張勇

【摘要】? 單元復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)應(yīng)該注重整體教學(xué)，設(shè)置適宜的問題或活動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)性的認(rèn)識(shí)，明晰知識(shí)間的聯(lián)系以及研究思路與方法，提升學(xué)生的思維水平。

【關(guān)鍵詞】? 整體 系統(tǒng) 單元復(fù)習(xí) 平行四邊形

【中圖分類號(hào)】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】? A 【文章編號(hào)】? 1992-7711（2020）05-108-03

緣起

教材的整體設(shè)計(jì)呈現(xiàn)不同知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。一些知識(shí)之間存在著實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，這種聯(lián)系體現(xiàn)在相同的內(nèi)容領(lǐng)域，也體現(xiàn)在不同的內(nèi)容領(lǐng)域。幫助學(xué)生理解實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。在九年級(jí)復(fù)習(xí)期間，如何借助結(jié)構(gòu)性的問題幫助學(xué)生從整體的視角更好地建構(gòu)知識(shí)體系，深刻理解知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系就顯得尤為重要。

基于上述思考，筆者對(duì)單元整體復(fù)習(xí)展開了研究。一方面通過結(jié)構(gòu)性的問題和數(shù)學(xué)活動(dòng)幫助學(xué)生把單元知識(shí)的鞏固和應(yīng)用形成整體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，另一方面把教材中的點(diǎn)狀知識(shí)關(guān)聯(lián)成網(wǎng)狀知識(shí)結(jié)構(gòu)，把相關(guān)聯(lián)的其它單元知識(shí)進(jìn)行重構(gòu)和拓展。讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課中收獲解決一類問題的一般性思維策略和方式、方法。筆者以平行四邊形單元復(fù)習(xí)為例，從整體的視角闡述在復(fù)習(xí)課中如何有效提高學(xué)生的認(rèn)知水平，從而實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力的目標(biāo)。

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

平行四邊形及矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)及判定.以及運(yùn)用這些內(nèi)容解決問題。

2.內(nèi)容解析

該單元是在學(xué)生復(fù)習(xí)了三角形的相關(guān)知識(shí)（其中包括特殊三角形直角三角形、等腰三角形）、全等三角形和軸對(duì)稱知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步復(fù)習(xí)四邊形的知識(shí)。

三角形的學(xué)習(xí)基本路徑為定義、性質(zhì)、判定、應(yīng)用，從一般到特殊。這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為后續(xù)平行四邊形等內(nèi)容的復(fù)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，提供了“一般觀念”的示范作用.

平行四邊形是邊的大小關(guān)系、位置關(guān)系、角的大小關(guān)系，對(duì)角線的關(guān)系特殊化而得到的特殊四邊形。而矩形、菱形、正方形亦是邊角對(duì)角線特殊化的平行四邊形類比三角形的復(fù)習(xí)建構(gòu)路徑，通過一系列思維活動(dòng)過程，再一次呈現(xiàn)“一類幾何圖形特例研究的一般套路”。

基于以上分析，本單元的教學(xué)重點(diǎn)是：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)及判定，以及這些內(nèi)容之間的聯(lián)系。系統(tǒng)化建構(gòu)知識(shí)體系。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.通過探究活動(dòng)回顧平行四邊形及矩形、菱形、正方形的定義、判斷、性質(zhì)，以及它們之間的關(guān)系。

2.能運(yùn)用性質(zhì)和判定進(jìn)行推理論證和定量計(jì)算。

3.能運(yùn)用相似三角形、勾股定理、面積法等方法，解決特殊四邊形相關(guān)的定量問題;通過解決特殊四邊形的定量問題，感受相似三角形、勾股定理、面積法是通法。

4.能通過探究活動(dòng)，體會(huì)平行四邊形及矩形、菱形、正方形的研究思路、研究?jī)?nèi)容、研究方法。

5.經(jīng)歷構(gòu)建知識(shí)體系的過程，總結(jié)歸納一類幾何圖形特例研究的一般套路。

基于以上分析，本單元的教學(xué)難點(diǎn)是：聯(lián)系三角形的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，建構(gòu)四邊形知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，并能把四邊形問題化歸為三角形問題來解決，促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)地思考問題。

三、教學(xué)過程

1.學(xué)情前測(cè)

（1）已知平行四邊形相鄰兩條邊的長(zhǎng)度之比為3：2，周長(zhǎng)為20cm.則它各條邊長(zhǎng)為?_________ .

（2）矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（? ? ）

A.對(duì)角相等 B.對(duì)邊相等C.對(duì)角線相等 D.對(duì)角線互相平分

（3）已知菱形的周長(zhǎng)為4，兩條對(duì)角線的和為6，則菱形的面積為?_________?.

