周曉濤，馬小飛，范葉森

(中國空間技術研究院西安分院，西安 710000)

0 引言

隨著材料科學與工程技術的發(fā)展，復合材料在大型可展開天線領域內(nèi)使用逐漸增多?！皻つそY構”(二維三向編織碳纖維增強柔性基體復合材料構成的平面結構)這一復合材料使得殼與膜結構的特性得以合二為一，具有一定的剛度與一定的柔度。

編織碳纖維在航空航天等大型輕質(zhì)結構件上有著廣泛的應用[1-6]。這種復合材料采用面內(nèi)對稱編織方式，具有一定程度的對稱性，所以面內(nèi)力學特性表現(xiàn)出“準各項同性”性質(zhì)[7,8]。編織復合材料由于相互交織，具有提高層間斷裂韌性和沖擊損傷容限的潛力。殼膜材料更堅硬，更易于操作，并且能夠保持結構完整性。因此，殼膜對許多工業(yè)應用具有吸引力。美國、加拿大以及歐洲都計劃將殼膜材料應用于其衛(wèi)星的反射器[9-11]。

針對殼膜結構的建模分析研究起步于20世紀末期。Fujita A、Hamada H、Maekawa Z[11]、S.V. Hoa、S.Z. Sheng、P. Ouellette等[12]、Qi Zhao、S. V. Hoa[13]相繼研究了求解殼膜結構等效參數(shù)的建模方法。其后2006至今，來自馬來西亞大學的A.B.H.Kueh等[14,15]與來自日本的Takahira Aoki和Keishiro Yoshida等[8]分別對殼膜的尺寸效應與漸進破壞等內(nèi)容進行了研究。Leri Datashvili和Horst Baier等[16]針對殼膜的空間應用做了諸多研究，在力學建模仿真方法上采用的是有限元軟件的建模分析計算。

針對求解二維三向編織碳纖維復合材料的彈性力學基本參數(shù)的研究方法多種多樣，但如何在大尺寸結構上進行建模與仿真分析還需進一步研究。本文在求解碳纖維材料參數(shù)的基礎上，采用材料力學的基本理論，將三向編織碳纖維復合材料等效為一種均布的、連續(xù)的等效板結構，提出的等效方法可以快速應用與，這為采用商業(yè)有限元軟件進行建模分析打下了基礎。在引用本文研究者們求出的材料力學特性參數(shù)的基礎上，進行了等效板殼單元參數(shù)的求解，進一步采用ABAQUS，建立了反射器的有限元模型，進行了基本載荷形式下的反射器模型的仿真分析。

1 殼膜結構

殼膜結構及其單胞尺寸如圖1所示。碳纖維束的材料力學性能參數(shù)由查得的碳纖維材料參數(shù)與環(huán)氧基體材料參數(shù)計算得出，如表1所示。通過復合材料力學的相關基本計算理論計算所得碳纖維束參數(shù)與A.B.H.Kueh在計算時所給出的參數(shù)[7]基本相同。

圖1 殼膜結構與單胞尺寸Fig.1 Shell-membrane structure and single-cell diagram

表1 碳纖維束的材料參數(shù)Table 1 Material properties of carbon fiber

表2 單胞尺寸Table 2 Single-cell parameters

2 殼膜結構等效模型

2.1 等效厚度

等效彎曲剛度的計算公式采取類似梁、板在受到純彎曲載荷時的計算公式。

在受到純彎曲載荷時，梁與板模型均有撓曲線與彎矩值關系的解析解。如(1)所示，是梁在x=0處受彎矩的撓曲線方程，如(2)所示，是梁在x=l處受彎矩的方程。

(1)

(2)

式中，EI代表梁、板的抗彎剛度。

采用疊加原理，可以得到在簡支梁兩端同時受等大反向彎矩的撓曲線方程。撓曲線ν(x)可以通過不同點的撓曲線數(shù)值擬合得到，純彎曲變形下，有限元計算數(shù)據(jù)應與理論解析解相同，但由于前一章有限元梁模型還存在邊界效應，實際上這一步等效忽略了邊界效應的影響。

