李怡晨，宋燕平，胡 飛

(中國空間技術(shù)研究院西安分院，西安 710000)

0 引言

當(dāng)前及未來相當(dāng)長時(shí)期內(nèi)，對(duì)空間大型可展開天線反射器(Large deployable reflectors，LDRs)的需求旺盛并呈增長趨勢(shì)。對(duì)于科學(xué)、通信和地球觀測(cè)任務(wù)，將需要中等(4至8米)，大(8至15米)甚至非常大(高達(dá)25米以上)尺寸的反射器[1，2]。對(duì)大型空間天線反射器反射面的精度也提出了一定的要求，以滿足Ka波段衛(wèi)星通信和更高頻率地球觀測(cè)的需要[3，4]。

目前，在軌運(yùn)行的星載大型可展開天線反射器主要為網(wǎng)狀可展開天線反射器。網(wǎng)狀可展開天線反射器屬于柔性結(jié)構(gòu)的范疇，其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，形面精度、可靠性及重復(fù)精度較低，在實(shí)現(xiàn)高精度方面往往會(huì)遇到一系列的問題，在材料選擇、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、熱控設(shè)計(jì)、制造調(diào)試時(shí)間、費(fèi)用等方面需要付出很高代價(jià)。網(wǎng)狀可展開天線反射器在實(shí)現(xiàn)高精度方面，問題的根源是金屬網(wǎng)的柔性，要形成比較光滑的拋物面，金屬網(wǎng)必須在某種邊界條件下予以張緊。然而，由碳纖維束編織而成的三向織物(Triaxial Woven Fabric，TWF)，用其制成復(fù)合材料薄殼，其自身具有一定的彎曲剛度，無需施加張力即可保持所需的形狀，用硅橡膠而不是環(huán)氧樹脂做基體材料，可以明顯提高薄殼的韌性，改善反射器的收攏、展開性能。小孔隙率TWF的編織技術(shù)可實(shí)現(xiàn)Ka及以上頻率的射頻要求。本文對(duì)采用柔性基體的高性能碳纖維TWF復(fù)合材料進(jìn)行研究，為其未來作為大型可展開高精度天線反射器反射面提供理論依據(jù)。

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)TWF復(fù)合材料力學(xué)性能展開了一定的研究，眾多研究者大多數(shù)是對(duì)樹脂基TWF復(fù)合材料展開一系列研究工作，對(duì)柔性基體TWF復(fù)合材料性能研究較少。目前國內(nèi)外對(duì)于TWF復(fù)合材料的性能分析主要利用細(xì)觀力學(xué)方法和有限元方法，對(duì)材料單胞進(jìn)行有限元建模，通過均勻化方法對(duì)其宏觀力學(xué)性能進(jìn)行分析[5，6]。其中慕尼黑工業(yè)大學(xué)L.Datashvili等人在分析硅橡膠基TWF復(fù)合材料性能時(shí)，將其等效為9×9 [ABD]剛度矩陣[8]。本文在對(duì)柔性基體TWF復(fù)合材料力學(xué)性能進(jìn)行分析時(shí)，沒有采用層合板的假設(shè)，參考均勻化理論和周期性邊界條件的施加方式，通過施加6個(gè)單位應(yīng)變載荷最終得到等效均質(zhì)材料的剛度矩陣，繼而得到材料的工程常數(shù)。對(duì)單胞進(jìn)行有限元模型的建立時(shí)，可以選擇梁模型或?qū)嶓w模型。梁有限元模型與實(shí)體有限元模型相比更加簡單，可以花費(fèi)更少的計(jì)算時(shí)間。但由于周期性邊界條件的施加需要模型為3D實(shí)體模型；而且實(shí)體模型相比于梁模型分析精度會(huì)更高。因此本文將采用3D實(shí)體有限元模型來對(duì)TWF復(fù)合材料進(jìn)行性能的分析。為滿足天線反射器各項(xiàng)高性能指標(biāo)要求，本文將對(duì)不同纖維體積含量的硅橡膠基TWF復(fù)合材料等效性能進(jìn)行分析，可以進(jìn)行材料的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 基本理論

