張 勇， 馬金榮， 陶祥令, 2, 李 陽

(1. 中國礦業(yè)大學 深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室， 江蘇 徐州 221116； 2. 江蘇建筑職業(yè)技術學院能源與交通工程學院， 江蘇 徐州 221116; 3. 中國建筑股份有限公司, 北京 100029)

0 引言

隨著社會經(jīng)濟的持續(xù)發(fā)展，城市地下軌道交通網(wǎng)絡不斷完善，緊鄰既有地鐵線路的建筑施工越來越多，由此引發(fā)的地面堆載對既有隧道的影響問題日益突出。根據(jù)相關統(tǒng)計，僅2014年上海地區(qū)地鐵沿線地面突發(fā)堆載達到16次[1]。地面堆載[2]將引起下部土體沉降，使得隧道結構產(chǎn)生較大變形，嚴重時將造成螺栓斷裂、管片局部開裂等病害，對地鐵隧道運營安全危害極大。

目前地面堆載對臨近盾構隧道影響的研究方法主要有現(xiàn)場監(jiān)測[3-5]、理論解析[6-8]、數(shù)值模擬[9-10]、室內(nèi)模型試驗[11-12]等。其中理論解析法概念明確，計算簡便，因而得到廣泛應用。在理論計算研究方面，主要有2種思路： 一種是將隧道視為置于地基模型上的連續(xù)梁，如李春良等[6]考慮了接頭對隧道抗彎剛度的影響，建立盾構管片的縱向梁模型，并分析了影響隧道力學行為的各種因素； 戴宏偉等[7]基于文克爾地基梁模型，研究了施工荷載對臨近隧道的影響； 璩繼立等[13]把隧道等效為雙面彈性地基梁，運用有限差分原理解出隧道的縱向變形和內(nèi)力，并對比Winkler地基梁模型計算結果； 康成等[14]將盾構隧道簡化為置于Winkler地基上的Timoshenko梁，并計算了盾構隧道的縱向變形及內(nèi)力。另一種是將盾構隧道視為完全離散的彈性地基短梁，如魏綱等[15]基于剪切錯臺模型，解得隧道縱向位移以及相鄰管片環(huán)之間的錯臺量； 魏新江等[16]建立同時考慮管片剪切錯臺和剛體轉(zhuǎn)動的隧道變形模式，運用最小勢能原理推導出盾構隧道縱向變形以及內(nèi)力計算公式。第1種研究思路隧道結構變形原理明確，概念清晰，易于理解，因而得到廣泛應用； 而第2種研究思路雖然更能反映盾構隧道實際變形模式，但由于基于能量法，概念較復雜，計算繁瑣，且環(huán)間剪切剛度等參數(shù)的確定存在問題，因此相關應用還不多。本文延續(xù)第1種研究思路，將隧道視作置于地基模型上的連續(xù)梁，導出變形微分方程進行求解。

不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有計算方法基本是將盾構隧道簡化為置于Winkler地基上的Euler-Bernoulli梁。Euler-Bernoulli梁忽略梁的剪切變形[17]，但實際工程中，盾構隧道是由管片與螺栓組成的復合結構物，盾構隧道不僅發(fā)生彎曲變形，而且還發(fā)生剪切錯臺變形[18]。因此，Euler-Bernoulli梁的適用性受到極大限制?？党傻萚14]雖然考慮了隧道的剪切效應，卻仍采用傳統(tǒng)的Winkler模型作為地基模型，Winkler模型僅含1個參數(shù)，盡管運算簡便，但忽視地基連續(xù)性，不能反映實際變形情況[19]。

針對以上不足，本文基于現(xiàn)有研究，考慮連接螺栓的存在對隧道整體剪切剛度的減弱[14]，以及地基變形的連續(xù)性，把盾構隧道簡化為置于Pasternak地基模型上的Timoshenko梁(本文中定義為T-P模型)。Timoshenko 梁具有2個廣義位移，能夠真實反映梁在剪切作用下的變形特性[20]； 同時，Pasternak地基克服了Winkler模型的缺陷，通過加入剪切剛度為Gs的剪切層，考慮傳統(tǒng)地基彈簧之間的相互作用[19]，能夠反映地基連續(xù)性。相比之前常用的計算模型，本文T-P模型更符合盾構隧道實際受力、變形情況。

