張 涵 萬振剛

（江蘇科技大學(xué) 鎮(zhèn)江 212000）

1 引言

在船舶推進軸系中，軸承是船舶動力裝置系統(tǒng)中的重要部件，因此軸承的穩(wěn)靠性對于船舶安全具有重大意義。一般在船舶推進軸系軸承振動狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷中，振動信號采集都是傳統(tǒng)信號采樣方式，不僅對數(shù)據(jù)采集設(shè)備提出高要求，而且?guī)砭薮蟮臄?shù)據(jù)傳輸及存儲壓力。壓縮感知理論（Compressive sensing，CS）是基于Candès，Donoho 等于2006年提出的信號稀疏表示的信號采集理論。該理論指出如果信號在某個變換基上具有稀疏性，則可以通過與該變換基不相干的一個觀測矩陣得到遠少于原始信號維數(shù)的“壓縮”數(shù)據(jù)，并且以高概率重構(gòu)出原始信號［1～2］。目前壓縮感知在圖形圖像處理、人臉識別［3］、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)、超分辨率重構(gòu)［4］等領(lǐng)域已開展廣泛的研究，但在軸承信號的處理方面相關(guān)研究較少。

變分模態(tài)分解（Variational Mode Decomposi?tion，VMD）是在優(yōu)化EMD的基礎(chǔ)上提出的一種新的關(guān)于信號時頻處理的方法，它采用非遞歸的求解方式，可以自適應(yīng)的將信號進行各模態(tài)分量的分離和頻域剖分。與EMD的分解模式不同的地方是，VMD采用的分解模式是變分、非遞歸的，這樣則避免了模態(tài)混疊現(xiàn)象而且分解信號有了更好的穩(wěn)定性［5～7］，可以在復(fù)雜的工業(yè)環(huán)境中以更好的方式來提取所處理信號的關(guān)鍵信息，已經(jīng)在風(fēng)電機組故障診斷、滾動軸承故障診斷［8］等方面成功應(yīng)用。因此本文在針對VMD在提取信號故障特征方面的這一優(yōu)越性能，提出了一種基于壓縮感知及VMD結(jié)合的船舶推進軸系軸承故障診斷方法。

2 壓縮感知原理

2.1 信號的稀疏表示

設(shè)Rn空間的正交基向量為，組成正交基矩陣ψ=。在Rn空間中任意向量x都可以表示為

如果信號是可壓縮的，則θ∈Rn×1中僅僅存在k個非零項，且k?n。即可稱θ是k-稀疏的，或者x在基Ψ上是k項稀疏的。

2.2 信號的觀測

通過m×n維的觀測矩陣Φ進行信號觀測，這個過程等價于數(shù)據(jù)降維，得到觀測數(shù)據(jù)y∈Rm×1。

由于m＜n，該問題是一個欠定問題。一般會將重構(gòu)原始信號x的過程轉(zhuǎn)換成求解一個最優(yōu)化l0范數(shù)的問題，如果滿足以下兩點即可，其一信號x是稀疏（可壓縮）的，其二Φ若滿足約束等距性質(zhì)（Restricted Isometry Property，RIP）［9］。

2.3 信號的重構(gòu)

信號的重構(gòu)問題可以如下式描述：

即將恢復(fù)原始信號x的過程轉(zhuǎn)換成了求解l1范數(shù)最小的問題［10］。

文獻［11］指出，如果信號 x∈Rn在正交基Ψ下的變換系數(shù)是K稀疏的，隨機測量矩陣Φ和正交基Ψ的互相干為μ(?,ψ )，則式（3）所示的問題在滿足式（4）的條件下將大概率有準確解，換句話說，要想實現(xiàn)壓縮感知框架下精確的信號重構(gòu)，觀測值則必須滿足如下條件：

