湖南省懷化市湖天中學(xué) 宋林潔 418000

湖南省會同縣第一中學(xué) 于先金 418300

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》（人教A版）介紹了球坐標(biāo)，空間中點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與球坐標(biāo)(r，φ，θ)之間的變換關(guān)系為：若x2+y2+z2=r2(r≥0)，則有

其中0≤φ≤π，0≤θ＜2π.特別地，當(dāng)點(diǎn)P在第一卦限，即當(dāng)x＞0，y＞0，z＞0時(shí)，有

對球坐標(biāo)換元公式①的應(yīng)用，往往被我們所忽視，其實(shí)若能恰當(dāng)運(yùn)用這一換元公式，并結(jié)合三角恒等變形等，對一些三元問題的解答會顯得新穎，別具一格，耐人尋味.

1 最值問題

例1（2015年福建高考理科第21（3）題）已知a，b，c＞0，函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.(Ⅰ)求a+b+c的值；(Ⅱ)求的最小值.

此時(shí)a=4sin2φcos2θ=(1-cos2φ)?(1+cos2θ)

例2 （2009年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江預(yù)賽）若x，y，z均為實(shí)數(shù)，且x2+y2+z2=1，則最大值為____.

解：因?yàn)閤,z,y均為實(shí)數(shù)，且x2+z2+y2=1，由公式①得x=sinφcosθ，z=sinφsinθ,y=cosφ，其中0≤φ≤π，0≤θ＜2π.所以立.故2xy+yz的最大值

此時(shí)a=4sin2φcos2θ=(1-cos2φ)?(1+cos2θ)

解：因?yàn)閤,z,y均為實(shí)數(shù)，且x2+z2+y2=1，由公式①得x=sinφcosθ，z=sinφsinθ,y=cosφ，其中0≤φ≤π，0≤θ＜2π.所以立.故2xy+yz的最大值

2 范圍問題

綜上可知，x2+y2+z2的取值范圍為

解法2：（從條件出發(fā)球坐標(biāo)換元）由x＞0，y＞0，z＞0且x+2y+3z=1，可令

3 證明不等式

例4（2013年高考新課標(biāo)Ⅱ卷第23題）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：ab+bc+ca

證明：因?yàn)閍+b+c=1，所以a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1.顯然欲證ab+bc+ca只需證

設(shè)a2+b2+c2=r2（r＞0），由公式①得a=rsinφcosθ，b=rsinφsinθ，c=rcosφ，其中0＜φ，θ＜.代入a+b+c=1得=sinφcosθ+sinφsinθ+cosφ=2sinφsin(θ+取等號.所以.所以ab+bc+

3個(gè)變量的最值、取值范圍、不等式證明等問題是近幾年高考和競賽的熱點(diǎn)之一，根據(jù)x2+y2+z2=r2這一結(jié)構(gòu)特征，若用球坐標(biāo)換元公式①，則可將3個(gè)變量的問題轉(zhuǎn)化為2個(gè)變量的三角問題，再將其中一個(gè)變量視為主元，通過三角恒等變形和不等式放縮等技巧，將2個(gè)變量的三角問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為單變量的三角問題來解決，整個(gè)過程雖然運(yùn)算量較大，方法不一定最簡潔，但規(guī)律性、可操作性強(qiáng)，對問題本身的解法探究，對學(xué)生邏輯思維、計(jì)算等能力的培養(yǎng)是大有益處的.

以下問題，可供讀者思考：

1.（2013年湖南高考理科第10題）設(shè)a，b，c∈R，且滿足a+2b+3c=6，則a2+4b2+9c2的最小值為____（.答案：12）

2.已知正數(shù)x,y,z滿足x2+2y2+z2=1,則的最大值為____（.答案：

3.已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求a2+b2+c2的取值范圍.（答案