根據(jù)上述模型導出地面堆載作用下臨近盾構隧道豎向變形的微分控制方程，運用有限差分原理解得其數(shù)值解。之后，對比分析理論計算結果與實際監(jiān)測數(shù)據(jù)，以驗證模型的適用性。最后，通過參數(shù)分析研究隧道變形對于各影響因素的敏感性。

1 隧道縱向變形計算模型建立

1.1 地表堆載引起既有隧道附加荷載計算

1.1.1 建立地面堆載力學模型

圖1示出地面堆載與既有盾構隧道位置關系。

1.1.2 采用Boussinesq解計算附加應力

依據(jù)Boussinesq公式，積分可得地面堆載作用下隧道軸線上某點的附加應力：

(1)

式中：Ω為地面堆載積分區(qū)域；p為堆載的大??；R為控制隧道與荷載相對位置的參數(shù)

(2)

式中(ξ,η)和(X,Y,z0)分別為地面堆載范圍內(nèi)一點、隧道軸線上某點在全局坐標系ξ-η下的坐標。

為簡化計算，建立局部坐標系x-y，坐標原點為隧道軸線上一點，x軸與隧道軸線重合，y軸垂直于隧道軸線； 全局坐標系與局部坐標系原點水平距離為d，ξ軸與x軸夾角為α，ξ軸與兩坐標系原點連線夾角為β。則由幾何關系，可得兩坐標系之間的轉(zhuǎn)換關系為：

X=ysinα+xcosα+dcosβ；

(3)

Y=ycosα-xsinα+dsinβ。

(4)

(a) 平面圖

(b) 截面圖

1.2 基于T-P模型的既有盾構隧道縱向變形推導

本文假定盾構隧道為置于Pasternak地基模型上的Timoshenko 梁(T-P模型)，計算模型如圖2所示。

圖2 計算模型

根據(jù)Timoshenko梁理論，可得梁彎矩ML和剪力QL：

(5)

(6)

式中： (κGA)eq為隧道等效剪切剛度； (EI)eq為隧道等效抗彎剛度；θ為梁截面轉(zhuǎn)角。

在豎向分布荷載q(x)作用下，基于本文模型，根據(jù)微元體豎向受力平衡方程和彎矩平衡方程，可得盾構隧道豎向變形w(x)的微分控制方程：

(7)

同時，還可以得到隧道剪力Q和彎矩M的微分控制方程：

(8)

(9)

求解式(7)即可得到在地面堆載p引起的附加荷載q(x)作用下既有盾構隧道的縱向變形，運用有限差分原理求其數(shù)值解。

將隧道分成n段，每段長為l′，隧道兩端分別有2個虛節(jié)點，這樣隧道離散為n+5個節(jié)點單元，如圖3所示。

圖3 有限差分網(wǎng)格

基于有限差分原理，即可得微分方程式(7)的有限差分形式：

(10)

假定隧道兩端自由，則有邊界條件： 隧道兩端的彎矩M及剪力Q為0。結合邊界條件，式(10)即可寫成以隧道豎向變形w為未知數(shù)的矩陣-向量表達式：

(11)

式中： {[K1]-[K2]+[K3]}為常系數(shù)剛度矩陣； {w}為隧道的豎向變形列向量； {Q1}為附加荷載列向量； {Q2}為附加荷載修正列向量； {Q3}為補充列向量。

在已知地面堆載的情況下，即可求得盾構隧道的縱向變形，進一步還可求得盾構隧道內(nèi)力(彎矩和剪力)及變形(管片錯臺量和接頭張開量)的縱向分布。

2 相關計算參數(shù)確定

2.1 隧道等效抗彎剛度

目前，廣泛采用Shiba等[21]建立的豎向等效連續(xù)化模型，其等效抗彎剛度(EI)eq表達式為：

(12)

式中：Ec為管片彈性模量；Ic為隧道截面慣性矩；ψ為隧道斷面中性軸位置，ψ的計算表達式為：

(13)

式中：kb為接頭螺栓的平均線剛度(kb=EbAb/lb; 其中Eb為螺栓彈性模量；Ab為螺栓的橫截面積；lb為螺栓長度)；ls為環(huán)寬；Ac為隧道管片截面積；n為螺栓個數(shù)。

管片接頭張開量O與彎矩M有關，根據(jù)幾何關系，計算公式可以表示為：

(14)

2.2 隧道等效剪切剛度

WU H. N.等[18]給出盾構隧道等效剪切剛度(κGA)eq的計算公式為：

(15)

