云南 蔣金團
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律,只要穿過回路的磁通量發(fā)生了變化,在回路中就會有感應(yīng)電動勢產(chǎn)生,感應(yīng)電動勢可以分為動生電動勢和感生電動勢兩類。動生電動勢的產(chǎn)生機理是由于外力使導(dǎo)體或回路切割磁感線,而使導(dǎo)體內(nèi)自由電子受到洛倫茲力定向運動產(chǎn)生電動勢;感生電動勢的產(chǎn)生機理是固定回路中的磁場發(fā)生變化,變化的磁場產(chǎn)生渦旋電場,渦旋電場對回路中的電荷施加的作用力是一種非靜電力,它引起了感生電動勢。雖然產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的原因只有兩種情況,但命題者可根據(jù)改變導(dǎo)體的運動方式、改變導(dǎo)體的形狀、改變磁場的空間分布、改變磁場的變化方式等手段豐富磁通量變化的內(nèi)涵,本文對這類問題做些探討。
1.直線導(dǎo)體平動切割磁感線
直線導(dǎo)體在勻強磁場中平動切割磁感線產(chǎn)生的電動勢為動生電動勢,計算公式為E=BLv,使用這個公式的條件是B、L、v三個物理量兩兩垂直;碰到不垂直情形時,必須通過正交分解構(gòu)造兩兩垂直。
【例1】半徑為a右端開小口的導(dǎo)體圓環(huán)和長為2a的導(dǎo)體直桿,單位長度電阻均為R0。圓環(huán)水平固定放置,整個內(nèi)部區(qū)域分布著豎直向下的勻強磁場,磁感應(yīng)強度為B。桿在圓環(huán)上以速度v平行于直徑CD向右做勻速直線運動,桿始終有兩點與圓環(huán)良好接觸,從圓環(huán)中心O開始,桿的位置由θ確定,如圖1所示。則
( )
A.θ=0時,桿產(chǎn)生的電動勢為2Bav
C.導(dǎo)體直桿上M點的電勢低于N點的電勢
【答案】AD
【點評】(1)用E=BLv計算時,L為有效長度;(2)切割磁感線那部分導(dǎo)體相當于電源,用右手定則判斷出感應(yīng)電流方向以后,根據(jù)“電源內(nèi)部電流從負極流向正極”可判斷出其正負極,則正極端的電勢高于負極端的電勢;(3)當電路閉合時,電源兩端的電壓是路端電壓,不能錯誤當成電動勢。
【例2】如圖2,在水平面(紙面)內(nèi)有三根相同的均勻金屬棒ab、ac和MN,其中ab、ac在a點接觸,構(gòu)成“V”字型導(dǎo)軌。空間存在垂直于紙面的均勻磁場,用力使MN向右勻速運動,從a位置開始計時,運動中MN始終與∠bac的平分線垂直且和導(dǎo)軌保持良好接觸。下列關(guān)于回路中電流i與時間t的關(guān)系圖線,可能正確的是
( )
【解析】設(shè)∠bac=2θ,單位長度電阻為R0
則MN切割產(chǎn)生電動勢
E=BLv=Bv·2vt×tanθ=2Bv2ttanθ=k1t
回路總電阻為
由閉合電路歐姆定律得
i與時間無關(guān),是一個定值,故A正確,BCD錯誤。
【答案】A
【點評】本題巧妙之處在于電動勢和總電阻都隨時間均勻增加,從而導(dǎo)致電流恒定不變,該題可當成經(jīng)典模型進行記憶。
2.折線(曲線)導(dǎo)體平動切割磁感線
當折線棒或曲線棒平動切割磁感線時,將棒的兩個端點連成直線,若該連線與速度和磁場的方向都垂直,則兩端點之間的距離為有效長度。
( )
【答案】B
【點評】將折線棒的兩個端點連成直線,設(shè)想回路是閉合的,則閉合回路的磁通量沒有發(fā)生變化,不會產(chǎn)生感應(yīng)電流,此時可理解成折線棒產(chǎn)生的電動勢與兩端點連線產(chǎn)生的電動勢抵消,這樣一來,計算折線棒產(chǎn)生的電動勢可轉(zhuǎn)化成計算兩端點連線產(chǎn)生的電動勢,這正是有效長度的原理所在。
【例4】如圖4所示,一導(dǎo)線彎成半徑為a的半圓形閉合回路,虛線MN右側(cè)有磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場,方向垂直于回路所在的平面?;芈芬运俣葀向右勻速進入磁場,直徑CD始終與MN垂直,從D點到達邊界開始,到C點進入磁場為止,下列結(jié)論正確的是
( )
A.感應(yīng)電流方向不變
B.CD段直線始終不受安培力
