井旭旭,文立華

(1.中國科學院光電技術研究所，成都 610200；2.西北工業(yè)大學航天學院，西安 710000)

0 引言

索網(wǎng)式空間可展開天線是目前應用廣泛的空間可展開天線形式，在對地觀測、導航定位、移動通信等方面的應用日益廣泛。這種天線反射面及其調(diào)整結構是典型的空間張拉結構，具有大位移、小應變的力學特性并且僅能單向承拉，呈現(xiàn)典型的幾何非線性特性。索網(wǎng)式可展開天線反射網(wǎng)面上索單元的位置誤差決定了天線精度，索網(wǎng)結構的預張力分布和邊界條件決定了結構的形狀及其承載能力，具有特定形狀的索網(wǎng)結構及其邊界條件也對應著相應的預張力場。因此，索網(wǎng)式可展開天線的預張力設計問題本質(zhì)是在反射網(wǎng)面保形條件下尋求一組可以構成設計拋物面的預張力，也即“由形找力”。

關于張拉整體結構的找形與優(yōu)化問題已有大量的研究，數(shù)值方法是索網(wǎng)式空間張拉結構找形的最主要設計方法，可以分為力密度法[1,2]、動力松弛法[3,4]和非線性有限元法[5,6]等。文獻[7,8]探索了索桿結構的找形與預張力設計，由于這些方法所有單元都是軸向受力，忽略了橫向載荷和彎矩，不適用于索梁結構。文獻[9,10]探索了索梁結構找形與優(yōu)化方法，由于問題的高度非線性，給索梁張拉結構的找形帶來了一定的困難。以上各類預張力找形設計方法在本質(zhì)上可以分為兩類：一是利用索網(wǎng)的平衡方程求解一組合適的預張力；二是試探性給出一組預張力，利用非線性有限元法進行找形分析，給出反射網(wǎng)面誤差，通過優(yōu)化方法找出一組合適的預張力。前一類方法的優(yōu)點是力學原理清晰，但缺點在于沒有考慮索材的本構關系，且預張力可能存在多組解。后一類方法的優(yōu)點在于引入了索材的本構關系，缺點在于很難給出一組初始自平衡預張力，使得計算型面收斂困難。

本文將結合上述兩類方法各自的優(yōu)點，提出了一種索網(wǎng)結構的找形與優(yōu)化設計方法，完成了傘型索網(wǎng)式可展開天線的預張力優(yōu)化與找形設計。首先，利用反射網(wǎng)節(jié)點的平衡矩陣，給出可行的自平衡預張力設計空間。其次，在設計空間上利用遺傳算法，優(yōu)化出使前表面索單元預張力配置最均勻的一組初始張力。這組預張力不僅滿足均勻化要求，并且是自平衡的。最后，將這組初始張力作為輸入，利用非線性有限元法進行找形分析，獲得了滿意的結果。

1 天線構型

如圖1所示，傘形索網(wǎng)式可展開天線設計為六骨架結構。其中，前反射網(wǎng)面為拋物面，反射網(wǎng)面不直接依附于支撐肋(展開桿)。支撐肋之間設計有對稱的跨肋調(diào)整索以及豎向調(diào)整索。傘形空間可展開天線由柔性索網(wǎng)及支撐結構共同形成受力體系。天線結構參數(shù)：口徑為2.5m；焦距為2m；型面精度要求σ≤2mm。傘形空間可展開天線前反射面由三向網(wǎng)格逼近拋物面面型，一般采用最小均值法來估算網(wǎng)格單元長與反射面型之間的關系[11]：

(a)天線布局

(1)

拋物面的設計精度指標決定了網(wǎng)格單元的最大可取長度。反射面網(wǎng)格單元需滿足Lmax<503.9mm，實際設計為L=337mm。天線支撐肋設計為單肢旋轉可展開結構，展開角為82°。支撐結構原理如圖2所示。天線索網(wǎng)材料均為Kevlar49，支撐肋材料為碳纖維M60J。

圖2 支撐結構原理圖Fig.2 Schematic diagram of the supporting structure

2 預張力平衡方程

2.1 平衡矩陣與協(xié)調(diào)矩陣

傘形空間可展開天線的索網(wǎng)部分可以看作是由節(jié)點與節(jié)點之間連接承受張拉力的桿單元而成的桁架體系，又稱為張力桁架體系。對于可展開天線索網(wǎng)結構，如圖3所示，任意自由節(jié)點i均可以寫出其節(jié)點平衡方程：

圖3 節(jié)點受力示意圖Fig.3 Diagram of the force on a nodea

(2)

對索網(wǎng)結構中的每一個非約束節(jié)點列出上述平衡方程，并集合成總體平衡方程：

[A]3(N-C)×M{T}M×1={P}3(N-C)×1

(3)

式中：N為節(jié)點總數(shù)；C為約束節(jié)點總數(shù)；M為索網(wǎng)結構的索段總數(shù)。[A]3(N-C)×M為索網(wǎng)結構的平衡矩陣；{T}M×1為索段的預張力列向量；{P}3(N-C)×1為作用于所有非約束節(jié)點上的外載荷列向量。

