廣東省中山市桂山中學(xué) 余鐵青 528463

1 引言

函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性都是函數(shù)的主要性質(zhì)，其在宏觀上反映了函數(shù)圖像的整體對(duì)稱性質(zhì)，備受高考命題者的青睞．2020年高考全國(guó)卷對(duì)函數(shù)奇偶性的考查綜合性較強(qiáng)，多與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合，著重考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、整體與局部、一般與特殊等數(shù)學(xué)思想方法.命題形式為選擇題和填空題，且對(duì)部分試題寄予壓軸和區(qū)分的功能.筆者通過對(duì)試題的分析、研究，總結(jié)、歸納了一輪復(fù)習(xí)開展該注意的問題與備考策略．

2 實(shí)例賞析

2.1 注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，考查概念的理解和運(yùn)用

例1（2020年理科2卷9）設(shè)函數(shù)f(x)=ln||2x+1-ln||2x-1，則f(x)（ ）.

A.是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增

B.是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增

D.是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減

解：直接利用函數(shù)的性質(zhì)，“奇函數(shù)加奇函數(shù)為奇”，“增加增為增”的性質(zhì)即可；又因?yàn)閥=x3在R是增函數(shù)且為奇函數(shù)也是增函數(shù)且為奇函數(shù)，所以f(x)是奇函數(shù)，且在(0,+∞)是增函數(shù)．

評(píng)析：首先，這兩題實(shí)質(zhì)上圍繞函數(shù)奇偶性概念精心設(shè)計(jì)問題，在直接考查概念的理解的基礎(chǔ)上融入單調(diào)性的判斷，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)函數(shù)奇偶性數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握程度及理解水平，某種程度上可以說學(xué)生對(duì)函數(shù)奇偶性概念的理解程度決定了他們解題方法的選擇；其次，不少掌握程度一般的學(xué)生會(huì)認(rèn)為試題四個(gè)選項(xiàng)已經(jīng)給定具體的奇偶性，就無需在再判斷定義域究竟是什么，實(shí)際上這就是該題第一個(gè)巧妙之處.緊接著直接利用函數(shù)奇偶性的判定法則，確定該函數(shù)為奇函數(shù)；最后，在例2的解答過程中，很多學(xué)生可能會(huì)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，但運(yùn)算量極大，容易出錯(cuò)（初級(jí)水平）；還有就是可能直接取區(qū)間里取兩個(gè)數(shù)來判斷相應(yīng)函數(shù)值大小（中級(jí)水平）；考慮對(duì)稱區(qū)間取值相對(duì)而言最簡(jiǎn)單（高級(jí)水平）實(shí)際上在這三個(gè)層次決定了解題速度，也是從側(cè)面考查學(xué)生思維層次的一個(gè)很好的手段．

2.2 依托具體函數(shù)，設(shè)計(jì)為分段函數(shù)形式

例3（2020數(shù)學(xué)江蘇卷7）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)的值是_____.

評(píng)注：此類試題以具體函數(shù)為依托，設(shè)計(jì)為分段形式的奇、偶函數(shù)；主要考查對(duì)函數(shù)奇偶性概念的理解和運(yùn)用、奇偶性函數(shù)性質(zhì)等，試題往往與單調(diào)性等綜合將未知轉(zhuǎn)化為已知是解題的基本思想方法.方法一的主要問題在于學(xué)生還停留在表面，如果指數(shù)運(yùn)算能力不強(qiáng)，概念理解不到位就會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤；方法二直接利用性質(zhì)巧妙避開求具體解析式的過程，理解深刻的學(xué)生要準(zhǔn)確避開這個(gè)問題，力求達(dá)到準(zhǔn)確，簡(jiǎn)潔，高效.在看似常規(guī)的試題中對(duì)學(xué)生還是進(jìn)行了實(shí)際的有效分層，有效考查了學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，這也間接解釋了為何總有中等學(xué)生做不完試卷．

2.3 設(shè)計(jì)具體函數(shù)，利用解析式研究函數(shù)切線與零點(diǎn)問題

例4（2020理科一卷6）函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖像在點(diǎn)(1,f(1) )處的切線方程為（ ）．

A.y=-2x-1B.y=-2x+1

C.y=2x-3 D.y=2x+1

解：∵f(x)=x4-2x3，∴f′(x)=4x3-6x2，∴f(1)=-1，f′(1)=-2，因此所求切線的方程為y+1=-2(x-1)，即y=-2x+1.故選：B.

評(píng)注：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

例5（2020北京高考6）已知函數(shù)f(x)=2x-x-1，則不等式f(x)＞0的解集是（ ）.

