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        例談向量數(shù)量積問(wèn)題的處理策略

        2020-03-02 06:52:32王兆龍
        數(shù)理化解題研究 2020年4期
        關(guān)鍵詞:定義利用

        王兆龍

        (上海市建平中學(xué) 200135)

        一、代數(shù)化

        代數(shù)化包括數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示.

        1.利用定義

        當(dāng)兩向量a、b的模、夾角都比較容易求出時(shí),直接利用定義a·b=|a||b|cosθ計(jì)算數(shù)量積,其中θ是向量a、b的夾角.

        2.利用坐標(biāo)表示

        用坐標(biāo)運(yùn)算代替向量運(yùn)算,用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題.

        分析a、b都與e有關(guān),給定e之后可得a、b的終點(diǎn)軌跡,再借助幾何圖形求解.

        二、幾何化

        幾何化包括數(shù)量積的幾何意義、向量垂直的數(shù)量積表示和極化恒等式.

        1.利用數(shù)量積的幾何意義

        數(shù)量積a·b的幾何意義是向量b的模與a在b方向上投影的乘積.特別地,如果b是一個(gè)固定的向量,只要求出a在b方向上投影(或范圍),即可求出a·b的值(或范圍).

        圖2

        2.利用向量垂直的數(shù)量積表示

        若兩個(gè)共起點(diǎn)(終點(diǎn))向量的數(shù)量積為0,則這兩個(gè)向量垂直,且起點(diǎn)(終點(diǎn))在以?xún)蓚€(gè)終點(diǎn)(起點(diǎn))連線(xiàn)段為直徑的圓上,可將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題求解.

        例4 (2015上海虹口二模)已知向量a、b滿(mǎn)足|a|=|b|=a·b=2,若向量c滿(mǎn)足(a-c)·(b-c)=0,求|2b-c|的最小值.

        分析將a、b、c起點(diǎn)重合,利用(a-c)·(b-c)=0研究c的終點(diǎn)軌跡.

        圖3

        解設(shè)邊BC的中點(diǎn)為D,則

        3.利用極化恒等式

        三角形中的極化恒等式是借助三角形的邊和中線(xiàn)將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段長(zhǎng)的一組等式,在處理一邊或中線(xiàn)為定長(zhǎng)的求數(shù)量積的最值問(wèn)題中可以大量地簡(jiǎn)化運(yùn)算.

        設(shè)D是△ABC邊BC的中點(diǎn),則

        圖4

        解由極化恒等式1,

        圖5

        三、基底化

        基底化是指將所求向量用一組基向量表示,用基向量的運(yùn)算代替所求向量的運(yùn)算.基向量的選取應(yīng)以盡可能多地知道向量的相關(guān)條件(模、夾角)為原則.

        利用平面向量分解定理

        解注意到

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