假設平衡矩陣A與變形協(xié)調(diào)矩陣B的秩為r，則自應力模態(tài)數(shù) 和機構位移模態(tài)數(shù)m滿足如下的關系式[8,9]：

s=M-r

(4)

m=3(N-C)-r

(5)

對于圖1所示的傘形天線索網(wǎng)結構而言，所有非約束節(jié)點在工作狀態(tài)下均不承受外載荷的作用。因此，式(3)中的右端項{P}3(N-C)×1=0，故而：

[A]3(N-C)×M{T}M×1=O

(6)

顯然，空間天線的索網(wǎng)結構的預張力優(yōu)化問題就是在滿足方程(6)的條件下，求解一組滿足前表面索預張力足夠均勻的列向量T。[A]3(N-C)×M矩陣的零空間就是自平衡張力的設計空間。

2.2 傘形天線的預張力優(yōu)化模型

天線反射網(wǎng)結構平衡方程式平衡矩陣 完全由索網(wǎng)的節(jié)點位置確定?？紤]到空間天線反射網(wǎng)結構的對稱特性，且自平衡索網(wǎng)不承受外載荷，取天線反射網(wǎng)結構的1/12模型給出反射網(wǎng)的平衡矩陣A是合適的[12,13]。

由圖4可以看出：天線反射網(wǎng)的1/12模型共有18個自由節(jié)點，有48條索段。因此，天線反射網(wǎng)的平衡矩陣A的規(guī)模為54×48。已經(jīng)求得平衡矩陣A54×48的秩為：

圖4 索段編號Fig.4 Number of the cable segments

rank(A54×48)=37

(7)

由此，可以得到結構的自應力模態(tài)數(shù)s=11和機構位移模態(tài)數(shù)m=17。

這里引入奇異值分解求解平衡矩陣A54×48的自應力模態(tài)向量，也即A54×48的零空間基。

(8)

由矩陣的奇異值分解特性可以知道：矩陣V的右11列構成平衡矩陣A54×48的零空間正交基；矩陣U的右17列構成平衡矩陣A54×48的左零空間正交基。假若將反射網(wǎng)的自應力模態(tài)矩陣取為S=(s1,s2,L,s11)，那么S可取為[12]：

S=(s1,s2,L,s11)=(V38,V39,L,V48)

(9)

反射網(wǎng)中的預張力分布可以展開為：

T=a1s1+a2s2+L+a11s11

(10)

天線反射網(wǎng)面上預張力均勻化模型的優(yōu)化變量可以取為平衡矩陣自應力模態(tài)向量的組合系數(shù)：a1,a2,L,a11。天線反射網(wǎng)結構預張力優(yōu)化目標函數(shù)：

min:fmax/fmin

(11)

式中，fmax為前反射面上索單元最大張拉力，fmin為前反射面上索單元最小張拉力。對應于張拉力列向量T，可以將目標函數(shù)改寫為：

min: max(T1)/min(T1)

(12)

式中，T1=T(1:27)為T向量中前反射面上的索段張力。所有索單元預張力的取值范圍為[2N,100N]。則反射網(wǎng)預張力優(yōu)化模型的約束條件為：

2N

(13)

綜上，天線反射網(wǎng)結構預張力優(yōu)化為如下優(yōu)化問題：

finda1,a2,L,a11

min max(T1)/min(T1)

s.t. 2

(14)

3 預張力優(yōu)化設計

3.1 優(yōu)化模型轉化

優(yōu)化問題式(14)是一個多變量優(yōu)化問題，并且，張力列向量T是含有優(yōu)化變量a1,a2,L,a11的參變量，但是約束條件卻直接建立在列向量T的所有元素上。因此優(yōu)化變量a1,a2,L,a11與目標函數(shù)之間很難建立起直接的函數(shù)關系。采用遺傳算法求解優(yōu)化問題式(14)比較合適。

遺傳算法提供了一種求解非線性、多模型、多目標等復雜優(yōu)化問題的通用框架，但是它不能處理有約束的優(yōu)化問題[13]。因此需要對優(yōu)化問題式(14)進行相應改造，使其轉化為無約束優(yōu)化問題。

首先，對優(yōu)化問題式(14)中的約束條件進行歸一化處理：

(15)

(16)

其次，利用外點罰函數(shù)法對目標函數(shù)進行改進。取一個極大的正數(shù)M，構成修正后的目標函數(shù)為

min:max(T1)/min(T1)+

(17)