3 壓縮感知與VMD的綜合

基于壓縮感知與VMD相結(jié)合的故障診斷算法主要包括兩個核心部分，首先是用高斯隨機矩陣測量將要診斷的振動信號x∈Rn，并利用觀測矩陣Φ進行降維觀測，然后得到觀測數(shù)據(jù) y∈Rm×1，接著利用構(gòu)造的矩陣A=?ψ重構(gòu)信號；其次將重構(gòu)好的振動信號采用VMD進行分解，通過文獻［12］提及的峭度準則選取出峭度值最大的模態(tài)，將其作為故障特征最敏感分量并分析其包絡(luò)譜，然后將所得包絡(luò)譜與計算所得的故障特征頻率進行匹配，最終診斷出船舶推進軸系故障所在。步驟如下：

1）得到觀測數(shù)據(jù) y∈Rm×1，即對原信號 x∈Rn進行隨機測量，采用觀測矩陣Φ進行線性投影；

2）構(gòu)造重構(gòu)矩陣 A=?ψ，并且本文采用OMP算法［12］對信號進行重構(gòu)，即壓縮感知信號重構(gòu)可以歸結(jié)為求解l1范數(shù)最小問題，并且針對振動信號無法預(yù)知頻域上稀疏度的問題本文采用設(shè)置停止閾值λ的方法來解決，當信號重構(gòu)的誤差小于閾值λ的時候就停止循環(huán)，同時設(shè)定循環(huán)次數(shù)初值，當循環(huán)次數(shù)大于該設(shè)定初值時，亦停止循環(huán)，以保證算法實時性。

OMP流程如下：

初始值：

故障特征庫A，待測樣本y，待測樣本長度M，停止閾值λ，最大循環(huán)次數(shù)為Itermax，Itermax=M。初始殘余r0=y，初始索引集Λ0和存儲集Θ0均為空集。

迭代步驟（m次循環(huán)中）：

1）將待測樣本y與故障特征庫A中的每一列進行內(nèi)積運算，用ηm表示最大內(nèi)積值對應(yīng)的A列數(shù)，則將ηm放入索引集Λm=Λm-1∪{ηm}，然后將A的第ηm列保存進存儲集。

2）求解式子tm=mint‖-Θmt2‖y。

3）求待測樣本的逼近值 cm，更新殘差；rm=y-cm。如果‖rm‖2‖y2＞‖λ且m＜Itermax則繼續(xù)循環(huán)，否則停止循環(huán)。

最終tm和Λm均包含m個元素。t中的非零元素即為tm，Λm則表示這m個非零元素的位置。

4）用如上步驟所示的方法進行數(shù)據(jù)重構(gòu)后，接著利用VMD進行分解；

5）根據(jù)峭度準則選取步驟三所得一系列模態(tài)分量的最大峭度值，并分析其包絡(luò)譜；

6）匹配所得包絡(luò)譜與船舶推進軸系故障特征頻率，進行準確的故障診斷。

4 軸承振動數(shù)據(jù)的分析與驗證

實驗數(shù)據(jù)選取美國凱斯西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心的軸承振動數(shù)據(jù)，軸承型號為SKF 6205-2RS型深溝球軸承，采用電火花加工的單點損傷模擬故障，故障直徑為0.1778 mm，轉(zhuǎn)速為1797 r/min，采樣頻率為12kHz，由經(jīng)驗式（5）、（6）計算得162.18Hz、107.31Hz分別對應(yīng)軸承內(nèi)外圈的故障特征頻率。圖1為對軸承內(nèi)圈故障及正常狀態(tài)的加速度信號進行采樣后得到的兩種狀態(tài)的時域頻域波形。由圖得，發(fā)生故障時振動幅值增大顯著，而且時域信號有明顯的周期脈沖成分。

式中：n為滾動體數(shù)目；d為滾動體直徑；D為軸承節(jié)徑。

表1 深溝球軸承的規(guī)格信息

本文研究軸承振動信號測量和重構(gòu)時，稀疏矩陣使用DCT變換矩陣，高斯隨機測量作為觀測矩陣，在利用OMP重構(gòu)過程中，λ的取值與重構(gòu)信號和原始信號的能量差成正比，但與計算法雜度成反比，為了選取最優(yōu)λ，令其取不同的值，研究重構(gòu)信號的VMD分量包絡(luò)譜故障頻率的識別情況。

圖1 軸承正常狀態(tài)與故障狀態(tài)時頻域圖

由圖2看出，令閾值 λ分別取0.001、0.01、0.1，特征頻率均可以清晰地被識別出來，因此在不影響故障識別效果的情況下，可以適當選取較大的閾值λ提高重構(gòu)效率。

