδ-l6，l3+l5sinδ+l7sinα+l8sinβ)。

同時，可計算得O′點的坐標

(11)

由幾何條件lB1C1=l4，建立位置方程

化簡可得

l7sinα+l8sinβ=t

(12)

其中

機構運動時，由于點B1和C1的X軸方向的位置相同(xB1=xC1)，因此，恒有

l7cosα+l8cosβ=2l1

(13)

然后，由式(11)、(12)消除α，則有

Dsinβ+Ecosβ+F=0

令tan(β/2)=u，則有

(14)

最后，將式(10)、(14)所求得δ、β值代入式(11)，即可得動平臺1上O′點的坐標(x0,y0,z0)。

由式(10)知

δ=f1(yA2,yA3)

由式(14)知

β=f2(yA1,yA2,yA3)

因此，由式(11)知

由于動平臺O′點(x0,y0,z0)中y0=f2(yA2，yA3)，可說明動平臺y0的輸出運動只與驅動滑塊2、3的輸入運動有關，即該機構具有部分輸入-輸出運動解耦性，這對動平臺的軌跡規(guī)劃與運動控制是有利的。

2.3 位置逆解求解

已知：動平臺1上O′的y0、z0坐標和姿態(tài)角β，求靜平臺0上Ai(i=1,2,3)位置yA1、yA2、yA3。

根據(jù)式(11)和式(13)，可求出x0、α為

(15)

(16)

從而，可求出C1、D1的坐標為(x0+l8cosβ/2,y0,z0+l8sinβ/2)、E1的坐標為(x0-l8cosβ/2,y0,z0-l8sinβ/2)。進一步，求出點C2、C3的坐標分別為(x0-l8cosβ/2-l7cosα，y0-l6，z0-l8sinβ/2-l7sinα)、(x0-l8cosβ/2-l7cosα，y0+l6，z0-l8sinβ/2-l7sinα)。

因此，由桿長條件建立位置約束方程為

(17)

即可求解yAi(i=1,2,3)為

(18)

其中

綜上可知，當動平臺1上O′的坐標值y0、z0和姿態(tài)角β已知時，靜平臺0上Ai(i=1,2,3)位置yA1、yA2、yA3各有兩組解，故逆解數(shù)2×2×2=8，因此，該機構有8種構型。

2.4 正逆解驗證

設該并聯(lián)機構的結構參數(shù)為l1=125 mm、l2=175 mm、l3=37.5 mm、l4=180 mm、l5=130 mm、l6=55 mm、l7=55 mm、l8=240 mm、l9=0。

取靜平臺0上Ai(i=1,2,3)位置分別為yA1=38.19 mm、yA2=-121.13 mm、yA3=122.94 mm。

將所知參數(shù)代入式(10)～(14)計算，由Matlab計算可解得機構的位置正解，如表1所示，此時所對應的機構裝配構型如圖3a所示。

表1 機構1的位置正解數(shù)值Tab.1 Positive position solutions of PM1

將表1中組1正解數(shù)值代入式(15)～(18)，可得yAi(i=1,2,3)的8組逆解數(shù)值，如表2所示。

可見，表2中第1組的逆解數(shù)據(jù)和正解求解時給定的3個輸入位置yAi(i=1,2,3)一致，此時對應的機構裝配構型如圖3b所示，從而證明了正、逆解的正確性。實際上，圖3所示的CAD裝配構型可視為機構1同一個裝配構型的兩個不同視圖。

圖3 機構1的第1組正解所對應的機構裝配構型Fig.3 Assembly configuration of the first group of PM1

表2 機構1的位置逆解數(shù)值
Tab.2 Inverse position solutions of PM1mm

序號yA1yA2yA31*38.1831-121.1322122.9422238.1831-121.1322-11.1322338.183112.9422122.9422438.183112.9422-11.13225-36.3731-121.1322122.94226-36.3731-121.1322-11.13227-36.373112.9422122.94228-36.373112.9422-11.1322

3 機構奇異性分析

3.1 機構奇異性分析原理

所有輸入運動和輸出運動構成的矢量分別記為X和Y，則X和Y的關系可表示為

F(X,Y)=0

(19)

將方程(19)兩邊分別對時間求導，有

(20)

