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        錯(cuò)在哪里?

        2020-03-08 14:26:06王彩霞
        陜西教育·教學(xué) 2020年2期
        關(guān)鍵詞:甲乙原題容積

        王彩霞

        我是一名從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育二十多年的一線教師,平常喜歡思考和探討一些數(shù)學(xué)問題,也喜歡和孩子們分享自己的經(jīng)驗(yàn)所得。所以,孩子們平常有了疑惑時(shí),總喜歡來向我請教。有一次,幾個(gè)孩子拿著這樣的一道題來問我。

        例2:甲、乙兩個(gè)裝有水的圓柱形容器,底面積之比是5∶4,甲容器水面高度為8厘米,乙容器水面高度為12厘米,再往兩個(gè)容器中注入同樣多的水,直到兩個(gè)容器水面高度相等,這樣甲容器的水面應(yīng)上升多少厘米?

        原題的分析與解答:

        注入同樣多的水,即注入水的體積相等,那么圓柱形容器的底面積和容器水面高度成反比例。

        甲乙兩個(gè)容器的底面積之比是5∶4,則甲乙兩個(gè)容器水面上升的高度之比是4∶5。原來甲容器的水面高度為8厘米,乙容器的水面高度為12厘米,甲比乙少12-8=4(厘米),現(xiàn)在兩個(gè)容器水面高度相等,可知乙容器水面上升的高度要比甲容器水面上升的高度多4厘米,所以甲容器的水面應(yīng)上升4÷(5-4)×4=16(厘米)。

        以上是由蔣順、李濟(jì)元主編,陜西人民教育出版社出版,2016年1月第1版的《小學(xué)奧數(shù)優(yōu)化課本六年級》第91頁的內(nèi)容。

        那么問題來了,甲容器底面積大、水位低,乙容器底面積小、水位高,甲乙兩個(gè)容器注入同樣多的水,水位高度怎么會相同呢?帶著對原題的疑惑,我對原題進(jìn)行了認(rèn)真思考與研究。我發(fā)現(xiàn)教材例2給出的原解法是錯(cuò)誤的。

        為了驗(yàn)證,我對原題做了以下兩種解法。

        方法1:直接驗(yàn)證

        由例2解法得到:甲容器水面上升16厘米,增加的水容積為16×5k=80k(容積單位)。

        乙容器水面上升16+8-12=12(厘米),增加的水容積為12×4k=48k(容積單位)。

        顯然,80k≠48k!與題意“兩個(gè)容器加入同樣多的水”矛盾。由此可見教材例2的原解法是錯(cuò)誤的。

        方法2:用方程解

        設(shè)甲容器水面上升x厘米后,甲乙兩個(gè)容器的水面同樣高,這時(shí)乙容器水面上升了8+x-12=x-4(厘米)。

        由兩個(gè)容器加入同樣多的水知,5x=4(x-4),解得x=-16,與實(shí)際問題不符。由此可見教材例2的原解法并不正確。

        那么例2原解法到底錯(cuò)在了哪里呢?

        它錯(cuò)在了題目所給的條件有問題。

        甲容器底面積大,乙容器底面積小,給甲乙兩個(gè)容器注入同樣多的水,使兩個(gè)容器的水位高度相同,那么甲容器的水面高度必須高、乙容器的水面高度必須低。

        把原題“甲容器水面高度為8厘米,乙容器水面高度為12厘米”修改為“甲容器水面高度為12厘米,乙容器水面高度為8厘米”,則此問題可解。

        甲、乙兩個(gè)裝有水的圓柱形容器,底面積之比是5∶4,甲容器水面高度為12厘米,乙容器水面高度為8厘米,再往兩個(gè)容器中注入同樣多的水,直到兩個(gè)容器水面高度相等,這樣甲容器的水面應(yīng)上升多少厘米?

        解法1:設(shè)甲容器水面上升x厘米后,甲乙兩個(gè)容器的水面同樣高,這時(shí)乙容器水面上升了12+x-8=x+4(厘米)。因?yàn)閮蓚€(gè)容器加入同樣多的水,所以5x=4(x+4),解得x=16。

        檢驗(yàn):當(dāng)甲容器水面高度上升16厘米時(shí),實(shí)際上給甲容器注入了16×5k=80k(容積單位),這時(shí)甲容器的水面高度是12+16=28(厘米)。這時(shí)給乙容器水面也注入了80k容積單位,乙容器的水面高度上升了80k÷(4k)=20(厘米),乙容器的水面高度是8+20=28(厘米)??梢姡?dāng)甲容器水面高度上升16厘米時(shí),甲乙兩個(gè)容器的水面高度都是28厘米,完全符合題意。

        解法2: 甲乙兩個(gè)容器的底面積之比是5∶4,則甲乙兩個(gè)容器水面上升的高度之比是4∶5。原來甲容器的水面高度為12厘米,乙容器的水面高度為8厘米,乙比甲少12-8=4(厘米),現(xiàn)由兩個(gè)容器水面高度相等,可知乙容器水面上升的高度要比甲容器水面上升的高度多4厘米,所以甲容器的水面應(yīng)上升4÷(5-4)×4=16(厘米)。

        通過對這道應(yīng)用題的研究,我認(rèn)識到解答應(yīng)用題,對解法結(jié)果要檢驗(yàn)。檢驗(yàn)解答結(jié)果,如果符合題意,說明解答是正確的;如果不符合題意,說明解答過程有問題,需要反思,找出問題癥結(jié),直到問題解決。

        作者單位 陜西省延安市延川縣南關(guān)小學(xué)

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