A.(-1,1) B.( - ∞,-1)?(1,+∞)

C.(0,1) D.( - ∞,0)?(1,+∞)

解：直接畫出y=2x和y=x+1在同一直角坐標(biāo)系的圖像，顯然有兩個(gè)交點(diǎn).分別是(0,1)和(1,2)，由f(x)＞0，即y=2x的圖像在y=x+1之上，直接選D.

評(píng)析：該題主要意圖應(yīng)為考查學(xué)生的草圖能力.實(shí)際上根據(jù)以往學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)，直觀看出當(dāng)自變量為零時(shí)函數(shù)值也為零，當(dāng)自變量為一時(shí)函數(shù)值也為零，配合草圖瞬間秒殺．相反，若從零點(diǎn)和單調(diào)性進(jìn)行處理，反而會(huì)使整個(gè)解題陷入被動(dòng)，出現(xiàn)計(jì)算量大的弊端，甚至最終解題失敗，那么在實(shí)際教學(xué)過程中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)草圖的直觀感知，訓(xùn)練解題能力．

2.4 設(shè)計(jì)試題以三次函數(shù)為載體，考查學(xué)生分類討論思維能力

例6（2020浙江高考9）已知a,b∈R,且ab≠0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立，則（ ）．

A.a＜0 B.a＞0 C.b＜0 D.b＞0

解：因?yàn)閍b≠0，所以a≠0且b≠0，設(shè)f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b)，則f(x)的零點(diǎn)為x1=a,x2=b,x3=2a+b，當(dāng)a＞0時(shí)，則x2＜x3，x1＞0，要使f(x)≥0在x≥0上恒成立，必有2a+b=a，且b＜0，即b=-a，且b＜0，所以b＜0；當(dāng)a＜0時(shí)，則x2＞x3，x1＜0，要使f(x)≥0在x≥0上恒成立，必有b＜0．綜上一定有b＜0．故選：C

評(píng)注：本題主要考查三次函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立問題，考查學(xué)生分類討論思想．主要關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)a分a＞0與a＜0兩種情況討論.一方面細(xì)分之后發(fā)現(xiàn)情況較多，學(xué)生必須保持思路清晰，才能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡贸龃鸢?另一方面是對(duì)基本草圖的把握十分重要，學(xué)生如果不會(huì)草圖，對(duì)圖像的形態(tài)會(huì)缺乏基本認(rèn)知，對(duì)于整體的分析不利，這也與課標(biāo)（2017）里面所提及的直觀想象素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng)以及運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)不謀而合．

2.5 設(shè)計(jì)類對(duì)稱性函數(shù)結(jié)構(gòu)，遷移構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性解決問題

例7（2020全國(guó)理科一卷12題）若2a+log2a=4b+2log4b，則（ ）．

A.a＞2b B.a＜2bC.a＞b2D.a＜b2

解：由2a+log2a=22b+log2b＜22b+log22b（此處準(zhǔn)確使用放縮是解題關(guān)鍵之所在）考慮構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x，此函數(shù)顯然是增函數(shù)，于是答案選擇B.

評(píng)注：作為今年的壓軸選擇題，這題略顯簡(jiǎn)單，該題實(shí)質(zhì)上出自浙江省2012年高考試題的變形，兩者之間有著異曲同工之妙！該題使用類似對(duì)稱性的函數(shù)結(jié)構(gòu)，使函數(shù)的對(duì)稱性內(nèi)隱于函數(shù)解析式，要求學(xué)生理解知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，洞察函數(shù)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，遷移奇函數(shù)的對(duì)稱性，利用放縮巧妙構(gòu)造新的函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性的思想解決問題，考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，本質(zhì)上具有很強(qiáng)的綜合性，較好的體現(xiàn)了高考評(píng)價(jià)體系里面所提及的能力立意．

3 一輪復(fù)習(xí)備考策略思考

3.1 認(rèn)真研讀高考政策性指引文件，深刻解析教材練習(xí)題

在備考教學(xué)中筆者身邊很多教師都是一本復(fù)習(xí)書走天下，這其實(shí)走進(jìn)了一個(gè)特別大的誤區(qū).復(fù)習(xí)資料的編寫依據(jù)是高考試題導(dǎo)向與教材.市面上所有一輪復(fù)習(xí)教材實(shí)際上的編寫時(shí)間都是早于當(dāng)年的高考時(shí)間的，例如2021屆的高考一輪復(fù)習(xí)資料的編寫出版時(shí)間是早于2020年高考時(shí)間的，這就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)無法回避的問題，不可能參考當(dāng)年的高考試題進(jìn)行優(yōu)化編寫，那么這樣編寫的復(fù)習(xí)用書相對(duì)于在領(lǐng)會(huì)高考題精神之后再來編寫的資料而言，方向性的把控就沒有那么準(zhǔn)確.在這種實(shí)際備考教學(xué)背景下，筆者認(rèn)為還是要認(rèn)真鉆研考綱、中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系和當(dāng)年的高考年報(bào)等政府官方指導(dǎo)性文件.從中去發(fā)現(xiàn)國(guó)家需要什么樣的人材，那么我們就培養(yǎng)什么樣的人材，做到有的放矢．同時(shí)在一輪復(fù)習(xí)中，強(qiáng)調(diào)教材的基礎(chǔ)性作用，所有的復(fù)習(xí)書都離不開教材的原始素材，所以夯實(shí)基礎(chǔ)，深研教材練習(xí)題，與復(fù)習(xí)用書有機(jī)結(jié)合是有利于科學(xué)備考的．