依據(jù)Jp、Jq矩陣是否奇異，將機構的奇異位形分為3類：①當det(Jq)=0時，機構發(fā)生輸入奇異。②當det(Jp)=0時，機構發(fā)生輸出奇異。③當det(Jq)=det(Jp)=0時，機構發(fā)生綜合奇異。

JpV=Jqω

(21)

其中

3.2 奇異性分析

3.2.1輸入奇異

當機構發(fā)生輸入奇異時，機構的執(zhí)行構件將失去某個方向的運動能力，則至少有一個運動鏈到達了工作空間的邊界。

此時，滿足det(Jq)=0，該方程解的集合A為

A={A1∪A2∪A3}

(22)

其中，Ai={yAi=yCi}，i=1,2,3，即點Ai與點Ci的y軸坐標相等；滿足A1的三維CAD構型如圖4所示。

圖4 機構1輸入奇異位形圖Fig.4 Input singularity of PM1

3.2.2輸出奇異

在這種情況下，當所有的主動件鎖住時，執(zhí)行構件依舊可以產生局部運動。此時，若機構末端執(zhí)行器上作用有限的力，則主動件上將需無窮大的驅動力才能達到力平衡。設

[fi1fi2fi3]=ei(i=1,2,3)

(23)

若det(Jp)=0，則向量e1、e2、e3有如下兩種情況：

(1)存在2個向量線性相關

即當lB2C2‖lB3C3時，表示兩個向量線性相關，其中一種位形如圖5所示。

圖5 機構1輸出奇異位形圖Fig.5 Output singularity of PM1

(2)存在3個向量線性相關

若取e1=t1e2+t2e3(t1t2≠0)，此時有

通過Matlab計算表明，該種情況下t1、t2的解無法解出，因此，此種情況不存在。

此時det(Jq)=det(Jp)=0，即輸入奇異和輸出奇異同時發(fā)生。這種奇異位形只有當上述第1、2類奇異同時發(fā)生時才會產生，此時，機構將失去自由度、原有的運動特性。

4 機構工作空間分析

并聯(lián)機構的可達工作空間，是指在考慮運動副轉角范圍、桿長不干涉情況下，末端執(zhí)行器的工作區(qū)域，是衡量并聯(lián)機器人性能的一個重要指標。本文采用極限邊界搜索法對該并聯(lián)機構的工作空間進行分析，首先，根據(jù)桿長設定工作空間的搜索范圍，然后，基于位置逆解式(16)～(18)，搜索所有滿足約束條件的點，由這些點組成的三維圖即為該并聯(lián)機構的工作空間。

為此，確定空間三維搜索范圍：-500 mm≤y0≤500 mm，0≤z0≤800 mm，-π/4≤ψ≤π/3(ψ為搜索角度)，搜索范圍只需略大于桿件活動范圍即可。通過Matlab軟件編程，得到該并聯(lián)機構的三維工作空間如圖6a所示，其XOZ截面圖如圖6b所示。

圖6 機構1工作空間示意圖Fig.6 Workspace of PM1

5 速度與加速度分析

5.1 速度、加速度公式推導

將式(17)的3個方程表示為唯一形式：f(y0,z0,β)=0，全微分后可得

(24)

由式(24)可得

(25)

當機構不存在奇異位置時，Jp可逆，則

(26)

式(26)即為動平臺原點O′的速度正解公式。

取式(25)對時間t求導，可得

(27)

其中

當機構不存在奇異位置時，Jp可逆，則

(28)

式(28)即為動平臺原點p的加速度求解公式。

5.2 算例與仿真

取3個驅動副的運動規(guī)律分別為

則其輸入速度、加速度的變化規(guī)律分別為

將這些已知條件代入式(24)～(28)中，通過Matlab編程計算動平臺1的速度與加速度，并分別得到速度、加速度關于時間t的曲線，然后將虛擬樣機導入ADAMS，設定各構件的材料屬性、運動副的約束類型、施加豎直向下的重力，選取仿真步長0.1 s，仿真時間為10 s，對虛擬樣機進行動力學仿真。將Matlab計算得到的速度、加速度理論值與ADAMS的仿真結果進行對比，結果如圖7所示。