最后，優(yōu)化變量a1,a2,L,a11取值范圍，必須保證式(10)求得的張拉力列向量T中的每一個元素都可以在[2N,100N]內(nèi)任意取值。本文按照如下的方式來保證這一條件：將已經(jīng)正交的自應力模態(tài)向量s1,s2,L,s11歸一化，并分別對元素取絕對值，最后將這些元素恒大于零的自應力模態(tài)向量線性求和，取和列向量中的最小元素為參考量，以張拉力的上限100N除以該參考量作為優(yōu)化變量a1,a2,L,a11取值范圍的參考上限，如式(18)所示。對于本文而言：|aj|max=809.98，為使優(yōu)化變量更易于浮點編碼，優(yōu)化變量的取值范圍取定為：aj[-1000,1000],(j=1,2,L,11)。

(18)

這樣，反射網(wǎng)預張力優(yōu)化式(14)轉化為如下優(yōu)化問題：

finda1,a2,L,a11-1000

[max(T(i)/100-1,0)]2}

(19)

3.2 預張力優(yōu)化

將遺傳算法中交叉概率取為Pc=0.7，變異概率取為Pm=0.15，種群規(guī)模取為100，遺傳終止代數(shù)取為500。外點罰值取為M=1×109。優(yōu)化模型式(19)的目標函數(shù)值(適應度)隨遺傳代數(shù)的變化曲線如圖5所示，可以看出：目標函數(shù)值(適應度)隨著遺傳代數(shù)的增加逐漸降低，即反射面上的索網(wǎng)單元預張力趨于均勻化。

圖5 目標函數(shù)曲線Fig.5 The objective function curve

圖5代表的種群進化過程表明：優(yōu)化變量在16代之前的尋優(yōu)主要是尋找滿足優(yōu)化模型式(14)中約束條件的變量范圍，這個變量范圍是優(yōu)化模型滿足約束條件時的可行域，優(yōu)化變量很快收斂到這個可行域上。優(yōu)化變量在16～501代上的尋優(yōu)主要是在約束條件的可行域下尋找使得目標函數(shù)值最小的可行解，這些可行解構成的目標函數(shù)可行域是滿足約束條件可行域的子集。最終得到的目標函數(shù)值為：max(T1)/min(T1)=8.406，索網(wǎng)的最終預張力分布如表1所示。

表1 索網(wǎng)單元張拉力分布值Tab.1 Pretensions on the cable segments

4 反射面找形分析

為驗證上述一組預應力的正確性，可以將預應力作為輸入條件，利用非線性有限元法對天線進行找形分析。若找形結果顯示反射面節(jié)點誤差很小，在數(shù)值誤差以內(nèi)，則說明這組預張力可以使天線張拉成型，且索網(wǎng)位于設計拋物面上。采用有限元軟件ANSYS對天線反射網(wǎng)結構進行找形分析，小彈性模量法作為找形方法。模型中索網(wǎng)單元采用link10單元來模擬，索結構的預張力通過給定索單元link10初始應變的方式施加。找形分析僅考慮預應力條件下索網(wǎng)結構的最終形態(tài)是否滿足面型要求，因此這里將天線支撐結構設定為固定約束。

(a)位移云圖 (b)張拉力云圖圖6 找形之后索網(wǎng)節(jié)點位移與張拉力Fig.6 Displacements and Pretensions on the cable segments after the form-finding analysis

展開天線最終以索網(wǎng)及展開肋構成索梁一體式自平衡結構，在完成索網(wǎng)找形之后，還需對天線整體結構進行形態(tài)分析，以驗證索網(wǎng)預張力的穩(wěn)定性。

(a)位移云圖 (b)張拉力云圖圖7 整體張拉后索網(wǎng)節(jié)點位移與張拉力Fig.7 Displacements and Pretensions on the cable segments after the antenna analysis

由圖7可以看出：相較于不考慮支撐肋的彈性變形時而言，整體分析后的節(jié)點位移變大，但前表面節(jié)點最大位移依然保持在0.06mm以下，說明天線拋物面形態(tài)保持良好，此時天線反射面的型面誤差為 ，也遠小于設計指標2mm要求。比較索單元預張力在找形分析和整體分析后的配置變化情況，如圖8所示?？梢钥闯觯呵氨砻嫠鲉卧念A張力在引入支撐肋彈性變形后普遍降低，但前索網(wǎng)張力配置的均勻性保持良好。這是由于支撐肋作為細長桿結構，抗彎剛度較小，支撐肋的彈性變形減小了索網(wǎng)單元的彈性伸長量，進而降低了索單元的預張力。通過對支撐肋進行詳細的抗彎變形設計，并減小豎向調(diào)整索長度，最終得到的預張力與優(yōu)化結果誤差小于12%。

圖8 索網(wǎng)張拉力比較圖Fig.8 Contrast diagram of pretensions on the cable segments

5 結論

本文給出了一種傘形索網(wǎng)式展開天線的預張力設計分析方法。該方法從索網(wǎng)結構平衡方程出發(fā)，建立了索網(wǎng)反射面上預張力均勻化優(yōu)化模型，采用遺傳算法得到了一組適當?shù)念A張力，將傘形天線前表面上最大張力與最小張力比降低到了8.406。非線性有限元的找形分析充分驗證了上述優(yōu)化結果的正確性。