1.1 纖維束等效材料特性參數(shù)的獲取

如下圖所示，X、Y、Z分別代表0°、-θ、+θ方向的纖維束，各個(gè)方向纖維束采用的原料均相同。假設(shè)纖維束為橫觀各向同性材料，使用混合規(guī)則及其他的一些公式[8]，由纖維、硅橡膠的材料特性以及TWF復(fù)合材料的纖維體積含量來計(jì)算等效纖維束的材料特性。

圖1 纖維束示意圖Fig.1 fiber bundles diagram

纖維束拉伸模量E1和泊松比ν12使用混合規(guī)則獲得，其中φf為纖維體積含量，Ef，Em分別為纖維和基體的拉伸模量：

E1=φfE1，f+(1-φf)Em

(1)

ν12=φfν12，f+(1-φf)νm

(2)

采用Halpin-Tsai半經(jīng)驗(yàn)方程確定橫向拉伸模量E2：

(3)

其中，

(4)

參數(shù)ξ=2是復(fù)合材料增強(qiáng)的量度，取決于纖維幾何形狀，填料幾何形狀和載荷條件。

類似地，對(duì)于剪切模量G12，使用Halpin-Tsai半經(jīng)驗(yàn)關(guān)系。

(5)

通過求解以下二次方程式獲得剪切模量G23。

(6)

其中A，B，C的計(jì)算公式參考文獻(xiàn)8。

已知剪切模量G23，可以從中計(jì)算泊松比 。

(7)

至此本節(jié)獲得了橫觀各向同性纖維束的等效材料特性參數(shù)。

1.2 均勻化

在一個(gè)非均勻結(jié)構(gòu)中，平衡方程、應(yīng)變位移關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系如下：

(8)

邊界條件為：

(9)

然而，Cijkl的剛度隨位置會(huì)快速變化(取決于纖維或基體)，因此很難找到上述方程的解。 因此，通過引入平均模量來尋找更簡單的解決方案。得到該平均模量的一種方法是使用均勻化理論。

對(duì)于非均質(zhì)材料的平均應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如下所示：

(10)

在有限元計(jì)算過程中，平均應(yīng)力也可以由應(yīng)力的表面平均值獲得，如下所示：

(11)

其中S是單胞的邊界，Ti是S上的面力。

(12)

1.3 周期性邊界條件

分析單胞所需的周期性邊界條件基于平移對(duì)稱性變換[10]。 在平移對(duì)稱變換下，對(duì)于尺寸為2a·2b·2c的3D正交復(fù)合材料，單胞的相對(duì)面之間的相對(duì)位移(圖2a中有三個(gè)可見面A，C和F)如下：

(13)

其中在第一行中，下標(biāo)x=a和x=-a表示相對(duì)應(yīng)的面，而下標(biāo)y，z表示由該相對(duì)面上的相應(yīng)點(diǎn)共享的共同坐標(biāo)。

(a)立方體填充的單胞 (b)單胞中的邊緣和頂點(diǎn)圖2 立方體填充的單胞和單胞中的邊緣和頂點(diǎn)Fig.2 (a)Cube-filled unit cells(b)Edges and vertices in unit cells

相對(duì)邊(頂點(diǎn)除外)的相對(duì)位移(圖2b)如下：

UⅡ-UⅠ=FAB，UⅢ-UⅠ=FAB+FCD，UⅣ-UⅠ=FCD

UⅣ-UⅤ=FAB，UⅦ-UⅤ=FAB+FEF，UⅧ-UⅤ=FEF

UⅩ-UⅣ=FCD，UⅪ-UⅨ=FCD+FEF，UⅦ-UⅨ=FEF

(14)

同樣的，對(duì)于頂點(diǎn)相關(guān)的方程如下：

U2-U1=FAB，U3-U1=FAB+FCD，U4-U1=FCD

U5-U1=FEF，U6-U1=FAB+FEF

U7-U1=FAB+FCD+FEF，U8-U1=FCD+FEF

(15)

