(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010000)

一、引言

在實(shí)際控制系統(tǒng)中，不確定性和時(shí)滯的存在往往使得系統(tǒng)不穩(wěn)定和不能達(dá)到相應(yīng)性能指標(biāo)，并使得系統(tǒng)的分析和綜合變得更加復(fù)雜化。隨著為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的可靠安全性這一目的，不確定性時(shí)滯系統(tǒng)的容錯(cuò)問題得到了廣泛的研究。文獻(xiàn)[1]針對(duì)一類具有分布時(shí)滯的不確定中立型變時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題進(jìn)行了研究，基于Lyapunov-Krasovskii 泛函和自由權(quán)矩陣方法，得到了不確定中立型變時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)[2]通過討論一類在非線性干擾下具有分布時(shí)滯的不確定隨機(jī)中立型系統(tǒng)的隨機(jī)魯棒鎮(zhèn)定.運(yùn)用隨機(jī)lyapunov穩(wěn)定性理論及Ito^微分法,求解線性矩陣不等式,推導(dǎo)出含有時(shí)不變中立時(shí)滯、時(shí)變分布時(shí)滯、離散時(shí)滯以及不確定參數(shù)和非線性干擾是有界范數(shù)的中立型系統(tǒng)魯棒隨機(jī)鎮(zhèn)定的充分條件。文獻(xiàn)[3]對(duì)不確定性時(shí)滯線性和非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析研究，設(shè)計(jì)了魯棒H∞控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性條件。文獻(xiàn)[4]研究了關(guān)于具有離散和分布時(shí)滯的中立微分系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒H∞濾波問題。求得的濾波器是Luenberger觀測(cè)器類型的,它能保證濾波系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定并能滿足一個(gè)給定的H∞性能指標(biāo)。文獻(xiàn)[5-8]對(duì)不確定性時(shí)滯線性和非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析研究，設(shè)計(jì)了魯棒H∞控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性條件。

本文針對(duì)分布時(shí)滯的不確定線性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題進(jìn)行了研究，基于Lyapunov-Krasovskii泛函和自由權(quán)矩陣的方法，得到了魯棒穩(wěn)定性判據(jù)并滿足H∞性能指標(biāo)。數(shù)值算例結(jié)果證明了該方法的有效性和可行性。

二、問題描述

考慮以下線性不確定性連續(xù)分布時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)

(1)

式中：x(t)∈Rn，u(t)∈Rm，z(t)∈Rp，y∈Rq，ω(t)∈Rr且ω(t)∈L2[0,∞)分別為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，控制輸入變量，控制輸出變量，量測(cè)輸出變量和能量有限的外部干擾輸入向量。

其中A∈Rn×n，A1∈Rn×n，B∈Rn×m，B1∈Rn×m，B2∈Rn×r，C1∈Rp×n，C2∈Rq×n是矩陣；ΔA,ΔA1,ΔB,ΔB1為模型參數(shù)不確定項(xiàng)；d(t)>0,τ(t)>0分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)時(shí)變時(shí)滯，輸出時(shí)變時(shí)滯，且滿足

(2)

其中：

[ΔAΔA1ΔBΔB1]=HG(t)[EE1DD1]

(3)

H∈Rn×n,E∈Rn×n,E1∈Rn×n,D∈Rn×n,D1∈Rn×n是常數(shù)矩陣；G(t)是Lebesgue可測(cè)的。為計(jì)算方便，簡(jiǎn)記作G=G(t),且GT(t)G(t)≤I。

考慮執(zhí)行器失效，引入執(zhí)行器故障矩陣F，記F=diag(f1，f2，…，fm)。在實(shí)際控制系統(tǒng)中，執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出有限制范圍，其中0≤fli≤fi≤fuii=1，2…m。當(dāng)fi=0時(shí)，表示系統(tǒng)第i個(gè)執(zhí)行器失效；當(dāng)fi=1時(shí)，表示系統(tǒng)第i個(gè)執(zhí)行器正常；當(dāng)0≤fli≤fi≤fui，且當(dāng)fi≠1時(shí)，表示系統(tǒng)第i個(gè)執(zhí)行器部分失效。F=F0(I+L)，|L|≤J≤I。

為系統(tǒng)一般性起見，假設(shè)F≠0

對(duì)于系統(tǒng)(1)，考慮在執(zhí)行器故障的情況下，設(shè)計(jì)輸出反饋控制器：

u(t)=FKy(t)

(4)