C.感應(yīng)電動勢最大值Em=Bav
【答案】ACD
3.直線導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)切割磁感線
【例5】如圖5所示,長為L的金屬OA桿繞過O點垂直于紙面的固定軸勻速轉(zhuǎn)動,角速度為ω,勻強磁場垂直于紙面向里,磁感應(yīng)強度為B,磁場范圍足夠大,金屬桿OA產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的大小可以用以下2種方法推導(dǎo)。
方法1法拉第電磁感應(yīng)定律法
設(shè)在時間Δt內(nèi)金屬桿掃過的面積為ΔS,則
感應(yīng)電動勢為
方法2等效法
( )
【解析】從靜止開始繞過圓心O以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時,線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小為
磁場變化時產(chǎn)生的電動勢為
根據(jù)題意兩次產(chǎn)生的感應(yīng)電流相等,因為電阻保持不變,兩次產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢也相等,即E1=E2
【答案】C
【點評】本題既考查了動生電動勢的計算方法,也考查了感生電動勢的計算方法,兩次產(chǎn)生的感應(yīng)電流相等是聯(lián)系兩次電磁感應(yīng)信息的橋梁。
【例7】半徑分別為r和2r的同心圓形導(dǎo)軌固定在同一水平面上,一長為r,質(zhì)量為m且質(zhì)量分布均勻的直導(dǎo)體棒AB置于圓導(dǎo)軌上面,BA的延長線通過圓導(dǎo)軌的中心O,裝置的俯視圖如圖7所示;整個裝置位于一勻強磁場中,磁感應(yīng)強度的大小為B,方向豎直向下;在內(nèi)圓導(dǎo)軌的C點和外圓導(dǎo)軌的D點之間接有一阻值為R的電阻(圖中未畫出)。直導(dǎo)體棒在水平外力作用下以角速度ω繞O逆時針勻速轉(zhuǎn)動,在轉(zhuǎn)動過程中始終與導(dǎo)軌保持良好接觸。設(shè)導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌之間的動摩擦因數(shù)為μ,導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌的電阻均可忽略,重力加速度大小為g,求:
(1)通過電阻R的感應(yīng)電流的方向和大??;
(2)外力的功率。
【解析】(1)在Δt時間內(nèi),導(dǎo)體棒掃過的面積為
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律,導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小為
根據(jù)右手定則,感應(yīng)電流的方向是從B端流向A端,因此流過導(dǎo)體R的電流方向是從C端流向D端;由歐姆定律流過導(dǎo)體R的電流滿足
(2)對導(dǎo)體棒受力分析,豎直方向受重力,兩圓導(dǎo)軌的支持力,水平方向受外力F、安培力、兩圓導(dǎo)軌的滑動摩擦力。
在豎直方向根據(jù)平衡條件有mg=2FN⑤
在水平方向上根據(jù)平衡條件有F=BIr+2μFN⑥
【點評】(1)當導(dǎo)體棒只有部分旋轉(zhuǎn)切割磁感線時,可取切割部分兩端點的速度之和的一半作為平均速度;(2)本題中的外力不一定沿著速度方向,但是把外力分解成沿著速度和沿著半徑的兩個分力時,沿著半徑的分力不做功,因此求外力的功率時,可設(shè)外力方向與速度方向相同。
4.圓盤轉(zhuǎn)動切割磁感線
【例9】法拉第圓盤發(fā)電機的示意圖如圖9所示。銅圓盤安裝在豎直的銅軸上,兩銅片P、Q分別與圓盤的邊緣和銅軸接觸。圓盤處于方向豎直向上的勻強磁場B中。圓盤旋轉(zhuǎn)時,關(guān)于流過電阻R的電流,下列說法正確的是
( )
A.若圓盤轉(zhuǎn)動的角速度恒定,則電流大小恒定
B.若從上向下看,圓盤順時針轉(zhuǎn)動,則電流沿a到b的方向流動