（設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，教學(xué)應(yīng)該盡可能地從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)展開課堂活動(dòng)。在本節(jié)專題復(fù)習(xí)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過平行四邊形及矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)、判定，這些都是本節(jié)復(fù)習(xí)課的重點(diǎn)知識(shí)。筆者所教學(xué)的是杭州某公辦學(xué)校九年級(jí)班級(jí)，實(shí)際掌握情況中僅第2題出現(xiàn)3人答案錯(cuò)誤，1人空白。因此，通過前測(cè)的設(shè)計(jì)，從數(shù)學(xué)內(nèi)部舊知的角度評(píng)估學(xué)生的掌握情況。）

2.激活舊知

活動(dòng)1：利用直尺和圓規(guī)畫出以AB，AD為邊的平行四邊形。（要求保留作圖痕跡）

追問：你的作圖依據(jù)是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生呈現(xiàn)不同畫法，并通過推理論證自己的畫法。

方法1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?方法2

方法3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?方法4

（設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)開放的數(shù)學(xué)活動(dòng)，給學(xué)生提供了體驗(yàn)式的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與積極性。同伴分享的過程又給了學(xué)生借鑒學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。以此作為問題驅(qū)動(dòng)，通過思考、證明、討論、分享這些活動(dòng)，積累思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，從而達(dá)到舊知的復(fù)習(xí)以及新知的聯(lián)系。學(xué)生的不同生成激活了學(xué)生對(duì)平行四邊形定義、性質(zhì)、判定做的認(rèn)識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生按研究路徑進(jìn)行知識(shí)梳理）

3.聯(lián)系建構(gòu)

問題：我們復(fù)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)，是按照怎樣的路徑研究的？

師生活動(dòng)：學(xué)生回憶三角形的研究路徑——定義、性質(zhì)、全等關(guān)系。特殊三角形的研究路徑——定義、性質(zhì)、判定等。

追問1：回憶三角形性質(zhì)、判定的研究視角，類比三角形的研究視角從不同視角（邊、角、對(duì)角線）回憶平行四邊形的定義、性質(zhì)、判定。

師生活動(dòng)：學(xué)生梳理平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定。

追問2：矩形、菱形、正方形分別是把平行四邊形的什么元素特殊化而來的？

（設(shè)計(jì)意圖：對(duì)幾何圖形的研究按照從一般到特殊的思路進(jìn)行，比如直角三角形，它是一般三角形從角特殊化得到的.等腰三角形，它是從邊特殊化得到的。通過類比三角形構(gòu)建研究思路，用相似的思路研究不同的問題.引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)體系、深化理解。）

4.化歸本原

活動(dòng)2：在平行四邊形ABCD中畫出全等三角形。（要求只用直尺）

追問1：你能畫出多少對(duì)全等三角形？

師生活動(dòng)：學(xué)生呈現(xiàn)不同畫法，歸納只要直線過對(duì)稱中心就能得到全等三角形，這樣的全等三角形有無數(shù)對(duì)，本質(zhì)是平行四邊形的中心對(duì)稱性。

（設(shè)計(jì)意圖：通過探究活動(dòng)感受平行四邊形的中心對(duì)稱性）

追問2：當(dāng)平形四邊行特殊化為矩形后，除了具有中心對(duì)稱性外還有怎樣的對(duì)稱性？

（設(shè)計(jì)意圖：感受矩形除了具有平行四邊形的中心對(duì)稱性外，還具有軸對(duì)稱性）

活動(dòng)3：在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，若∠CAE=15°.你能得出哪些結(jié)論？

師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)矩形性質(zhì)分離出圖中的等腰三角形、等邊三角形、特殊直角三角形、全等、相似等關(guān)系。

追問1：若AB=4，你還能得出哪些結(jié)論？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答，互相補(bǔ)充。歸納得出圖中所有線段均可求，所有的角均可求，所有圖形的周長(zhǎng)面積均可求，線段比、面積比也可通過不同方法求解。

追問2：在求解的過程中你用了什么方法？

師生活動(dòng)：小組內(nèi)交流歸納如下

類型1：求線段類的方法：相似（全等）三角形、勾股定理、三角函數(shù)、面積法

類型2：求角度類的方法：相似（全等）三角形、三角函數(shù)。

類型3：求面積類的方法：相似（全等）三角形、割補(bǔ)法

追問3：試著自己提出問題，并解答。

師生活動(dòng)：改變題目的條件，例AB=4改為AB=3，BC=4等。

（設(shè)計(jì)意圖：從定性到定量，既利用性質(zhì)推理論證又通過解決矩形的定量問題，感受四邊形問題通常是化歸為三角形問題來解決，而相似三角形、勾股定理、面積法等方法是解決問題的通法。）