式中：ζ為修正系數(shù)；κb和κc分別為螺栓及管片環(huán)Timoshenko剪切系數(shù)，分別取0.9、0.5；Gb和Gc分別為螺栓和管片的剪切剛度：

(16)

(17)

式(16)—(17)中νb和νc分別為螺栓及管片的泊松比。

根據(jù)幾何關系，WU H. N.等[18]進一步推導出了管片錯臺量C的計算公式：

(18)

2.3 Pasternak地基相關參數(shù)

Pasternak地基模型[19]在傳統(tǒng)Winkler 模型基礎上增加1個剪切剛度為Gs的剪切層，能夠考慮地基彈簧的相互作用。Pasternak地基模型基床反力可表示為：

(19)

式中：p′為Pasternak模型基床反力；k為基床反力系數(shù)；w(x)為地基變形量；Gs為地基剪切剛度。

Tanahashi[23]建議采用以下經(jīng)驗公式來估算Pasternak地基剪切剛度：

(20)

式中：Es為土的彈性模量；ν為土的泊松比；ht為Pasternak模型中變形影響深度，徐凌[24]經(jīng)過研究指出，在分析土-隧道相互作用時，ht取2.5倍隧道直徑Dt。

Vesic[25]建議置于地表上的長梁地基反力系數(shù)表達式為：

(21)

Attewell等[26]建議采用2倍kVesic數(shù)值，大致估算出具有一定埋置深度地基梁的基床反力系數(shù)，即：

k=2kVesic。

(22)

本文采用Attewell等[26]的建議，利用式(22)計算Pasternak地基的基床系數(shù)。

3 實例驗證

3.1 工程概況

小淶港河道位于上海地鐵9號線某區(qū)間盾構段正上方，兩者位置關系及相關參數(shù)如圖4所示。由于附近工程施工，河道內(nèi)回填土方[27]?；靥钔恋母叨葹?.5 m，回填土重度γ=17 kN/m3，回填土重力荷載將導致下方盾構隧道產(chǎn)生不均勻沉降。計算中考慮河道水位降低1 m的影響。隧道斷面所在土層性質(zhì)如表1所示，上海地區(qū)盾構隧道管片結構參數(shù)如表2所示。

圖4 河道與隧道相對位置關系(單位： m)

表1 土層物理力學參數(shù)

表2 隧道管片結構參數(shù)[17]

3.2 計算結果分析

圖5示出幾種理論模型計算結果與實測數(shù)據(jù)的對比。由圖5可知： 4種理論模型計算結果相近，在河道堆載作用下，盾構隧道豎向變形呈正態(tài)分布，隧道中心處豎向變形最大，向兩邊逐漸減少。隧道豎向變形主要發(fā)生在河道加載中心兩側40 m范圍內(nèi)，為3～4倍的加載寬度，這與文獻[27]的研究結論相符。采用本文提出的T-P模型，隧道最大豎向變形為27.6 mm； EB-W模型(置于Winkler地基上的Euler-Bernoulli梁)計算結果稍小，為26.7 mm； EB-P模型(置于Winkler地基上的Pasternak梁)計算結果最小，為26mm； 康成等[14]采用的T-W模型計算結果最大，為28.4 mm。究其原因，本文提出的模型基于Timoshenko梁單元，能夠考慮盾構管片螺栓接頭對隧道整體剪切剛度的削弱，因此計算結果相比常用的Euler-Bernoulli梁模型較大。此外，本文T-P模型考慮了傳統(tǒng)地基彈簧之間的相互作用，能夠反映地基變形連續(xù)性，因此計算結果稍小于T-W模型。根據(jù)T-P模型和EB-W模型得到的隧道最大豎向變形均大于EB-P模型，但前者數(shù)值更大，表明理論模型采用Timoshenko梁單元相比Pasternak地基，對盾構隧道豎向變形性能影響更大。

圖5 理論計算結果與實測數(shù)據(jù)對比

從圖5中還可以發(fā)現(xiàn)，在河道加載中心兩側20 m范圍內(nèi)，幾種理論模型所得隧道豎向變形分布與監(jiān)測數(shù)據(jù)均大致吻合，但在實測數(shù)據(jù)的最大值附近，本文理論模型計算結果相比其他模型更接近實測值。本文模型相比其他幾種常用的計算模型，還可以進一步得到盾構隧道管片錯臺量，從而更準確地描述盾構隧道的復合結構形式。此外，在距加載中心20 m范圍外，實測變形比包括本文方法在內(nèi)的幾種模型計算結果都大得多，分析原因，在實際工程中，距離地面堆載較遠的盾構隧道會受到堆載之外的其他因素的影響，也會產(chǎn)生一定的變形量。

