江蘇省奔牛高級中學 蔣 亦 萬姝瑋 213134

20世紀的學習理論在皮亞杰認知理論的影響下，逐步從以教師為主的“傳統(tǒng)范式”轉(zhuǎn)向以學生為主的“學習范式”.新的學習理論強調(diào)，知識不是通過教師傳授得到的，而是學習者通過意義建構的方式得到的.學生不是被動接受者和被灌輸?shù)膶ο螅切畔⒓庸さ闹黧w、是意義的主動建構者.美國教育家布魯姆認為“以學生為中心”的學習范式，有利于激發(fā)學生的創(chuàng)新精神、培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)和關鍵能力.

新一輪課程改革的核心理念是教育要“以人為本”.落實到教學上就是要以學生為中心，這需要教師在備課時從學生思維出發(fā)，針對學生的不同特點，把學生的思維發(fā)展與教學內(nèi)容融合起來；需要教師對教學內(nèi)容進行有效設計和有機整合.下面以一道含參恒成立壓軸題為例，介紹一節(jié)以學生為中心的教學設計.

1 第一次教學經(jīng)歷

師：本題難點——參數(shù)多，哪個參數(shù)最容易處理？

生：x0.只要使得的最大值f(2)=ln2-2a滿足條件即可.

師 板 書：-2a+ln2+ln(a+1)＞m(a2-1)-(a+1)+2ln2對任意a∈(1,2)恒成立.即m(a2-1)-ln(a+1)+a+ln2-1＜0對任意a∈(1,2)恒成立.

從大家解答來看，大部分同學選擇了分離參數(shù)的方法，因為a2-1＞0，所以對任意a∈(1,2)恒成立.

然后就是空白，不會了！那么，如果走分參的路子，下面怎么處理呢？

問題：洛必達法則是高數(shù)內(nèi)容，中學數(shù)學課本沒有這個結(jié)論，因此解答題不能用.也就是說，分離參數(shù)的方法不適用本題.恒成立問題常常還用什么方法解決呢？構造新函數(shù)，最基本的構造方法“移項”.即m(a2-1)-ln(a+1)+a+ln2-1＜0對 任 意a∈(1,2)恒成立.記g(a)=ma2+a-ln(a+1)-m+ln2-1,a∈(1,2).則g(1)=0,即g(a)＜g(1).

圖1

（3）當m≥0時，g′(a)＞0，所以，g(a)在(1,2)單調(diào)遞增.所以g(a)＞g(1)=0.

2 第二次教學經(jīng)歷

展示學生1分離參數(shù)的解答（同上）思考：恒成立問題常常還用什么方法解決呢？

生眾：通過“移項”構造新函數(shù).

m(a2-1)-ln(a+1)+a+ln2-1＜0對 任意a∈(1,2)恒成立.記g(a)=ma2+a-ln(a+1)-m+ln2-1,a∈(1,2).則g(1)=0,即g(a)＜g(1).

師：請同學們思考下面怎么辦？（5分鐘）

生2：（1）當m≥0時，g′(a)＞0，所以g(a)在(1,2)單調(diào)遞增.所以g(a)＞g(1)=0.（2）當m＜0時，g′(a)=0得，(2ma+2m+1)＜0，所以g(a)在a∈(1,2)單調(diào)遞減，所以g(a)＜g(1).即g(a)＜0，符合題意.若，g(a)在單調(diào)遞增.g(a)＞g(1)=0.綜上

師：你怎么想到的？

圖2

師點評：用導數(shù)列表求最值的方法，第1步求導函數(shù)的零點；第2步若零點不存在，則原函數(shù)單調(diào)（用單調(diào)性求最值）；若零點存在，則列表求最值.這位同學“用導數(shù)列表求最值”解決含參函數(shù)最值問題，比老師的“特值法”找分點更容易理解，也深化了我們對課本“用導數(shù)列表求最值”的理解.

（1）當2ma+2m+1≤0對任意a∈(1,2)恒成立,即所以g(a)在a∈(1,2)單調(diào)遞減，所以g(a)＜g(1).即g(a)＜0.符合題意.

（3）當m≥0時，g′(a)＞0，所以，g(a)在(1,2)單調(diào)遞增.所以g(a)＞g(1)=0.綜上，

師：你怎么想到的？

生2：根 據(jù)g(a)＜g(1)=0,a∈(1,2)猜 想g(a)在a∈(1,2)單調(diào)遞減,導函數(shù)恒負.

師點評：這位同學將考察“導函數(shù)的零點”改為討論“導函數(shù)是否恒正或恒負”，第1類當導函數(shù)恒正或恒負時，原函數(shù)單調(diào)；第2類當導函數(shù)不恒正或恒負時，有零點存在，則列表求最值.

當導函數(shù)零點難求，值域更容易考察時，這位同學處理方法的優(yōu)越性就顯現(xiàn)出來了，讓我們對課本“用導數(shù)列表求最值”的方法有了更深刻的認識.

師介紹方法3（同上）

點評：老師的“特值法”切入明確分類標準也有優(yōu)點，比如當導函數(shù)的零點和值域都難求時,解題過程可能更簡潔.

請同學們小結(jié)一下，這類含參恒成立問題的解法有哪些？又是怎么想到的？

相同的教學時間，后者無論是學生參與度，還是課堂容量、教學效果遠高于前者.后者的教學過程基于學生能力、以學生為中心，充分調(diào)動學生、充分發(fā)揮學生能力、貼合學生思維和能力又能培養(yǎng)學生思維與能力的課堂活動，深化對課本知識技能的理解和認識.而前者是基于知識技能的告知、題型解法的灌輸.一次次的課堂實踐告訴我們，精彩的課堂要讓學生自發(fā)地成為課堂的主體，鼓勵學生觀察思考，提問交流，回顧遷移，全方位的圍繞學生設計和組織教學活動，從而發(fā)展學生思維，深化知識理解，激發(fā)學生活力，提高課堂效率.