圖7 機構1動平臺1速度、加速度曲線Fig.7 Speed and acceleration of moving platform of PM1

由圖7可知，運用Matlab對式(24)～(28)進行編程計算得到的理論曲線，與運用ADMAS仿真得到的曲線圖基本吻合，其最大相對誤差分別為0.21%、0.58%，從而驗證了所推導的速度與加速度公式的正確性。

6 拓撲學與運動學性能比較

6.1 機構2的拓撲學性能

(1)機構2的混合支鏈Ⅰ僅剩下一個轉動副R1；比機構1少的那個平行軸線的轉動副(R2)轉移到了混合支鏈Ⅱ上，其余沒變，其POC集求解如下：

確定兩條混合支鏈Ⅰ、Ⅱ末端構件的POC集，由式(1)可得

確定動平臺POC集，由式(2)可得

可見，機構2同樣可實現(xiàn)動平臺的兩平移一轉動。

(2)因機構2與機構1兩個回路中的運動副類型、數(shù)目及其幾何軸線關系完全相同，因此，其獨立位移方程數(shù)不變，即同樣為ξ1=3、ξ2=5，因此，由式(4)、(8)分別計算得的自由度、耦合度，完全與機構1相同，即F=3，κ=1，計算過程略。

6.2 機構2的運動學性能

6.2.1位置正逆解

(1)結構參數(shù)

機構2坐標系的建立及參數(shù)標注如圖8所示，混合支鏈Ⅰ中l(wèi)D2E1=l7=0，相對于機構1少了一個桿件，降低了后繼研究(誤差分析、動力學分析、樣機研制等)的難度；混合支鏈Ⅱ中，lC1D1=l9=0；Loop2中只存在動平臺姿態(tài)角β(而α=0，見圖2b)。

圖8 機構2運動學建模Fig.8 Kinematics modeling of PM2

(2)位置正解求解

機構2中約束度為負的第2回路(Loop2)的求解，具體如下：

在第2回路A1-B1-C1-D1-E1-D2中，由點D2可求出點E1的坐標為(-l1,yA3+l5cosδ-l6,l3+l5sinδ)，C1、D1坐標為(xE1+l8cosβ,yE1,zE1+l8sinβ)。同時，可計算得O′點的坐標為

(29)

由幾何約束lB1C1=l4建立位置方程為

整理得

Dsinβ+Ecosβ+F=0

令tan(β/2)=u，則有

(30)

其中

D=2l5l8sinδE=-4l1l8

最后，將式(10)、(30)所求得δ、β代入式(29)，即可得動平臺1上O′點的坐標(x0,y0,z0)。

由式(9)可知

δ=f1(yA2,yA3)

由式(30)知

β=f2(yA1,yA2,yA3)

因此，由式(28)可知

即該機構也具有部分輸入-輸出運動解耦性。

(3)位置逆解求解

求解過程具體如下：

由式(28)可求出

因此，由桿長條件建立位置約束方程為

(31)

即可求解yAi為

(32)

其中

綜上可知，當動平臺1上O′的坐標(x0,y0,z0)和姿態(tài)角β已知時，靜平臺0上3個點Ai(i=1,2,3)移動距離yA1、yA2、yA3各有兩組解。故逆解數(shù)2×2×2=8，因此，該機構有8種構型。

(4)正逆解驗證

設該并聯(lián)機構的結構參數(shù)為l1=125 mm、l2=175 mm、l3=37.5 mm、l4=180 mm、l5=180 mm、l6=45 mm、l7=0、l8=220 mm、l9=0。

取靜平臺0上Ai(i=1,2,3)位置分別為yA1=38.19 mm、yA2=-121.13 mm、yA3=122.94 mm。

將所知條件代入式(10)、(29)、(30)計算，由Matlab計算可解得機構2的位置正解如表3所示，此時所對應的機構裝配構型如圖9所示。

表3 機構2的位置正解數(shù)值Tab.3 Positive position solutions of PM2

圖9 機構2輸入奇異位形圖Fig.9 Input singularity of PM2

將表3中第1組正解數(shù)值代入式(31)、(32)，可得yAi(i=1,2,3)的8組逆解數(shù)值，如表4所示。

表4 機構2的位置逆解數(shù)值

Tab.4 Inverse position solutions of PM2mm

序號yA1yA2yA31*38.1796-121.1346122.9446238.1796-121.1346-31.1346338.179632.9446122.9446438.179632.9446-31.13465-36.3696-121.1346122.94466-36.3696-121.1346-31.13467-36.369632.9446122.94468-36.369632.9446-31.1346