圖2 重構(gòu)信號包絡(luò)譜特征頻率識別效果

在壓縮感知中，觀測量與信號重構(gòu)精確率成正比，即觀測量M越大，投影所得信號中原始信號信息越多，M越小則相反。為了得到最佳的觀測量，研究采用壓縮感知算法時在不同的壓縮比下的重構(gòu)效果，定義壓縮比C=M/N。如式（7）所示，采用文獻［8］給出的匹配度衡量重構(gòu)效果：

其中，X為原始信號，X?為重構(gòu)信號。

易知匹配度取值范圍是0～1，即重構(gòu)精確度越大，匹配度值越接近1。由如圖3可看出重構(gòu)信號的匹配度與壓縮比成正比關(guān)系。由此可得，存在最佳觀測值既能滿足較高的信號重構(gòu)率同時又可以減少重構(gòu)的復(fù)雜度。

圖3 匹配度隨壓縮比變換曲線

綜上，取長度N為4096軸承內(nèi)圈故障信號，測量數(shù)M取2048，即壓縮比C=0.5。首先構(gòu)造2048×4096的高斯隨機測量矩陣Φ，構(gòu)造重構(gòu)矩陣 A=?ψ ，用OMP進行信號重構(gòu)，在OMP中，令閾值λ=0.05，得到壓縮重構(gòu)后的軸承內(nèi)圈故障信號，接著用VMD處理重構(gòu)信號，如圖4所示。

圖4 VMD分解重構(gòu)信號的各模態(tài)分量時頻域波形

經(jīng)VMD分解得到的各模態(tài)分量頻帶沒有出現(xiàn)混疊，且各時域圖沖擊比較明顯，頻域圖中顯示了對原信號從低頻到高頻的分解結(jié)果，根據(jù)前文所述的峭度準則原則選取IMF3分量分析其包絡(luò)譜，觀察圖5所得，有兩處較明顯的峰值，分別是轉(zhuǎn)頻為58.59Hz及161.1Hz處，其中，58.59Hz對應(yīng)二倍轉(zhuǎn)頻，162.18Hz則與前文計算所得的軸承內(nèi)圈的故障特征相符。

同樣的方法，對外圈故障數(shù)據(jù)重構(gòu)，然后對重構(gòu)的故障數(shù)據(jù)VMD分解，選取峭度值最大的模態(tài)分量進行包絡(luò)譜分析，如圖6所示，可以看出轉(zhuǎn)頻為29.3Hz，108.4Hz處有較為明顯的峰值，而108.4Hz同樣符合之前計算所得的外圈故障頻率107.31Hz。

圖5 內(nèi)圈故障信號IMF3分量的包絡(luò)譜

圖6 處理后外圈故障信號包絡(luò)譜

為了驗證該算法的可實施性以及進行更清晰的對比，論文對內(nèi)外圈的原始故障信號進行了VMD分解并進行包絡(luò)譜分析，如圖7所示。對比兩種不同數(shù)據(jù)所得的包絡(luò)譜圖，可以看到僅僅是幅值數(shù)值存在很小的差異，而故障特征頻率及轉(zhuǎn)頻數(shù)值均一致，由此驗證了該算法的可靠性。

圖7 原始信號內(nèi)外圈故障信號包絡(luò)譜圖

5 結(jié)語

運用本文方法對實際軸承振動數(shù)據(jù)進行分析處理，可以有效分析出軸承故障狀態(tài)。

1）首先本文結(jié)合壓縮感知在采集信號的優(yōu)越之處不但確保了不丟失原信號的重要信息，并且很大程度上節(jié)省了數(shù)據(jù)的存儲傳輸成本。

2）以設(shè)定閾值以及限定次數(shù)控制壓縮數(shù)據(jù)的重構(gòu)過程，可以有效兼容算法的實時性和重構(gòu)精度。

3）根據(jù)峭度準則選取利用VMD分解后的重構(gòu)數(shù)據(jù)的最佳模態(tài)，分析其包絡(luò)譜，能夠準確有效地識別故障。