陳俊藝
(福建省晉江市毓英中學(xué) 362251)
高考數(shù)學(xué)試卷中,導(dǎo)數(shù)作為重要的考點(diǎn)之一,常作為壓軸題來考查.導(dǎo)數(shù)的解答題綜合性強(qiáng),區(qū)分度高,可以很好地考查學(xué)生的能力.而不等式的證明和已知不等式成立求參數(shù)范圍是常見的題型.深入挖掘這些題目的背景,可以發(fā)現(xiàn)很多和函數(shù)切線有關(guān).利用切線來逼近曲線,很好地體現(xiàn)了微積分中最基本的思想——“以直代曲”.本文通過幾個(gè)例題來談?wù)勥@個(gè)問題.
例1(2017年全國Ⅱ卷文科21題)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex,
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.
圖1
分析(2)利用幾何畫板畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,當(dāng)x∈[0,+)時(shí),f(x)為凸函數(shù).直線y=ax+1經(jīng)過(0,1),所以當(dāng)射線y=ax+1(x∈[0,+))位于切線y=x+1位置或上方時(shí)f(x)≤ax+1成立.反之則f(x)≤ax+1不恒成立.
解答(1)略.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.
當(dāng)a≥1時(shí),設(shè)函數(shù)h(x)=(1-x)ex,h′(x)=-xex<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減,而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(1+x)h(x)≤x+1≤ax+1.
當(dāng)00),所以g(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增,而g(0)=0,故ex≥x+1.
則x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.與題設(shè)矛盾.
綜上,a的取值范圍是[1,+∞).
本題以切線為背景,本質(zhì)應(yīng)該是函數(shù)的凹凸性問題,f(x)≥ax+b(f(x)為凹函數(shù))或者f(x)≤ax+b(f(x)為凸函數(shù))恒成立的問題常??梢赞D(zhuǎn)化為直線y=ax+b位于函數(shù)f(x)的切線位置或切線的下(上)方的問題來加以解決.
根據(jù)y=ex,y=lnx的圖象以及它們的切線,容易得到下面的不等式:ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立;lnx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立.
圖2
這里把它們稱為“切線不等式”.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程;
(2)證明:當(dāng)a≥1時(shí),f(x)+e≥0.
解(1)易求得切線方程是2x-y-1=0.
(2)f(x)+e≥0?ax2+x-1+ex+1≥0.
當(dāng)a≥1時(shí),ax2+x-1+ex+1≥x2+x-1+ex+1.
x2+x-1+ex+1≥0?x2+x-1+x+2≥0?(x-1)2≥0.
通過上面兩個(gè)高考試題可以發(fā)現(xiàn)“切線不等式”對我們解題中有很大的幫助.在高考中以“切線不等式”為背景的試題還有很多,這里就不一一列舉.
上面的兩個(gè)例子用“切線不等式”進(jìn)行放縮來證明不等式或者求參數(shù)的范圍.下面我們一起來看幾個(gè)與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的不等式的證明問題.
例4(2018年石家莊一模理科21題)已知函數(shù)f(x)=(x+b)(ex-a)(b>0)在(-1,f(-1))處的切線方程為(e-1)x+ey+e-1=0.
(1)求a,b;
圖3
本題涉及函數(shù)的雙零點(diǎn),這是近幾年的熱點(diǎn)問題.利用切線作為媒介來對兩個(gè)零點(diǎn)進(jìn)行放縮,巧妙地解決這個(gè)題目,很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).
在導(dǎo)數(shù)的壓軸題中經(jīng)常會(huì)涉及到參數(shù),其中常見的一種思路是把“雙參”變?yōu)椤皢螀ⅰ保@里和大家分享幾道以切線為背景的求雙參最值的問題
(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間;
即曲線y=ex恒在直線y=(a+1)x+b上方或者與之相切.
故(a+1)b≤e2x1(1-x1).
記g(x)=e2x(1-x),g′(x)=e2x(1-2x),
這些與函數(shù)的切線有關(guān)的試題,很好地考查了學(xué)生的函數(shù)與方程,數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化和化歸思想.通過上面的題目的解答,可以發(fā)現(xiàn)對于導(dǎo)數(shù)綜合題,老師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生重視函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合來指引我們的解題思路,從而在問題的解答上有所突破.