通過ABAQUS中的后處理分析模塊，對400mm×100mm平面殼膜結構有限元模型仿真數(shù)據(jù)采集，得到了有限元梁模型沿x方向的13條位置的平均z向位移值與兩端約束彎矩。應用MATLAB進行圖像繪制可以得到如圖2所示FEM模型數(shù)據(jù)。將彎矩帶入(2)計算可得如圖1所示擬合曲線。

圖2 撓曲線擬合數(shù)據(jù)Figure 2 Curve fitting data

代入求解數(shù)據(jù)，擬合曲線的表達式如(3)所示。

ν(x)=-2.5016×10-5x2+0.01x-

1.0849×10-4mm

(3)

則可計算得到：

ν″(x)=-5.0032×10-5/mm

(4)

聯(lián)立上式可以得到，等效厚度t的計算公式如(5)所示。

(5)

計算結果所得t=0.0729mm。通過等效厚度與前一章節(jié)中的厚度等效計算與各項同性材料力學參數(shù)的公式，可以得出等效板模型的面內(nèi)力學特性參數(shù)。

2.2 等效力學特性參數(shù)

針對二維三向編織碳纖維復合材料的材料等效參數(shù)的計算，選取采用等效層合板理論進行計算[17]。結合等效厚度的再計算，可以得到等效力學特性參數(shù)如下。

(1)面內(nèi)力學特性參數(shù)

根據(jù)前述計算結果，有表3所示面內(nèi)等效材料參數(shù)：

表3 有限元模型的面內(nèi)力學特性等效參數(shù)Table 3 Equivalent in-plane properties of FEM

上式中各個參數(shù)的計算是由前一章在大尺寸下不同角度的仿真計算結果的平均值進一步計算得到的。

(2)面外力學特性參數(shù)

對面外力學特性參數(shù)，采取復合材料力學層合板理論的體積分數(shù)計算公式進行E3的計算。剪切模量G23,G13大小相等，采用彈性力學分析的手段求取其數(shù)值。

采用體積分數(shù)公式進行估算得到：

(6)

面外剪切模量的獲取通過彈性力學基本方程的分析得到。

在求取平均值意義下的變形曲線時，即取y=0時的情況進行近似，可以得到如式(7)所示結果，結果顯示，在彈性力學意義下，計算彎曲變形時，面外剪切模量對彈性體變形的影響僅在非中面的拉伸變形體現(xiàn)?？紤]反射器模型可能受到的載荷形式以及反射器的曲面形狀與曲率大小，選取剪切模量即為碳纖維的剪切模量，能夠保證計算反射面模型在平均值意義下的變形數(shù)值的精度。

(7)

式中，u、v分別代表沿x,y方向的撓度變化。

(3)等效密度

等效密度為在等效厚度下的密度。前文中提到殼膜結構的等效面密度為75kg/m2，則由實際模型與等效模型的體積比與厚度比可以得到等效密度大小。

(8)

后文中，進行重力加載時，設置的等效密度即為上式結果。

2.3 等效模型的仿真驗證

有限元模型的等效如圖3所示。有限元模型的尺寸為400mm×100mm。編織結構的建模是通過ABAQUS中一維梁單元的陣列與裁剪得到的，整個模型均采用了B31單元設置。連續(xù)有限元模型采用了殼單元設置。

對這樣的有限元模型進行彎曲變形的仿真來進行驗證，可以得到如所示的仿真結果，仿真結果表明，同樣大小的等效有限元板模型和等效三向編織殼膜結構的梁單元模型的計算結果與趨勢是相同的。故針對反射器的建模將采用等效參數(shù)的有限元模型進行。

圖3 等效的有限元板模型Figure 3 Equivalent finite element plate model

圖4和表4表示了在簡支彎曲變形條件下的變形的整體云圖和最大變形位移，可以由圖例顯示與數(shù)據(jù)對照說明，等效有限元板模型相比較三向編織殼膜結構的梁模型，具有等效仿真的作用。

表4 彎曲最大變形與端部彎矩值對比Table 4 Comparison of max deformation and moment at constrain side