活動(dòng)4：如圖，正方形ABCD，AD=4，請(qǐng)按如下要求作圖：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AC與DE相交于點(diǎn)N，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，連結(jié)DF交AC于點(diǎn)M，當(dāng)△AFM和△CEN相似時(shí)，求AF的長(zhǎng)。

師生活動(dòng)：分類討論，歸納每一種情況所用方法，進(jìn)一步感受正方形性質(zhì)的豐富。

（設(shè)計(jì)意圖：正方形是特殊平行四邊形中具有代表性的一類，正方形既是軸對(duì)稱圖形，又是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。通過探究活動(dòng)感受正方形的對(duì)稱性，并利用對(duì)稱性解決問題.）

反思

1.整體立意，系統(tǒng)建構(gòu)

三角形的研究，經(jīng)歷了一般到特殊的圖形研究的過程。研究三角形的視角：邊、角、三線，這也是研究三角形的基本思路和方法。有了這樣的研究經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)，站在系統(tǒng)的高度，設(shè)置恰當(dāng)問題引導(dǎo)學(xué)生類比三角形的研究，正遷移研究方法和思路展開對(duì)四邊形的研究。感知平行四邊形是四邊形特殊化而來，進(jìn)一步特殊化得到矩形、菱形，再進(jìn)一步特殊化得到正方形這樣的過程。

體驗(yàn)從邊、角、對(duì)角線的視角來研究特殊四邊形的基本思路和方法，凸顯系統(tǒng)化，整體性。學(xué)生學(xué)會(huì)的不是單一的知識(shí)，也不是解決某一個(gè)問題的具體方法，而是解決一類問題的一般性思維策略和研究幾何圖形問題的方式和方法.因此，這是從“具體方法”到“思維策略”的提升。

2.加強(qiáng)直觀，思維可視

通過畫圖操作、探究等活動(dòng)，用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式加強(qiáng)對(duì)圖形的感覺、認(rèn)識(shí)、分析、推理。引發(fā)學(xué)生的思考，調(diào)動(dòng)已有知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，來尋求解決問題的思路。動(dòng)手動(dòng)腦的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)驗(yàn)到論證的過程，經(jīng)歷從合情推理到演繹推理的過程。利于學(xué)生的思維從直觀到抽象，從感性到理性的飛躍，發(fā)展學(xué)生問題解決的能力。

畫圖呈現(xiàn)的過程也是思維可視化的過程。說明作圖依據(jù)的過程是演繹推理的過程。只有學(xué)生參與了主動(dòng)實(shí)踐、觀察、思考的過程，才能有所發(fā)現(xiàn)，提出問題，才能有效地落實(shí)四基四能。

3.過程開放，拓展提升

每位學(xué)生獨(dú)立完成畫圖的過程。呈現(xiàn)不同的畫法和說明依據(jù)的過程，讓學(xué)生表達(dá)思考的過程，經(jīng)歷了從操作到思辨到邏輯推理的過程，發(fā)展了邏輯思維能力和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力。拓展了思維空間，激發(fā)了學(xué)生從不同角度思考問題，發(fā)展思維的靈活性。

不同方法的呈現(xiàn)既促進(jìn)學(xué)生同伴間的互相借鑒，又引發(fā)學(xué)生主動(dòng)整理知識(shí)，自發(fā)完善結(jié)構(gòu)體系。開放的問題設(shè)計(jì)，有利于面向全體，讓每個(gè)層次的學(xué)生都有參與的可能，都有參與的空間，思考的空間，提升的空間。

4.轉(zhuǎn)化化歸，回歸本質(zhì)

巧妙利用問題串在知識(shí)的橫向聯(lián)系和知識(shí)體系的縱向聯(lián)系中引導(dǎo)學(xué)生去體驗(yàn)感受。尤其是知識(shí)的縱向聯(lián)系上，筆者通過活動(dòng)3，活動(dòng)4讓學(xué)生充分感受特殊平行四邊形的定量探究問題是通過轉(zhuǎn)化為三角形，遷移應(yīng)用三角形知識(shí)來解決問題。模型思想、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法的歸納總結(jié)，幫助學(xué)生有效提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

[ 參? 考? 文? 獻(xiàn) ]

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）.

[2]陳鋒，薛鶯認(rèn)知引領(lǐng)關(guān)聯(lián)探究重構(gòu)拓展——單元整體復(fù)習(xí)課的備課經(jīng)歷和思考中學(xué)數(shù)學(xué)參考（中旬）2019（6）.