可見，表4中第1組的逆解數(shù)據(jù)，和正解求解時給定的3個輸入位置yAi(i=1,2,3)一致，從而證明了正、逆解的正確性。結果表明：相比于機構1而言，機構2的結構更為簡單緊湊；又在位置分析中無需設中間變量α，從而簡化了機構的運動學分析過程。

6.2.2奇異性

與機構1的求解過程一致，不同的幾個參數(shù)如下

f13=-2(xC1-xB1)l8sinβ+(zC1-zB1)l8cosβ
f23=f33=-(zC2-zB2)l8cosβ

其中機構2的各類奇異均與機構1相同，其中機構2中滿足A1的三維CAD構型如圖9所示。

通過與3.2節(jié)中機構1的奇異性(圖4)對比，可得這兩種機構的奇異位形以及出現(xiàn)奇異的條件相同。

6.2.3工作空間

機構2的工作空間分析過程與機構1一致，空間三維搜索范圍(即-500 mm≤y0≤500 mm，0≤z0≤800 mm，-π/4≤ψ≤π/3)，并通過Matlab軟件編程，得到機構2的三維工作空間如圖10a所示；其XOZ截面圖如圖10b所示。

圖10 機構2工作空間示意圖Fig.10 Workspace of PM2

圖12 動平臺的運動曲線對比Fig.12 Comparison of motion curves of moving platforms

分別對比圖6a和圖10a，以及圖6b和圖10b，可知：

(1)兩種機構的工作空間連續(xù)，且其工作空間均為平行于XOZ面的長方體區(qū)域。

(2)隨著z的增加，機構工作空間的XOZ面面積在逐漸縮小，且均朝x=0的方向縮小。

(3)機構1的工作范圍位于X軸正向，而機構2則在X軸的反向，這是由于轉動副R1的位置變換造成的。

(4)隨著z的增加，機構1的XOZ面變化平緩，而機構2較為陡峭。

6.2.4速度和加速度

通過Matlab編程計算，得到機構2中動平臺1的速度與加速度曲線，同樣將虛擬樣機導入到ADAMS中進行動力學仿真，繼而將Matlab計算得到的速度、加速度理論值與ADAMS的仿真結果進行對比，結果如圖11所示。

圖11 機構2動平臺1速度、加速度曲線Fig.11 Speed and acceleration of moving platform of PM2

由圖11可知，運用Matlab進行編程計算得到的理論曲線，與運用ADAMS仿真得到的曲線圖基本吻合，其最大相對誤差分別為0.13%、0.46%。

故對兩個機構的各項運動對比，見圖12，結果顯示，兩種機構動平臺的各向速度、加速度曲線均呈現(xiàn)相似的周期性變化，尤其是Y向曲線基本重合，說明這兩個機構具有相似的運動特性，能夠實現(xiàn)類似的動平臺輸出運動。

由圖12可知，兩種機構均具有較好的運動平穩(wěn)性，僅從速度、加速度難以判斷優(yōu)劣，但機構2相對于機構1結構更加簡單緊湊，整個運動學分析過程更加簡單，且將會降低后繼研究(誤差分析、動力學分析、樣機研制等)的難度；另外，其制造、加工更容易些。因此，可認為機構2為較優(yōu)機型。

7 結論

(1)揭示了兩種機構的POC、自由度、耦合度、運動耦合性等重要拓撲特征，為簡化其運動學建模與求解奠定了基礎。

(2)基于拓撲特征的運動學建模與求解方法，將拓撲特征作為運動學建模與求解的已知條件，簡化了求解過程，據(jù)此建立了兩種機構位置正解的求解模型，并求解了位置正解的解析解。

(3)基于導出的位置反解，分析了兩種機構的工作空間及可能存在的奇異位置，并由雅可比矩陣推導出兩種機構動平臺的速度、加速度變化規(guī)律。

(4)機構1、2具有相似的運動特性，但機構2在結構上制造、加工更容易，同時還會簡化運動學性能研究、動力學分析過程等，故選擇該機構作為優(yōu)選機型。