王兆龍
(上海市建平中學(xué) 200135)
代數(shù)化包括數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示.
1.利用定義
當(dāng)兩向量a、b的模、夾角都比較容易求出時(shí),直接利用定義a·b=|a||b|cosθ計(jì)算數(shù)量積,其中θ是向量a、b的夾角.
2.利用坐標(biāo)表示
用坐標(biāo)運(yùn)算代替向量運(yùn)算,用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題.
分析a、b都與e有關(guān),給定e之后可得a、b的終點(diǎn)軌跡,再借助幾何圖形求解.
幾何化包括數(shù)量積的幾何意義、向量垂直的數(shù)量積表示和極化恒等式.
1.利用數(shù)量積的幾何意義
數(shù)量積a·b的幾何意義是向量b的模與a在b方向上投影的乘積.特別地,如果b是一個(gè)固定的向量,只要求出a在b方向上投影(或范圍),即可求出a·b的值(或范圍).
圖2
2.利用向量垂直的數(shù)量積表示
若兩個(gè)共起點(diǎn)(終點(diǎn))向量的數(shù)量積為0,則這兩個(gè)向量垂直,且起點(diǎn)(終點(diǎn))在以?xún)蓚€(gè)終點(diǎn)(起點(diǎn))連線(xiàn)段為直徑的圓上,可將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題求解.
例4 (2015上海虹口二模)已知向量a、b滿(mǎn)足|a|=|b|=a·b=2,若向量c滿(mǎn)足(a-c)·(b-c)=0,求|2b-c|的最小值.
分析將a、b、c起點(diǎn)重合,利用(a-c)·(b-c)=0研究c的終點(diǎn)軌跡.
圖3
解設(shè)邊BC的中點(diǎn)為D,則
3.利用極化恒等式
三角形中的極化恒等式是借助三角形的邊和中線(xiàn)將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段長(zhǎng)的一組等式,在處理一邊或中線(xiàn)為定長(zhǎng)的求數(shù)量積的最值問(wèn)題中可以大量地簡(jiǎn)化運(yùn)算.
設(shè)D是△ABC邊BC的中點(diǎn),則
圖4
解由極化恒等式1,
圖5
基底化是指將所求向量用一組基向量表示,用基向量的運(yùn)算代替所求向量的運(yùn)算.基向量的選取應(yīng)以盡可能多地知道向量的相關(guān)條件(模、夾角)為原則.
利用平面向量分解定理
解注意到