式中為待設(shè)計(jì)的控制器增益矩陣，則包含執(zhí)行器故障的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(5)

閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程簡(jiǎn)記為：

(6)

其中：

(7)

在分析和推導(dǎo)定理的過程中，需要用到以下幾個(gè)引理：

引理 1[9]給定A，G，C是適當(dāng)維數(shù)的常值矩陣，其中滿足，GTG≤I，則對(duì)于任意常數(shù)e>0，有：

引理2[9](schur補(bǔ)引理)以下三個(gè)條件是等價(jià)的：

1.S<0

引理3[9]對(duì)于任意給定的正定矩陣H∈Rn×n和參數(shù)ρ<0，如果向量函數(shù)V:[-ρ,0]→Rn的相關(guān)積分項(xiàng)有定義，則下式成立：

引理5[9]設(shè)A，D，P，E是適當(dāng)維數(shù)的矩陣，F(xiàn)TF≤I，對(duì)任意的對(duì)稱矩陣P>0及ε>0，若P-εDDT>0，則

三、系統(tǒng)魯棒H∞控制

定理1給定γ>0,h1>0,h2>0，如果存在正定矩陣P,Q,N,R及矩陣Y1,Y2使得滿足下列不等式成立：

(8)

那么閉環(huán)系統(tǒng)(5)對(duì)所有可能發(fā)生執(zhí)行器的故障是漸近穩(wěn)定的并且滿足H∞性能指標(biāo)。

證明：選取如下Lyapunov-Krasovskii泛函：

(9)

式中：P>0,Q>0,N>0,R>0 考慮到外部干擾ω(t)=0，對(duì)V(t)沿系統(tǒng)求導(dǎo)得：

(10)

根據(jù)式(2)可得

(11)

由引理5可得

(12)

其中：η(t)=col[x(t),x(t-d(t))]

把(11)和(12)式代入(10)式，由引理4可得

(13)

其中：

通過代數(shù)運(yùn)算可以得到：

其中：

引入性能指標(biāo)函數(shù)：

(14)

由矩陣不等式(8)及Shur補(bǔ)引理知Ξ<0，故有z(t)2≤γω(t)2。

四、魯棒H∞控制器的設(shè)計(jì)

(15)成立

其中：

再引入矩陣T，T∈Rq×q且使得：

C2X=TC2

若(X,Y)上述不等式的任一可行解，則當(dāng)控制器增益矩陣K=YT-1時(shí)，在執(zhí)行器發(fā)生故障的情況下，輸出反饋容錯(cuò)控制器使系統(tǒng)(1)保持魯棒漸近穩(wěn)定的。

證明：令Y=KT將(8)式左右分別乘對(duì)角矩陣diag(P-1,P-1,P-1,I,I,I,I)得下式：

(16)

將(3)(7)式代入(8)式，并根據(jù)Schur補(bǔ)引理得下式：

(17)

h2R-ε1EX(EX)T>0,h2R-ε2(DF0YC2)(DF0YC2)T>0,h2R-ε3(DF0LYC2)(DF0LYC2)T>0

(18)

再由schur補(bǔ)引理(18)式等價(jià)于下式：

R0+(B1F0LYC2)T+(B1F0LYC2)<0

(19)

(20)

其中：Δ1=B1F0YC2,Δ2=B1F0LYC2

Λ=[HT,E,HT,DF0YC2,DF0LYC2,(C1X)T,H,H,H,h2HT,h2HT,h2HT,h2HT,h2HT,h2H,B2]

由引理2知(20)等價(jià)于

R0+(B1F0JYC2)T+(B1F0JYC2)<0

(21)

由schur補(bǔ)引理(21)式等價(jià)于(22)式

(22)

即線性不等式(22)等價(jià)于(15)得證！

五、仿真實(shí)例

考慮系統(tǒng)(1)，其系數(shù)矩陣選取如下：

六、結(jié)論

本文研究一類分布時(shí)滯的線性不確定性系統(tǒng)，基于Lyapunov-Krasovskii泛函和自由權(quán)矩陣的方法。在執(zhí)行器發(fā)生故障的情況下，設(shè)計(jì)輸出反饋H∞容錯(cuò)控制器，使得分布時(shí)滯系統(tǒng)是魯棒漸近穩(wěn)定的，并滿足H∞性能指標(biāo)。數(shù)值算例結(jié)果證明了該方法的有效性和可行性。今后將對(duì)分布時(shí)滯動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)進(jìn)一步研究。