公式13～15以及防止剛體運(yùn)動(dòng)的條件將用于離散化單胞的有限元分析。

1.4 復(fù)合材料的等效力學(xué)性能的獲取

復(fù)合材料的力學(xué)性能可以用三維本構(gòu)方程來表示，其中矩陣形式如下：

(16)

其中Cij代表復(fù)合材料的等效均勻剛度矩陣系數(shù)，通過單胞上的六個(gè)載荷情況的解來計(jì)算。每個(gè)載荷情況下的載荷是施加的單位宏觀應(yīng)變的形式，如等式12中所述。Cij是彈性模量，通過求逆可獲得柔度矩陣Sij。

由柔度矩陣系數(shù)，可以得到工程常數(shù)如下：

E11=1/S11，E22=1/S22，E33=1/S33，

G12=1/S66，G23=1/S44，G31=1/S55

ν12=-S12/S11，ν23=-S23/S22，ν31=-S13/S33

(17)

2 單胞有限元模型的建立

2.1 材料特性

本文研究了T300碳纖維增強(qiáng)硅橡膠(Carbon fiber reinforced silicone，CFRS)TWF復(fù)合材料的特性，基體采用ZS-NJ-D955 低粘度單組份有機(jī)硅。纖維和基體的材料特性如下表所示：

表1 纖維、基體的材料特性Table 1 Material properties of fibers and matrix

2.2 單胞幾何模型的建立

圖3 單胞參數(shù)圖Fig.3 Unit cell parameter diagram

圖4為通過軟件ProE建立起來的TWF單胞實(shí)體幾何模型，由6個(gè)纖維束裝配切除后得到。模型充分考慮纖維束的屈曲波動(dòng)與交疊情況，±60°纖維束中心曲線為波浪狀曲線，在0°纖維束的上面及下方依次交叉穿過，且彼此交疊；0°纖維束中心曲線為正弦形狀；模型中纖維束的橫截面均為矩形截面。其中d=0.9mm，厚度h=0.075mm。

圖4 單胞幾何模型圖Fig.4 Unit cell geometry model

2.3 單胞有限元模型的建立

將在ProE中建立起來的實(shí)體幾何模型導(dǎo)入到有限元分析軟件ABAQUS中建立有限元模型。其中±60°纖維束的材料特性需要通過局部坐標(biāo)系來指定纖維束的材料取向。

由于TWF復(fù)合材料結(jié)構(gòu)復(fù)雜，因此對(duì)單胞采用四面體單元進(jìn)行離散，單胞網(wǎng)格采用自由劃分，如圖5所示。

(a)纖維束 (b)單胞圖5 單胞有限元模型圖Fig.5 Unit cell finite element model

3 TWF復(fù)合材料等效材料特性的獲取

周期性邊界條件(方程(13)～(15))，用python語言編寫代碼，在ABAQUS中運(yùn)行。后處理也使用python代碼實(shí)現(xiàn)。

為了確定等效模量，對(duì)6個(gè)獨(dú)立的載荷情況進(jìn)行了單胞的應(yīng)力分析，從中獲得了體積平均應(yīng)力和應(yīng)變。載荷的施加是通過在單胞表面上施加單位宏觀應(yīng)變(方程12)的形式，由此得到相應(yīng)的應(yīng)力。周期性邊界條件，即方程(13)～(15)，在ABAQUS中使用多點(diǎn)約束(MPC)來實(shí)現(xiàn)。對(duì)于每個(gè)單位宏觀應(yīng)變的施加，可以獲得等效剛度矩陣Cij的一列，最終可以得到整個(gè)剛度矩陣(式16)；剛度矩陣的逆得到柔度矩陣，最終可以確定材料的工程常數(shù)(式17)。