圖6給出了采用幾種理論模型計算得到的隧道縱向彎矩、剪力、接頭張開量及管片錯臺量對比圖。由圖6可知： 基于Euler-Bernoulli梁的2種模型計算結果相近，而本文T-P模型與康成等[14]采用的T-W模型計算結果更為相近。Euler-Bernoulli梁由于不能考慮管片螺栓接頭的存在而導致的隧道整體剛度的削減，內(nèi)力計算結果較大； 常規(guī)EB-W模型計算所得彎矩、剪力最大值為本文T-P模型的1.3倍，亦為T-W模型的1.2倍。對比EB-W和EB-P模型計算結果，以及T-W和T-P模型計算結果，Pasternak地基模型因剪切層的存在，能夠考慮地基連續(xù)性，因此基于Pasternak地基的模型相比基于傳統(tǒng)Winkler地基的模型，計算得到的隧道縱向內(nèi)力較小。

此外，通過分析圖6(a)和圖6(b)還可以發(fā)現(xiàn)： 隧道最大正彎矩(下側受拉為正)位于堆載中心，而隧道最大負彎矩位于堆載中心兩側1倍加載寬度(±24 m)處，最大正彎矩約為最大負彎矩的2.3倍； 隧道最大剪力出現(xiàn)在堆載邊界(±12 m)處。這幾個截面均較危險，實際工程中應給予足夠重視。

由圖6(c)和6(d)可知，接頭張開量、管片錯臺量分布圖分別與隧道彎矩、剪力分布圖變化趨勢一致，其原因為接頭張開量、管片錯臺量分別由隧道彎矩、剪力控制(式(14)和式(18))。根據(jù)圖6(d)，2種基于Euler-Bernoulli梁的計算模型假定盾構隧道剪切剛度無窮大，不考慮剪切效應，因此無法計算管片錯臺量； 而本文T-P模型及T-W模型所得管片錯臺量最大值差別較小，約為0.5 mm，位于隧道最大剪力出現(xiàn)位置，即堆載邊界(±12 m)處，可見Timoshenko梁模型更接近隧道變形的真實狀態(tài)。根據(jù)本文模型算得接頭最大張開量為0.7 mm，略小于Euler-Bernoulli模型計算結果0.8 mm。

4 影響因素分析

為了分析盾構隧道豎向變形與幾個關鍵變量之間的關系，建立下述工程案例： 在地面進行堆土施工，簡化堆土為矩形均布荷載，其大小為p=100 kPa，矩形荷載長l=24 m、寬B=50 m，堆載中心到隧道軸線的距離為d(水平方向)，隧道深度z0=10 m，堆載與隧道位置關系如圖1所示。隧道相關參數(shù)如前文所述，隧道等效抗彎剛度(EI)eq=7.8×107kN·m2，等效剪切剛度(κGA)eq=2×106kN/m。土層彈性模量為Es=10 MPa，泊松比ν=0.33。

(a) 彎矩M

(b) 剪力Q

(c) 接頭張開量O

(d) 管片錯臺量C

4.1 荷載位置的影響

圖7示出堆載與隧道之間水平距離d對隧道豎向變形w的影響?？梢钥闯?，當?shù)孛娑演d位于隧道正上方時，隧道豎向變形最大，變形最大值達到33.2 mm； 隨著距離d的增大，隧道豎向變形逐漸減小，即地面堆載距隧道軸線越遠，對隧道變形的影響越小。當d≥0.7B(B=50 m)時，地面堆載對隧道豎向變形影響較小，隧道最大豎向變形此時僅為2.6 mm?，F(xiàn)行GJJ/T 202—2013《城市軌道交通結構安全保護技術規(guī)范》[28]規(guī)定建設施工導致的“隧道豎向變形的預警值為10 mm，控制值為20 mm”。由圖7可知，當d≤0.4B(B=50 m)時，隧道最大豎向位移w>20 mm，超過了規(guī)范限值，存在安全隱患，應在施工過程中予以重視。此外，隧道豎向變形(沿軸線)主要集中在隧道軸線兩側±40 m(3～4倍加載寬度)，地面堆載對隧道軸線兩側40 m范圍以外的隧道結構影響很小，基本可以忽略。

