田淑玲

(黑龍江省哈爾濱市哈爾濱師范大學(xué) 150025)

橢圓定義的掌握與應(yīng)用，應(yīng)抓住橢圓的定義內(nèi)涵：距離之和等于常數(shù)，且大于兩定點(diǎn)之間的距離.

一、直接型

題干中直接標(biāo)明長軸、短軸、頂點(diǎn)、焦距、通徑、離心率等內(nèi)容，可直接利用公式求出a、b、c進(jìn)而求出橢圓方程；或給出形式比較直觀,可直接觀察出所給表達(dá)式符合橢圓定義等均可直接寫出橢圓方程.

二、間接型

題干中所給信息不夠明顯，但往往會給比較明顯的信號詞，如:線段垂直平分線(線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等)、平行線(同位角、內(nèi)錯角相等)、等腰或等邊三角形(等角對等邊)等，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出PF1+PF2=2a>F1F2=2c的形式，進(jìn)而求出橢圓方程.

圖1

例3如圖1，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)的一個定點(diǎn)，P是圓O上的任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

解析根據(jù)題干中信息，l是AP的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，需連接AQ，則|AQ|=|PQ|，故|AQ|+|OQ|=|PQ|+|OQ|=r,點(diǎn)A在圓內(nèi)，r大于|OA|，所以Q點(diǎn)軌跡為橢圓.

思考：當(dāng)點(diǎn)A在圓O外部時，Q點(diǎn)軌跡為什么？為什么？

例4已知動圓M，它和圓C1:(x+1)2+y2=36相內(nèi)切，且和圓C2:(x-1)2+y2=4相外切，求動圓M圓心的軌跡方程.

例5 已知圓的方程來：x2+y2=4，若拋物線經(jīng)過A(-1，0)，B(1，0)，并且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線焦點(diǎn)的軌跡為什么？方程是什么？

圖2

圖3

例6 (2017年棗莊模擬)如圖3所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)為圓內(nèi)的一點(diǎn)，M為圓周上一動點(diǎn)，將紙片折疊，使得點(diǎn)M與點(diǎn)F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，若設(shè)CD與OM交于P，與則P點(diǎn)的軌跡是什么？

解析考慮到M與點(diǎn)F重合，連接MF，交CD于點(diǎn)Q，則△MQP≌△FQP,|PM|=|PF|,|PF|+|PO|=|OM|>|OF|,故點(diǎn)P的軌跡為橢圓.

例7 (2016全國1卷節(jié)選)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1，0)(與x軸不重合)，l交圓A于C、D兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作AC的平行線，交AD于點(diǎn)E，證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程.

通過以上習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)，在求橢圓方程時，我們可按照以下步驟來進(jìn)行求解(1)做判斷，根據(jù)題中條件判斷所求軌跡或方程是否為橢圓；(2)設(shè)方程，焦點(diǎn)不確定時要注意分類討論；(3)找關(guān)系，根據(jù)已知條件，建立a、b、c的關(guān)系；(4)求解，得到方程.