3.2 重視基礎(chǔ)知識(shí)累積，常規(guī)題型訓(xùn)練，形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

針對(duì)2020年的高考真題研究不難發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)事實(shí)：所有函數(shù)性質(zhì)試題都是基于函數(shù)單調(diào)性基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的，而在函數(shù)諸多性質(zhì)中，筆者也認(rèn)為單調(diào)性所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)美感和數(shù)學(xué)函數(shù)變化的本質(zhì)體現(xiàn)的最為淋漓盡致，這或許就是今年高考著重考察的根源所在.要想很好的突破這些試題，首先必須要準(zhǔn)確掌握基本的思想方法，實(shí)際上就是人們經(jīng)常所說的“套路”！在積累扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本解題策略時(shí)，將它們通過習(xí)題訓(xùn)練進(jìn)行有效連接，形成詳實(shí)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這樣能夠有效打開學(xué)生的解題視野，從容應(yīng)對(duì)一些常規(guī)試題，甚至部分具有創(chuàng)新背景的試題，以不變應(yīng)萬變．

3.3 構(gòu)建區(qū)域特色教學(xué)研究團(tuán)隊(duì)，定期研討教學(xué)實(shí)踐優(yōu)化策略

目前很多地方都熱衷于抱團(tuán)發(fā)展，建設(shè)屬于自己的區(qū)域?qū)W校聯(lián)合協(xié)作體，基本上實(shí)現(xiàn)了定期聯(lián)合測(cè)試．

基于協(xié)作體內(nèi)學(xué)校層次的基本統(tǒng)一性，積極發(fā)揮各自優(yōu)勢(shì)，構(gòu)建資源互補(bǔ)型的常態(tài)化教研氛圍，收集整理各自學(xué)校所出現(xiàn)的問題，進(jìn)行聯(lián)合診斷分析.把最新的備考信息與學(xué)校本身實(shí)際情況相結(jié)合，共同研討有效篩選做最新?？荚囶}，及時(shí)根據(jù)學(xué)情、考情調(diào)整授課進(jìn)度，速度，控制難度等，實(shí)現(xiàn)資源最大程度優(yōu)化配置．

3.4 加強(qiáng)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，規(guī)范答題

數(shù)學(xué)從字面上理解就是研究數(shù)學(xué)變化的學(xué)科.數(shù)學(xué)一旦離開運(yùn)算就會(huì)失去原本數(shù)學(xué)所特有的運(yùn)算化簡(jiǎn)美感．從函數(shù)小題的考查情況來看，運(yùn)算能力依舊是考查的重點(diǎn)．在實(shí)際教學(xué)考試中，尤其是三角函數(shù)板塊內(nèi)容，很多學(xué)生往往會(huì)忽視運(yùn)算問題，總是簡(jiǎn)單地認(rèn)為，理解清楚了邏輯就可以了，運(yùn)算經(jīng)常被有意或無意的淡化，而從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，很多試題最后求解不正確，往往是失分在運(yùn)算處，這是很多學(xué)生一直以來的痛點(diǎn)！教師在備考過程中要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的運(yùn)算能力的培養(yǎng)，注重板書的完整性.

3.5 著力留意主流模擬試題中的創(chuàng)新題，研究出題背景與考查意圖

高考剛剛結(jié)束，筆者就在網(wǎng)上看到有人說：“物理有一道大題與某套試卷完全一樣，連數(shù)據(jù)都沒有改”．當(dāng)看到這個(gè)消息之后，首先是一驚，其次是認(rèn)為準(zhǔn)確選擇?？荚嚲硪彩鞘种匾?，試卷千千萬，質(zhì)量高的，導(dǎo)向性明確的應(yīng)首選國(guó)內(nèi)主流?？季?，而高考試卷命題人在命制試卷時(shí)，基于能力立意的考查實(shí)際，必定有部分試題是絕對(duì)的“原創(chuàng)創(chuàng)新題”而這些試題的問題背景是值得一線教師認(rèn)真分析的，考查的是什么知識(shí)點(diǎn)？考查學(xué)生什么能力？以何為命題背景？等等．