圖7 堆載與隧道之間水平距離d對隧道豎向變形w的影響

4.2 土層彈性模量的影響

圖8示出土層彈性模量Es對隧道最大豎向變形wmax的影響。本文理論計算基于Pasternak地基模型，Pasternak模型中2個關鍵參量基床反力系數(shù)k和地基剪切剛度Gs均由土層彈性模量Es導出。由圖8可得，隨著土層彈性模量提高，隧道最大豎向變形不斷減小，這是由于土層彈性模量的增大使得基床反力系數(shù)k和地基剪切模量Gs都變大，地基剛度增強，因而隧道變形量減小。此外，從圖8中還可以發(fā)現(xiàn)，當Es≤14 MPa時，隨著隧道所在土層Es的提高，隧道變形量顯著減小，即當土層較軟弱時，隧道變形對土層彈性模量的增大響應明顯。實際工程中，可以采取通過對土層進行人工加固的方法減小堆載對隧道結構變形的影響，軟土地區(qū)的加固效果更突出。

圖8 土層彈性模量Es對隧道最大豎向變形wmax的影響

4.3 隧道等效抗彎剛度和等效剪切剛度的影響

圖9示出隧道等效抗彎剛度(EI)eq和等效剪切剛度(κGA)eq對隧道最大豎向變形wmax的影響。由圖9可知，在等效抗彎剛度一定的情況下，隨著等效剪切剛度(κGA)eq的增大，隧道最大豎向變形不斷減小，但當(κGA)eq超過2×106kN/m后，隧道最大豎向變形變化很??； 當(κGA)eq趨于無窮大時，本文T-P模型退化為不考慮盾構管片接頭對隧道整體剛度削弱的EB-P模型，此時隧道最大豎向變形將達到最小值?？梢?，一味增大管片接頭處剪切剛度并不能有效減小隧道豎向變形。由圖9還可以發(fā)現(xiàn)，在隧道等效剪切剛度(κGA)eq一定的情況下，隨著隧道等效抗彎剛度(EI)eq的增大，隧道最大豎向變形不斷減小。相較于等效剪切剛度(κGA)eq，等效抗彎剛度(EI)eq的增大對隧道豎向變形的影響更為顯著。

圖9 隧道等效抗彎剛度(EI)eq和等效剪切剛度(κGA)eq對隧道最大豎向變形wmax的影響

5 結論與討論

1)本文將盾構隧道簡化為置于雙參數(shù)Pasternak地基上的Timoshenko梁(T-P模型)，T-P模型可以考慮盾構隧道的剪切變形效應以及地基變形的連續(xù)性，能夠得到堆載引起的隧道縱向變形，以及隧道縱向彎矩、剪力、接頭張開量和管片錯臺量的分布。

2)對比實際工程監(jiān)測數(shù)據(jù)與理論模型計算結果，在實測數(shù)據(jù)的最大值附近，本文理論模型計算結果相比其他模型計算結果與實測數(shù)據(jù)更為吻合，從而驗證了本文模型的可靠性。

3)在隧道縱向變形計算上，本文提出的T-P模型相比常用的Euler-Bernoulli梁模型計算結果較大，而稍小于T-W模型計算結果，更接近實際監(jiān)測數(shù)據(jù)；在內(nèi)力計算上，Euler-Bernoulli梁模型計算結果較大，常用的EB-W模型彎矩、剪力最大值均為本文T-P模型的1.3倍。

4)參數(shù)分析發(fā)現(xiàn)，盾構隧道的變形受地面堆載相對位置、土層彈性模量以及隧道等效抗彎剛度影響較大，隨著堆載與隧道之間水平距離、土層彈性模量以及隧道等效抗彎剛度的增大，隧道豎向變形逐漸減?。?而盾構隧道的變形對隧道等效剪切剛度的變化不敏感，當?shù)刃Ъ羟袆偠瘸^2×106kN/m時，隧道最大豎向變形隨等效剪切剛度的增加變化很小。

由于技術所限，目前還缺少隧道縱向受力的相關監(jiān)測數(shù)據(jù)，因此，本文只是將基于理論模型的隧道受力結果與其他模型隧道受力結果進行橫向?qū)Ρ确治?，而缺少與實測數(shù)據(jù)的對比，這部分內(nèi)容還有待做進一步的研究。