樊智敏，王明凱，尹兆明，哈振騫

(青島科技大學(xué) 機電工程學(xué)院,山東 青島 266061)

0 引 言

目前，齒輪傳動接觸應(yīng)力的計算主要依靠的是赫茲接觸理論，即在理想狀態(tài)下，對光滑表面干接觸進行研究。然而，在齒輪傳動過程中，由于彈性變形引起的彈性流體動壓潤滑油膜會對齒輪嚙合效率及接觸應(yīng)力產(chǎn)生重要的影響。

自從20世紀(jì)中期，DOWSON和HIGGINON[1]開始對線接觸彈流的潤滑問題研究以來，國內(nèi)外學(xué)者對彈流潤滑問題進行了大量理論研究與實驗驗證。楊萍等[2]將斜齒輪傳動等效為兩個反向圓錐接觸，建立了斜齒輪有限長熱彈流潤滑分析模型，研究了潤滑油膜壓力、膜厚及溫度變化規(guī)律；王優(yōu)強等[3]建立了漸開線直齒輪瞬態(tài)微觀熱彈流潤滑模型，研究了粗糙峰對油膜壓力、溫升以及摩擦系數(shù)的影響；劉明勇等[4]建立了有限長圓柱滾子非牛頓流體熱彈流潤滑模型，研究了接觸線長度、流體特征剪切力等參數(shù)對潤滑特性的影響；LIU等[5]建立了傾斜圓柱滾子非牛頓流體熱彈流潤滑模型，研究了傾斜角、轉(zhuǎn)速及外加載荷等對潤滑特性的影響；歐陽天成等[6]考慮了不同粗糙面對漸開線直齒輪的影響，建立了直齒輪有限長彈流潤滑模型，研究了軸向速度與粗糙面類型對摩擦系數(shù)的影響；HULTQVIST等[7]建立了有限長瞬態(tài)熱彈流潤滑，研究結(jié)果表明，瞬態(tài)載荷會引起系統(tǒng)的振蕩，影響整個接觸面上的壓力和膜厚；ZAPLETAL等[8]研究了表面粗糙度對混合潤滑過渡過程中摩擦與膜厚的影響，研究結(jié)果表明，基于直接接觸面積的標(biāo)準(zhǔn)混合摩擦模型具有明顯的局限性。

分階式雙漸開線齒輪(簡稱雙漸開線齒輪)，綜合了普通漸開線齒輪和雙圓弧齒輪的優(yōu)點，具有較高的彎曲強度和接觸強度，其齒廓由兩段相錯的漸開線組成，兩段漸開線之間以一段過渡曲線連接，齒頂與齒根兩段漸開線呈分階式布置[9]。目前，針對雙漸開線齒輪傳動彈流潤滑的研究，主要集中在工況參數(shù)對油膜壓力與膜厚的影響[10],研究分階參數(shù)對潤滑特性的影響較少。

本文根據(jù)雙漸開線齒輪齒廓嚙合特點建立彈流潤滑模型，并采用數(shù)值方法進行求解，研究雙漸開線齒輪分階參數(shù)對潤滑特性的影響。

1 雙漸開線齒輪嚙合模型

假想的，且與齒輪共軛嚙合的齒條，被稱為該齒輪的基本齒條。雙漸開線圓柱齒輪的基本齒廓定義為其基本齒條的法向齒廓[11]。

雙漸開線齒輪的嚙合模型如圖1所示。

αa，αd—齒頂、齒根部分的齒形角；齒頂、齒根切向變位系數(shù)；齒腰過渡圓弧齒頂、齒根高度系數(shù)；ρg，ρf—齒腰、齒根過渡圓弧半徑；齒頂高度系數(shù)、頂系系數(shù)

圖1 雙漸開線齒輪嚙合模型N1N2—雙漸開線齒輪嚙合線；Rp，Rg—主、從動輪基圓半徑；βb1，βb2—齒根、齒頂嚙合區(qū)基圓螺旋角；陰影區(qū)域—齒面在分階區(qū)域不參與嚙合

由圖1可知：雙漸開線齒輪的基本齒廓由齒根圓弧AB、齒根直線BC、半徑為ρg的齒腰過渡圓弧CD及齒頂直線DE組成。其中，半徑為ρf的齒根圓弧與齒根直線BC相切于B點，齒腰過渡圓弧CD與直線DE相切于D點、與直線BC相交于C點。

由于齒腰分階的影響，為了保證雙漸開線齒輪的連續(xù)傳動，必須將其做成斜齒輪。

雙漸開線齒輪的總重合度2<ε<3。在其嚙合過程中，兩齒與三齒交替嚙合；同時，嚙合的第二對輪齒能夠較好地反映雙漸開線齒輪的嚙合特性?？紤]到篇幅的限制，在文中只給出第2對輪齒所對應(yīng)的接觸線長度，及當(dāng)量曲率半徑計算公式。

雙漸開線齒輪的接觸線及主動輪曲率半徑如圖2所示。

圖2 雙漸開線齒輪接觸線及主動輪曲率半徑

由圖2可知，接觸線長度的計算公式為：

L2(t)=LG2(t)+LD2(t)