得到T300碳纖維增強(qiáng)硅橡膠復(fù)合材料(纖維體積含量為42%)的剛度矩陣 為：

最終得到工程常數(shù)如下表所示：

表2 TWF復(fù)合材料( Vf=42% )力學(xué)特性Table 1 TWF composite(Vf=42%)mechanical properties

4 纖維體積含量對(duì)材料性能的影響

對(duì)于采用柔性基體的TWF復(fù)合材料，其纖維體積含量是影響材料性能的重要工藝參數(shù)，直接影響材料的等效力學(xué)性能。因此進(jìn)行纖維體積含量的變化對(duì)材料等效力學(xué)性能的影響規(guī)律的研究。

選取Vf=40%，42%和45%來討論纖維體積含量變化對(duì)材料性能的影響。基于非線性分析的不同纖維體積含量材料的平面拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖6所示?？梢钥闯鲈趹?yīng)變超過0.03時(shí)開始出現(xiàn)非線性行為，隨著纖維體積含量的增大，TWF復(fù)合材料的拉伸剛度變大；隨著應(yīng)變的增加，不同纖維體積含量對(duì)應(yīng)的應(yīng)力之間的間隔變大。

圖6 不同纖維體積含量下TWF材料拉伸應(yīng)力應(yīng)變圖Fig.6 Tensile stress and strain diagram of TWF material under different fiber volume fractions

TWF復(fù)合材料的彎曲行為如圖7所示，其中顯示了基于非線性分析的結(jié)果。隨著纖維體積含量的增大，TWF復(fù)合材料的彎曲剛度變大；一旦彎曲半徑降至約1.25mm，非線性就開始出現(xiàn)；隨著曲率的增加，不同纖維體積含量對(duì)應(yīng)的單位寬度彎矩之間的間隔變大。

圖7 不同纖維體積含量下TWF材料彎曲行為分析Fig.7 Analysis of bending behavior of TWF material under different fiber volume fractions

可以看出碳纖維的體積含量對(duì)TWF復(fù)合材料等效力學(xué)性能的影響很大，隨著碳纖維體積含量的增加，相應(yīng)的TWF復(fù)合材料的拉伸剛度和彎曲剛度均隨之增大，但韌性將變差。由于該材料是用于可展開高精度天線反射器反射面，不僅對(duì)材料剛度，對(duì)材料可折疊能力(材料韌性)都有一定的要求。因此在選擇材料的纖維體積含量時(shí)需要進(jìn)行綜合考慮。當(dāng)挺度(彎曲剛度)范圍要求在[3，4]N.mm之內(nèi)，材料纖維體積含量應(yīng)該低于45%。

5 結(jié)論

本文采用復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)的方法對(duì)硅橡膠基TWF復(fù)合材料進(jìn)行了力學(xué)性能分析。由纖維和硅橡膠的材料特性、TWF的結(jié)構(gòu)特征，通過兩次等效最終得到TWF復(fù)合材料的材料特性。首先通過假設(shè)纖維束為橫觀各向同性材料，利用混合規(guī)則等公式得到等效纖維束的材料特性；接下來選取合適的單胞，充分考慮纖維束交疊情況，建立了單胞實(shí)體幾何模型，通過賦予其之前得到的纖維束材料特性，建立單胞有限元模型；對(duì)單胞有限元模型進(jìn)行均勻化有限元分析，通過在ABAQUS中運(yùn)行python代碼實(shí)現(xiàn)對(duì)單胞周期性邊界條件的施加，通過6個(gè)獨(dú)立加載分析得到體積平均應(yīng)力、應(yīng)變，從而得到等效剛度矩陣，最終獲得等效TWF復(fù)合材料工程常數(shù)；最后分析了纖維體積含量對(duì)于單胞等效性能的影響規(guī)律，可以看該參數(shù)直接影響單胞的等效性能。隨著Vf增大，相應(yīng)的TWF復(fù)合材料的拉伸剛度和彎曲剛度(挺度)均隨之增大，但韌性將變差，因此在選擇材料纖維體積含量時(shí)需要進(jìn)行綜合考慮。