(a) 編織結構的有限元模型變形云圖

3 殼膜反射器有限元模型的仿真分析

3.1 重力載荷變形分析

殼膜反射器在實際工程中實現(xiàn)方式之一是分扇區(qū)進行加工后再進行拼裝，所以本節(jié)針對單層二維三向編織碳纖維復合材料構成的六分之一扇區(qū)進行建模分析。本節(jié)針對有限元模型的分析，采用重力載荷進行仿真加載，邊界約束條件采用扇區(qū)兩邊完全固支約束。通過不斷密分網(wǎng)格進行求解，得到的變形極值如表3所示。

表5 單元邊界尺寸與仿真結果數(shù)值Table 5 Element length and simulation result

在選取單元尺寸為3mm時變形的云圖如圖4所示。從圖中可以看出，由二維三向編織碳纖維復合材料構成的反射面在重力場下的變形呈現(xiàn)出了末端的“波浪狀”變形。

圖5 單元尺寸3mm時云圖結果Figure 5 Simulation result of 3mm-long element FEM

基于等效力學特性參數(shù)計算得到的模型目前只適用于計算平均值意義下的變形分析，在進行仿真分析方面，采取重力場載荷施加是為了進行模型單元數(shù)量的確定，雖然加密網(wǎng)格能夠提高計算精度，但也增多了計算時間，降低了計算效率，通過表 3可以看出，在選取單元尺寸在12.5mm時，得到的計算精度已經(jīng)達到了 級別。

3.2 模態(tài)分析

為分析實際工況下的模態(tài)，將9根反射器支撐肋結構(以下簡稱肋)的末端均限制6個自由度進行約束模態(tài)分析。采取有效質(zhì)量10%為主要模態(tài)的標準值，則可以得到無重力加載和有重力加載的模態(tài)頻率在30Hz內(nèi)的約束模態(tài)振型與主要頻率及其對應的有效質(zhì)量，如表6、表7所示。

表6 約束九根肋根部時的主要模態(tài)Table 6 Free main modal of shell-membrane reflector when 9 ribs are constrained

表7 重力載荷作用下約束九根肋根部時的主要模態(tài)Table 7 Main modal under gravity of shell-membrane reflector when 9 ribs are constrained

通過表格可以看出，主要模態(tài)的階數(shù)在此標準下已經(jīng)在100階以上，說明模型的局部模態(tài)階數(shù)非常多。同時，主要模態(tài)在有無重力時有部分差距，通常認為模態(tài)只與質(zhì)量和剛度有關，應與外載荷無關，但是對于殼膜反射面，在受重力時，反射面的變形比較明顯，所以在結構尺寸和形態(tài)上由較明顯的變化，從而導致結構剛度矩陣的變化，進而在重力載荷下，主要模態(tài)相較于沒有重力載荷情況有一定的差別。經(jīng)驗證，如果在ABAQUS設置中取消非線性計算選項，則在重力載荷下的模態(tài)與無重力載荷下的模態(tài)相同。本節(jié)仿真結果表明針對反射器進行設計參數(shù)改變后的模態(tài)分析驗證是極為必要的。

4 結論

本文通過建立殼膜結構的等效板單元，建立了一種基于商業(yè)有限元軟件的用于計算二維三向編織碳纖維復合材料的有限元模型。建立等效模型的過程中，由于選取的均是材料處于線性變形關系的情況進行等效模型的建立，故本文建立的等效模型是適用于線性材料范圍內(nèi)的模型。相關結論如下：

(1)采用了材料力學的基本假設，通過將殼膜結構等效為連續(xù)的板結構，求取了等效板單元的面內(nèi)力學特性參數(shù)，并進行了驗證。

(2)通過等效板單元，基于ABAQUS建立了反射面的有限元模型，并通過加密網(wǎng)格的方法，確定了選取單元尺寸與計算精度的對比關系。

(3)通過對反射器進行加載重力前后的反射器約束模態(tài)分析，給出了反射器受重力等載荷變形后主要模態(tài)發(fā)生改變的仿真結果，仿真結果表明針對反射器進行設計參數(shù)改變后的模態(tài)分析驗證是極為必要的、殼膜反射器的主要模態(tài)階數(shù)較高。