(1)

(2)

(3)

式中：ω—小齒輪轉(zhuǎn)速；Pb—端面齒距。

在齒腰分階區(qū)域，雙漸開線齒輪不參與嚙合。為了研究雙漸開線齒輪分階區(qū)域兩側(cè)(即齒頂嚙合區(qū)域DB1，以及齒根嚙合區(qū)域B2C)的潤滑特性，筆者將陰影區(qū)域兩側(cè)接觸線上B3、B4點連接，構(gòu)成一條虛線Xi(t)。

將Xi(t)與雙漸開齒輪接觸線Li(t)連接，構(gòu)成一條假想的接觸線LiX(t)，稱之為“名義接觸線”：LiX(t)=Li(t)+Xi(t)。其中，下標(biāo)i代表輪齒對標(biāo)號，i=1,2,3，下同。

將名義接觸線LiX(t)等分為m段，則每段名義接觸線的長度Δxi(t)為：Δxi(t)=LiX(t)/m。

在齒根嚙合區(qū)域內(nèi)，名義接觸線分段的數(shù)目為：a=round(LGi/Δxi(t))；

在齒頂嚙合區(qū)域內(nèi)，名義接觸線分段的數(shù)目為：b=round(LDi/Δxi(t))；

在分階區(qū)域內(nèi)，名義接觸線分段的數(shù)目為：c=round(Xi(t)/Δxi(t))。

當(dāng)m足夠大時，取整函數(shù)round可以去掉，且m=a+b+c。

虛線X2(t)為：

(4)

式中:tX21=tG22；tX22=E′D′/v。

由數(shù)值計算可知βb1=βb2=βb，主動輪曲率半徑RZ2(t,j)為：

(5)

式中：NaN—輪齒不參與嚙合。

從動輪曲率半徑RC2(t,j)為：

RC2(t,j)=N1N2-RZ2(t,j)

(6)

當(dāng)量曲率半徑R2(t,j)為：

(7)

本文采用接觸線百分比法，計算任意時刻單個輪齒所受到的載荷Fn，可表示為：

(8)

式中：Fz—齒輪承受的外載荷；Ln—第n對輪齒某時刻的接觸線長度；Lz—某時刻接觸線總長度。

2 彈流潤滑模型的建立與求解

2.1 彈流潤滑控制方程

假設(shè)潤滑油為非牛頓流體，采用文獻[14]中的非牛頓流體廣義Reynolds方程,忽略其時變效應(yīng)，則有：

(9)

式中：ρ—潤滑油密度；η*—潤滑油等效粘度；h—油膜厚度；p—油膜壓力；u—潤滑油卷吸速度，u=(ua+ub)/2；ua，ub—兩齒面的切向速度；其他參數(shù)參見文獻[15]所述。

潤滑油粘度和密度分別采用Roelands粘壓關(guān)系式和Dowson-Higgison密壓關(guān)系式，即：

η=η0·exp{(lnη+9.67)·
[(1+5.1×10-9·p)z-1]}

(10)

(11)

式中：η0—潤滑油環(huán)境粘度；ρ0—潤滑油環(huán)境密度；z—粘度-壓力指數(shù)，取z=0.68。

潤滑油的等效粘度為：

(12)

Ree-Eying非牛頓流體模型為：

(13)

式中：τ0—潤滑油特征剪切力。

載荷平衡方程為：

(14)

式中：w—單位線載荷，w=Fn/Ln；x0，xe—計算域起點、終點坐標(biāo)。

油膜厚度h為：

(15)

(16)

式中：s—計算域方向坐標(biāo)。

摩擦系數(shù)f的計算公式為：

(17)

式中：FΔxi—某時刻第i段名義接觸線上承載力，F(xiàn)Δxi=Fn·Δxi/Ln。

2.2 控制方程無量綱化處理

在彈流潤滑計算中，為使方程得到簡化，通常要將控制方程進行無量綱化處理。

其具體的處理方法[16]為：

以上各式中：ph—最大赫茲接觸力；z—膜厚方向坐標(biāo)。

本文采用中心差分法和一階向后差分法，對量綱一化的Reynolds方程、膜厚方程等進行離散，并選取無量綱計算域為(-2,1.5)，其數(shù)值結(jié)果收斂精度為10-5。

2.3 數(shù)值求解方法

本文采用混合迭代法[17]對彈流潤滑模型進行求解。在求解過程中，將求解域劃分為高壓區(qū)和低壓區(qū)。在高壓區(qū)采用Jacobi迭代法，在低壓區(qū)采用G-S迭代法，容易得到收斂、精確解。

求解過程如圖3所示。

圖3 彈流潤滑模型求解過程

3 結(jié)果與分析

本文選取一對雙漸開線齒輪副為研究對象，其相關(guān)參數(shù)分別為：

法面模數(shù)mn=4 mm；齒數(shù)Z1=23，Z2=32；轉(zhuǎn)速n=1 000 r/min；綜合彈性模量E=2.2×1011Pa；螺旋角β=15°；法面壓力角α=20°；齒寬B=60 mm；齒輪所受外載荷Fz=5 000 N；潤滑油環(huán)境粘度為η0=0.08 Pa·s；潤滑油特征剪切力τ0=6×106Pa。