C.若圓盤轉(zhuǎn)動方向不變,角速度大小發(fā)生變化,則電流方向可能發(fā)生變化
D.若圓盤轉(zhuǎn)動的角速度變?yōu)樵瓉淼?倍,則電流在R上的熱功率也變?yōu)樵瓉淼?倍
【答案】AB
【點評】本題考查了圓盤旋轉(zhuǎn)切割磁感線的處理方法,我們做這類題時不但要學(xué)會感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流的計算,還要學(xué)會判斷圓盤兩極電勢的高低。
【例10】如圖10所示,一圓形閉合銅環(huán)由高處從靜止開始下落,穿過一根豎直懸掛的條形磁鐵,銅環(huán)的中心軸線與條形磁鐵的中軸線始終保持重合。若取磁鐵中心O為坐標原點,建立豎直向下為正方向的x軸,則以下最能正確反映環(huán)中感應(yīng)電流i隨環(huán)心位置坐標x變化的關(guān)系圖象是
( )
【解析】圓形閉合銅環(huán)由高處從靜止開始下落,穿過一根豎直懸掛的條形磁鐵,銅環(huán)的中心軸線與條形磁鐵的中軸線始終保持重合,圓環(huán)中磁通量變化不均勻,產(chǎn)生的感應(yīng)電流不是線性變化,A錯誤;銅環(huán)下落到磁鐵頂端的速度小于下落到磁鐵底端的速度,銅環(huán)下落到磁鐵頂端產(chǎn)生的感應(yīng)電流小于下落到磁鐵底端產(chǎn)生的感應(yīng)電流,選項B正確,CD錯誤。
【答案】B
【點評】本題也可以從切割磁感線的角度加深理解,磁鐵正中央發(fā)出的磁場方向是豎直向下,圓形線圈來到這個位置時,瞬時電動勢為0,所以前半段過程的電流先增大后減小。
1.回路中只有感生電動勢
【例11】如圖11所示,一正方形線圈的匝數(shù)為n,邊長為a,線圈平面與勻強磁場垂直,且一半處在磁場中,在Δt時間內(nèi),磁感應(yīng)強度的方向不變,大小由B均勻地增大到2B,在此過程中,線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為
( )
【答案】B
【點評】計算磁通量的變化量時,必須取有效面積,對稱軸右方的面積無磁場穿過,為無效面積。
2.動生電動勢和感生電動勢共存
【例12】如圖12所示,兩條相距l(xiāng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面(紙面)內(nèi),其左端接一阻值為R的電阻;一與導(dǎo)軌垂直的金屬棒置于兩導(dǎo)軌上;在電阻、導(dǎo)軌和金屬棒中間有一面積為S的區(qū)域,區(qū)域中存在垂直于紙面向里的均勻磁場,磁感應(yīng)強度大小B1隨時間t變化的關(guān)系為B1=kt,式中k為常量;在金屬棒右側(cè)還有一勻強磁場區(qū)域,區(qū)域左邊界MN(虛線)與導(dǎo)軌垂直,磁場的磁感應(yīng)強度大小為B0,方向也垂直于紙面向里。某時刻,金屬棒在一外加水平恒力的作用下從靜止開始向右運動,在t0時刻恰好以速度v0越過MN,此后向右做勻速運動。金屬棒與導(dǎo)軌始終相互垂直并接觸良好,它們的電阻均忽略不計。求:
(1)在t=0到t=t0時間間隔內(nèi),流過電阻的電荷量的絕對值;
(2)在時刻t(t>t0)穿過回路的總磁通量和金屬棒所受外加水平恒力的大小。
【解析】(1)金屬棒越過MN之前,從t=0到t=t0的時間間隔內(nèi)回路的磁通量的變化量ΔΦ=ΔB·S=kSt0
(2)當t>t0時,金屬棒已越過MN,設(shè)時刻t回路中的電流為It,則有
時刻t回路中的磁通量Φt=kSt+B0lv0(t-t0)
因為金屬棒在MN右側(cè)做勻速直線運動
【點評】動生電動勢和感生電動勢共存時,先用楞次定律和右手定則判斷出兩者的方向是否相同,當方向相同時,總電動勢等于動生電動勢和感生電動勢之和;當方向相反時,總電動勢等于動生電動勢和感生電動勢之差。
3.按正弦規(guī)律變換的磁場問題
【例13】(2018年全國Ⅲ卷第20題)如圖13中(a),在同一平面內(nèi)固定有一長直導(dǎo)線PQ和一導(dǎo)線框R,R在PQ的右側(cè),導(dǎo)線PQ中通有正弦交流電i,i的變化如圖(b)所示,規(guī)定從Q到P為電流正方向。導(dǎo)線框R中的感應(yīng)電動勢
( )
D.在t=T時最大,且沿順時針方向
【答案】AC