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        三維MHD方程的正則性準(zhǔn)則

        2020-03-10 09:35:54付夕聯(lián)
        關(guān)鍵詞:磁場定義

        付夕聯(lián)

        (山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,山東 淄博 255049)

        1 問題的提出

        本文研究下面的三維不可壓MHD方程

        (1)

        式中:u,b分別表示流速矢量和磁場矢量;p表示壓力;v表示黏性系數(shù);η表示磁擴(kuò)散系數(shù);u0和b0是給定的初始速度和初始磁場,并且·u0=·b0=0。如果v=η=0,式(1) 被稱為理想MHD方程。

        對于三維MHD方程弱解的正則性,文獻(xiàn)[2-3]數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明在解的正則性理論中速度場比磁場發(fā)揮著更重要的作用。近期這一事實(shí)得到了驗(yàn)證,何成等[4]獲得了MHD方程由速度場u刻畫的正則性準(zhǔn)則

        (2)

        最近, Ji等[5]得到了下述結(jié)論:

        并且

        (3)

        近期還有其他的關(guān)于三維 MHD方程正則性準(zhǔn)則的刻畫[6-7]。

        定義1[1]三維 MHD方程的弱解(u,b)在[0,T)×H1(R3)是正則的,即(u,b)∈L(0,T;H1(R3))。

        主要結(jié)論如下:

        (4)

        則(u,b)在[0,T]上是光滑的。

        注記因?yàn)?/p>

        2 預(yù)備知識

        首先,給出Morrey-Campanato空間的定義及性質(zhì),它在研究偏微分方程解的正則性中起著重要作用[8-11]。

        定義2 對于1

        容易驗(yàn)證

        (5)

        (6)

        (7)

        容易驗(yàn)證

        (8)

        引理2[12]對于0

        (9)

        式中C 僅依賴于r。

        3 定理的證明

        通過定義1,僅需證明(u,b)∈L(0,T;H1(R3))。因此,證明分為如下兩步:

        第一步L2估計

        式(1)第一、二個方程分別與u,b作內(nèi)積,并將所得到的方程分部積分,相加得

        〈(-u·u+b·b),u〉+〈(-u·b+b·u),b〉=0

        (10)

        對式(10)關(guān)于0到T積分,有

        (u,b)∈L

        第二步H1估計

        (11)

        (12)

        則式 (11)及式(12)可化簡為

        (13)

        (14)

        式(13)與式(14)相加得

        (15)

        首先將I1分解為如下兩部分:

        (16)

        (17)

        對于I12,同理可得

        (18)

        對于I13,類似于I11,由散度自由條件及分部積分公式,得

        (19)

        將式(17)—式(19) 代入式 (16), 得

        同理,得

        將I1—I4的估計代入式(15), 對k(1≤k≤3)求和, 得到

        (20)

        即得

        (21)

        由Gronwall不等式,得

        u,b∈L([0,T);H1)∩L2([0,T);H2)

        完成定理證明。

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