3.1 雙漸開線齒輪嚙合特點及潤滑特性分析

當(dāng)l*=0.04，y*=0.04時，同時嚙合的第二對輪齒接觸線長度、當(dāng)量曲率半徑、最小油膜厚度及摩擦系數(shù)隨時間的變化規(guī)律，如圖4所示。

圖4 接觸線長度、當(dāng)量曲率半徑、最小油膜厚度及摩擦系數(shù)變化規(guī)律

從圖4可以看出：

(1)由于雙漸開線齒輪輪齒分階的影響，接觸線長度變化較復(fù)雜；

(2)當(dāng)量曲率半徑、最小油膜厚度及摩擦系數(shù)圖像出現(xiàn)明顯的分階現(xiàn)象；

(3)在數(shù)值方面，當(dāng)量曲率半徑及最小油膜厚度由齒根嚙合區(qū)過渡至齒頂嚙合區(qū)時，呈逐漸減小趨勢；

(4)摩擦系數(shù)在靠近分階區(qū)域處達到最小值。

3.2 雙漸開線齒輪彈流潤滑模型驗證

筆者采用經(jīng)驗公式[18]計算出的最小油膜厚度，及分別采用經(jīng)驗公式與本文所建模型求出的最小油膜厚度的偏差，如圖5所示。

從圖5可以看出：兩種模型所求油膜厚度的最大偏差小于3.5%，由此可以證明兩種方法數(shù)值吻合較好。

根據(jù)文獻[19]所述的工況條件(即η=0.04 Pa·s，R=0.013 3 m，F(xiàn)=1 000 N，ph=1.16×109Pa，E=2.26×1011Pa)，采用本文所建彈流潤滑模型，計算得出的最小油膜厚度為hmin=0.271 3 μm；該文獻給出的最小油膜厚度為hmin=0.259 5 μm。

由此可見，本文計算得出的最小油膜厚度值與該文獻中的值基本一致。

圖5 經(jīng)驗公式計算結(jié)果及兩種模型計算偏差

通過以上計算模型與經(jīng)驗公式的對比，及計算模型與文獻值的對比，大致可以說明本文所建立的雙漸開線齒輪彈流潤滑模型是有效的。

3.3 雙漸開線齒輪分階參數(shù)對最小膜厚及摩擦系數(shù)的影響

為了研究分階參數(shù)對最小膜厚及摩擦系數(shù)的影響，設(shè)齒輪嚙合周期為T，本文取(1/2T)時名義接觸線上的最小油膜厚度及摩擦系數(shù)進行分析。

分階參數(shù)對名義接觸線上最小油膜厚度及摩擦系數(shù)的影響，如圖6所示。

圖6 分階參數(shù)對摩擦系數(shù)的影響

由圖6(a)可知：當(dāng)y*=0.04時，l*增大，分階區(qū)域擴大，最小油膜厚度減小。當(dāng)l*增大時，雙漸開線齒輪接觸線長度減小，單位線載荷增大，導(dǎo)致油膜厚度減?。?/p>

由圖6(b)可知：當(dāng)l*=0.04時，y*變化時，最小油膜厚度基本不變。y*對接觸線長度及卷吸速度影響較小，油膜壓力與膜厚變化較小；

由圖6(c)可知：當(dāng)y*=0.04時，摩擦系數(shù)隨l*的增大而增大。當(dāng)l*增大時，會導(dǎo)致油膜厚度減小，油膜剪切力增大，摩擦系數(shù)也增大；

由圖6(d)可知：當(dāng)l*=0.04時，y*增大，摩擦系數(shù)減小。當(dāng)y*增大時，油膜厚度基本不變，相對速度減小，從而導(dǎo)致油膜剪切力減小，摩擦系數(shù)也減小。

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于雙漸開線齒輪齒廓嚙合特點的彈流潤滑模型，推導(dǎo)出了雙漸開線齒輪接觸線長度及當(dāng)量曲率半徑的計算公式，并采用數(shù)值方法求解了嚙合周期內(nèi)雙漸開線齒輪最小油膜厚度及摩擦系數(shù)的分布情況，得出以下結(jié)論：

(1)由于輪齒分階的影響，雙漸開線齒輪接觸線長度變化較復(fù)雜，當(dāng)量曲率半徑及最小油膜厚度由齒根嚙合區(qū)過渡至齒頂嚙合區(qū)時，呈逐漸減小趨勢；摩擦系數(shù)在靠近分階區(qū)域處達到最小值；

(2)雙漸開線齒輪切向變位系數(shù)y*對最小膜厚影響較小，最小油膜厚度隨高度系數(shù)的增大而減小；

(3)摩擦系數(shù)隨雙漸開線齒輪高度系數(shù)l*的增大而增大，且隨切向變位系數(shù)的增大而減小。